Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 64
Текст из файла (страница 64)
С ИММЕТРИИ343ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРАчислом, таким образом, удалось существенно сократить выкладки:−1=− (n|↠↠)(ââ|n) −n2 + n(n + 1) +(n + 1)n − (n + 1)2 −4ââψn |ââψn +n − (n|ââ)(↠↠|n) =−n−1−1↠↠ψn |↠↠ψn Осталосьвычислитьскалярные квадраты√√√ двух волновых функций: ââ|n =√= n − 1 n|n − 2, ↠↠|n = n + 2 n + 1|n + 2. Таким образом, получаем ответ= 1 (+(n − 1)n + 1 + (n + 2)(n + 1)) = 1 (2n2 + 2n + 3).4412.5. Симметрии гармонического осциллятора12.5.1.
Зеркальная симметрияНа первый взгляд мы видим у гармонического осциллятора одну симˆметрию — зеркальную, описываемую оператором инверсии координаты I.Как мы уже обсуждали выше, это означает, что мы можем выбрать собственные функции оператора Гамильтона так, чтобы они одновременно быˆ т. е. чётными или нечётными. Поли собственными функциями оператора I,скольку у гармонического осциллятора нет вырождения чётных и нечётныхсостояний (да и вообще спектр невырожденный), все собственные состояния оказываются либо чётными, либо нечётными. Основное состоя∂ние ψ0 (12.31), очевидно, чётно. Повышающий оператор ↠= √12 (Q − ∂Q)меняет чётность состояния, т.
е. превращает чётную функцию в нечётнуюи наоборот. Таким образом, чётность собственных состояний осцилляторачередуется, т. е. соответствует чётности номера уровня:ˆ n = (−1)n ψn .Iψ12.5.2. Фурье-симметрия и переход от координатного представленияк импульсному и обратно**Гамильтониан для гармонического осциллятора в обезразмеренных переменных Ĥ = 1 h̄ω(Q̂2 + P̂ 2 ) выглядит симметрично относительно замены2координаты на ∓импульс, а импульса на ±координату.344ГЛАВА 12Это соответствует переходу от координатного представления, к импульсному. Соответствующий унитарный оператор F̂ задаёт преобразование Фурье, его удобно представить как интегральный оператор:1(F̂ ψ)(P ) =√ e−iP Q ψ(Q) dQ.2πRПросто поменять местами P̂ и Q̂ не позволяют канонические коммутационные соотношения (12.6), но мы можем, как и в классической механике,сделать каноническую замену Q̂ → −P̂ , P̂ → Q̂.
Знаки мы выбрали так,чтобы они согласовывались с прямым преобразованием Фурье3 :Q̂ → −P̂ = F̂ Q̂F̂ −1 ,P̂ → Q̂ = F̂ P̂ F̂−1â → F̂ âF̂ −1 =(12.33),(12.34)− P̂ + iQ̂= iâ,√2↠→ F̂ ↠F̂ −1 =(12.35)− P̂ − iQ̂= −i↠.√2(12.36)Гамильтониан в координатном и в импульсном представлениях задаётся одним и тем же дифференциальным оператором2∂h̄ω−12− 2 +Q .Ĥд.
= F̂ Ĥд. F̂ =2∂QТо есть F̂ Ĥд. = Ĥд. F̂ . И этой симметрии соответствует некоторый законсохранения.Закон сохранения, следующий из Фурье-симметрии, задаёт, что еслив начальный момент времени волновая функция гармонического осциллятора является собственной, для оператора F̂ , с собственным числом f , тои в последующие моменты времени волновая функция остаётся собственной функцией для F̂ с тем же собственным числом. Другая формулировка —ψ(t)|F̂ |ψ(t) не зависит от времени.Как известно, 4-кратное преобразование Фурье возвращает нас к исходной функции, т.
