Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Это утверждение называется теоремой Блоха. Мыещё раз рассмотрим эту теорему и понятие квазиимпульса ниже (11.4.3«Квазиимпульс*»).Свёртка и её физический смысл для потенциала и состоянияВ общем случае нам удобно определить преобразование Фурье следующим образом:Û (Q) =ipQu(p) e h̄dp =u(p) Ŝ−p dp, u(p) = 12πh̄−U (Q) eipQh̄dQ.316ГЛАВА 11(ф) Преобразование Фурье при таком выборе коэффициентов не являетсяунитарным, зато оно имеет другой хороший физический смысл — разложение по операторам сдвига по импульсу. Таким образом, «естественное» преобразование Фурье для потенциалов записывается иначе, чем «естественное» преобразование Фурье для волновых функций (сохраняющее скалярное произведение).Действуя оператором Û (Q), записанным через интеграл Фурье на волновую функцию в импульсном представлении, получаемÛ (Q)ψ(P ) = u(p) Ŝ−p ψ(P ) dp = u(p) ψ(P − p) dp.Последнее выражение называется свёрткой функций u(p) и ψ(P ).
Свёрткафункций в данном случае имеет физический смысл суперпозиции сдвиговсостояния ψ на всевозможные импульсы −p с амплитудой u(p).Напоминаем, что в координатном представлении оператор Û (Q)действует поточечным умножением волновой функции ψ(Q) на функцию U (Q).11.4. Законы сохранения для ранее дискретныхсимметрийВ классической механике мы различаем непрерывные симметрии, которым соответствуют законы сохранения, и дискретные симметрии (такие как зеркальная симметрия), которым законов сохранения не достаётся.В квантовой механике дискретных симметрий нет: любой симметрии соответствует некий эрмитов оператор, экспонента от которого позволяет вставить дискретную симметрию в непрерывную группу симметрий.Для того, чтобы поставить в соответствие унитарному оператору Ûсохраняющуюся наблюдаемую (и не внести при этом лишнюю симметрию),достаточно найти эрмитов оператор Â, который коммутирует со всеми наблюдаемыми, с которыми коммутирует Û , и только с ними.
Для этого всесобственные векторы оператора Û , и только они, должны быть собственными для оператора Â.Для того, чтобы задать оператор Â, достаточно задать его действие навсе вектора некоторого базиса. Таким образом, если для каждого векторанекоторого базиса собственных векторов оператора Û мы зададим вещественные собственные числа, то тем самым будет задан некоторый эрмитовоператор (коммутирующий с Û ).11.4. З АКОНЫСОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ317Эрмитов оператор, отвечающий симметрии Û , следует строить так,чтобы одинаковым собственным числам оператора Û соответствовали одинаковые собственные числа оператора Â, а разным — разные. Такой оператор автоматически будет коммутировать/не коммутировать с теми же операторами, что и Û .Удобнее всего подобрать эрмитов оператор  как генератор симметрии, чтобы экспонента от него давала унитарный оператор:α0 ∈ R.Û = eiα0  ,(11.19)При этом унитарный оператор оказывается элементом однопараметрической группы:Û = Uα0 ,Ûα = eiα , α0 , α ∈ R.Собственные числа операторов Û и Â, соответствующие одному собственному вектору номер k, связаны соотношениемuk = eiak .Таким образом, значение ak определено с точностью периода 2π, посколькуeiak = ei(ak +2πn) , n ∈ Z, но при этом если uk = um , то следует выбиратьak = am , чтобы не привнести лишнюю симметрию (ниже в разделе 11.4.3,при рассмотрении симметрии относительно сдвига на период, мы увидимважность этого замечания).11.4.1.
Зеркальная симметрия и не толькоˆ задающий непрерывное линейноеРассмотрим некоторый оператор I,преобразование волновых функций, двухкратное повторение которого приводит к тождественному преобразованию:IˆIˆ = Iˆ2 = 1̂⇔Iˆ = Iˆ−1 .Если этот оператор, кроме того, сохраняет скалярное произведение в пространстве волновых функций, т. е. еслиIˆ† Iˆ = 1̂,то он оказывается одновременно унитарным и эрмитовым:Iˆ = Iˆ−1 = Iˆ† .(11.20)318ГЛАВА 11К числу таких операторов, очевидно, можно отнести оператор зеркальной симметрии (оператор инверсии по координате x):Iˆзерк.x ψ(x) = ψ(−x).Все собственные числа эрмитова оператора должны быть вещественны.
Все собственные числа унитарного оператора должны по модулю равняться единице. Таким образом, оператор, который одновременно унитарени эрмитов, может иметь в качестве собственных чисел только ±1.7Операторы1̂ + Iˆ1̂ − IˆP̂+ =,P̂− =22оказываются проекторами на подпространства состояний, отвечающие собственным числам +1 и −1 соответственно (проверьте!):P̂+ 2 = P̂+ , P̂− 2 = P̂− , P̂+ P̂− = P̂− P̂+ = 0,ˆ P̂− ψ) = −1 · (P̂+ ψ).ˆ P̂+ ψ) = +1 · (P̂+ ψ), I(I(Если оператор Iˆ оказывается симметрией гамильтониана Ĥ, то (11.1)ˆ = 0,[Ĥ, I](11.21)и, поскольку оператор Iˆ является одновременно эрмитовым, то в качествесохраняющейся измеряемой величины мы можем выбрать его же.