е. F̂ 4 = 1̂. Записав это для собственной функции, получаем:F̂ ψ = f ψ,3 Рекомендуемψ = 1̂ψ = F̂ 4 ψ = f 4 ψ⇒f 4 = 1,f ∈ {1, −i, −1, i}.самостоятельно проверить формулы (12.33)–(12.36).12.5. С ИММЕТРИИГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА345Двухкратное преобразование Фурье даёт исходную функцию, с обратнымˆˆ Аналогичт. е. F̂ 2 = I.знаком аргумента: (F̂ 2 ψ)(Q) = ψ(−Q) = (Iψ)(Q),ное соотношение для собственных чисел позволяет заключить, что чётнымфункциям отвечает f = ±1, а нечётным — f = ±i.
Таким образом, Фурьесимметрия включает в себя зеркальную симметрию, но позволяет разбитьчётные и нечётные функции ещё на два класса.Уравнение на собственные функции и собственные числа выглядитследующим образом:1f ψ(P ) =√ e−iP Q ψ(Q) dQ.2πRЗдесь ψ(Q) и ψ(P ) — одна и та же функция, в которую подставлены разныеаргументы.Поскольку спектр гармонического осциллятора не вырожден, найденные нами собственные функции ψn (Q) являются также собственными дляоператора F̂ , и нам надо только установить, какие собственные числа имсоответствуют.
Для основного состояния ψ0 (12.31) f = 1, поскольку преобразование Фурье совпадает с самой функцией ψ0 :(F̂ ψ0 )(P ) =R−Q22e1dQ =√ e−iP Q √4π2π=R−P22= e√4π11√√2π 4 πR−eR11 e− 2 (Q2 +2iP Q) dQ =1√√2π 4 π((Q+iP )2 +P 2 )−2e(Q+iP )22√2π−dQ =P22= ψ0 (P ).dQ = e √4πПосмотрим теперь, как меняется f под действием повышающего оператора ↠. Выкладки эти проведём двумя способами:1. Проделаем выкладки, используя тождество (12.36) для операторов â†и F̂ . Тождество F̂ ↠F̂ −1 = −i↠можно переписать как F̂ ↠= −i↠F̂ ,используя это, получаем:F̂ ↠ψ = −i↠F̂ ψ = −i↠f ψ = (−if )↠ψ.346ГЛАВА 122.
Проделаем те же выкладки, представляя векторы состояния как функции4 . Заменяя умножение на Q дифференцированием по P комплекс∂ной экспоненты и интегрируя по частям член, содержащий ∂Q, получаем:1 Q− ∂1ψ(Q) dQ =(F̂ ↠ψ)(P ) =√ e−iP Q √∂Q2π2R1= √1 i ∂ − iP√ e−iP Q ψ(Q) dQ =2 ∂P2πR= (−i↠F̂ ψ)(P ) = (−i↠f ψ)(P ) = (−if )(↠ψ)(P ).Таким образом, под действием повышающего оператора f умножилосьна −i, и мы получаем для собственных состояний осциллятораF̂ ψn = (−i)n ψn .Данная формула выявляет связь преобразований Фурье и временнойэволюции гармонического осциллятора:−iF̂ ψn = (−i)n ψn = eπn2 ψn−i=eπN̂2ψn−i=eπ †â â2ψn−=eh̄ω πi(Ĥ−)2 2ω ψ .h̄nПоскольку это тождество выполняется для всех базисных векторов ψn , мыможем записать преобразование Фурье как оператор эволюции гармоничесπкого осциллятора на время 2ω, т.
е. 14 часть периода T0 = 2πω , при условии,что в качестве нулевого уровня энергии принят уровень основного состояния E0 = h̄ω2 :−iF̂ = eπ †â â2−=eT0i(Ĥ−E0 )4h̄i=eiππ− Ĥ2 e h̄ 2ω1+i= √ Û π .2 2ωСдвиг нулевого уровня энергии не несёт физического смысла и приводит−iωtлишь к устранению фазового множителя e 2 . Таким образом, гармонический осциллятор каждые четверть периода подвергает своё состояниепреобразованию Фурье с точность до фазового множителя (который устраняется, если отсчитывать энергию от E0 ).4 По существу, это вывод тождества (12.36), т. е.
частичное решение задачи, предложеннойв сноске 3. Впрочем, внимательный читатель легко превратит это частичное решение в полное.12.6. П РЕДСТАВЛЕНИЕ ГАЙЗЕНБЕРГАДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА34712.5.3. Вращение фазовой плоскостиОписанная выше Фурье-симметрия гармонического осциллятора соответствует повороту фазовой плоскости по часовой стрелке на угол π2 .Рис.
12.1 наводит на мысль, что гармонический осциллятор должен допускать более широкую симметрию, относительно поворотов фазовой плоскости на произвольный угол α. И этой симметрии также должен соответствовать какой-то закон сохранения, позволяющий ещё более детально,чем Фурье-симметрия, различать между собой уровни энергии осциллятора.Однако в данном случае нас ждёт разочарование: эта симметрия описывается оператором эволюции Û αω , а соответствующий закон сохранения — закон сохранения энергии. Это легко увидеть, рассмотрев гармонический осциллятор в представлении Гайзенберга, чему и посвящён следующий раздел.12.6. Представление Гайзенберга для осциллятора12.6.1.
Интегрирование уравнения ГайзенбергаРассмотрим теперь, как выглядит временная эволюция гармонического осциллятора в представлении Гайзенберга. Для оператора â, согласно (5.20), мы можем написать полную производную по времениdâ = i [Ĥ, â] = −iωâ.dth̄(12.37)Для представления Гайзенберга полная производная по времени описываетпросто, как оператор изменяется со временем и мы получаем дифференциальное уравнение, и начальные условия (шрёдингеровские операторы совпадают с гайзенберговскими в нулевой момент времени)&dâг= −iωâг ,⇒ âг (t) = e−iωt âш .(12.38)dtâг (0) = âшПолученный результат выглядит точно так же, как классическая эволюция гармонического осциллятора, изображённая на рис. 12.1, с заменойкоординаты и импульса на операторы.Через âг (t) мы можем выразить гайзенберговские операторы координаты и импульса и получить для них «с точностью до шляпок» классические348ГЛАВА 12формулы эволюции гармонического осциллятора:âг (t) + â†г (t)†= √1 e−iωt âiωt√ш+e âш =221−iωt Q̂ш + iP̂шiωt Q̂ш − iP̂шe== √+e√√222Q̂г (t) == cos(ωt) Q̂ш + sin(ωt) P̂ш .Формулу для импульса мы можем получить аналогично через âг и â†г , а можем просто продифференцировать координату по обезразмеренному времени ωt:1 dQ̂г = i [Ĥ, Q̂ ] = − sin(ωt) Q̂ + cos(ωt) P̂ .P̂г (t) = ωгшшdth̄ωТаким образом, точно так же как в классикеQ̂г (t) = cos(ωt) Q̂г (0) + sin(ωt) P̂г (0),P̂г (t) = − sin(ωt) Q̂г (0) + cos(ωt) P̂г (0).Если теперь усреднить эти уравнения по произвольной волновой функции(напомним, гайзенберговские волновые функции не зависят от времени), тосредние значения (т.
е. уже не операторы, а числа) будут колебаться совершенно классическим образом:Qг (t) = cos(ωt) Qг (0) + sin(ωt) Pг (0),Pг (t) = − sin(ωt) Qг (0) + cos(ωt) Pг (0).(12.39)12.6.2. Роль эквидистантности уровней*Посмотрим на представление Гайзенберга с несколько иной точки зрения и попытаемся понять с чем связано, что гайзенберговская эволюцияописывается одной частотой ω.Как мы знаем, матричный элемент не зависит от представления, в частностиφш |Âш |ψш t = φг |Âг |ψг t .Для понижающего оператора все отличные от нуля матричные элементыимеют вид n − 1|â|n. Стационарные шрёдингеровские состояния эволю-12.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