Такимобразом, условие (11.21) одновременно выступает в роли закона сохранения (11.9).ˆПоскольку оператор Iˆ эрмитов, экспонента eiαI должна быть унитарным оператором:ˆeiαI =∞(iα)kk=0k!Iˆk =∞(iα)2ll=0(2l)!Iˆ2l +∞(iα)2l+1 ˆ2l+1I.(2l + 1)!l=0ˆ вынося за сумму операторы, получаемПоскольку Iˆ2l = 1̂, Iˆ2l+1 = I,ˆeiαI = 1̂∞(−1)l α2ll=0(2l)!+ iIˆ∞(−1)l α2l+1l=0(2l + 1)!= 1̂ cos α + Iˆ i sin α. (11.22)7 Случай, когда имеется только одно собственное число, неинтересен, поскольку в этомслучае оператор оказывается единичным, или минус-единичным: ±1̂.11.4. З АКОНЫСОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ319Таким образом, мы почти (с точностью до фазового множителя) вставилиоператор Iˆ в однопараметрическую группу унитарных преобразований:iˆei0I = 1̂,eπˆI2ˆ= iI.πПоскольку i = ei 2 , мы можем модифицировать формулу так, чтобы Iˆ попалв однопараметрическую группу:e−iα · eiαI = eiα(I−1̂) .ˆˆ(11.23)Теперьˆei0(I−1̂) = 1̂,ieπ ˆ(I−1̂)2ˆ= e−iπP̂− = I.11.4.2.
Чётность*— Ну, как, Китти, хочешь жить в Зеркальном доме? Интересно, дадуттебе там молока? Впрочем, не знаю, можно ли пить зазеркальноемолоко? Не повредит ли оно тебе, Китти . . .Льюис Кэрролл, «Алиса в Зазеркалье»Оператор зеркальной симметрии Iˆзерк.x , который появился выше, обычно используется в одномерных задачах. Собственные функции с собственным числом +1 — любые чётные волновые функции, собственные функциис собственным числом −1 — любые нечётные волновые функции.
Поэтомусоответствующая физическая величина называется чётностью8 .Для трёхмерных многочастичных задач рассматривается операторпространственной чётности P̂ = Iˆзерк.x Iˆзерк.y Iˆзерк.z , который аналогичнымобразом меняет все декартовы координаты всех частиц системы9 .Многие квантовые модели (т. е. многие гамильтонианы) коммутируютс оператором P̂ , т. е. для них выполняется закон сохранения чётности. Сохранение чётности означает, что если в начальный момент времени системаописывалась чётной волновой функцией (P̂ ψ = ψ), или нечётной (P̂ ψ == −ψ), то в последующие моменты времени чётность волновой функциисохранится.8 Помимо рассматриваемой здесь пространственной чётности могут вводиться другие величины, в названии которых используется слово «чётность».
Всем им соответствуют операторы, удовлетворяющие условию (11.20). При этом собственные пространства, отвечающиеобоим собственным числам (−1 и +1), бесконечномерны.9 Вместо произведения трёх отражений можно взять одно отражение и поворот на π в зеркальной плоскости.320ГЛАВА 11Сохранение чётности также означает, что состояния ψ и P̂ ψ должны вести себя одинаково (см.
рассуждения в начале раздела 11.1). Инымисловами, система, отражённая по трём осям (или по одной оси, если естьещё изотропность, т. е. симметрия относительно поворотов), описываетсятеми же законами (тем же гамильтонианом), что и исходная система: смотряв зеркало, нельзя понять, что мы видим отражение, а не реальные объекты.Закон сохранения чётности был введён в 1927 году Юджином Вигнером, и долгое время считалось очевидным, что сохранение чётности должно быть универсальным законом природы, пока нарушение чётности небыло обнаружено экспериментально.
Оказалось, что при слабом взаимодействии объект и его зеркальное отражение ведут себя по-разному, в частности, при β-распаде рождаются исключительно антинейтрино, закрученные по часовой стрелке10 (относительно направления вылета).11.4.3. Квазиимпульс*Рассмотрим симметрию относительно сдвига на период a вдоль координатной оси x. Такой симметрией обладает, например, гамильтонианчастицы во внешнем периодическом потенциале11 .Соответствующий унитарный оператор T̂a , как мы уже знаем, записывается через экспоненту от оператора импульса по данной оси p̂x :iT̂a = e h̄ap̂x.Однако сохранение импульса, как мы уже видели в разделе 11.3.2, подразумевает большую симметрию — симметрию относительно сдвига на произвольное расстояние.
Выше, во вводной части раздела 11.4, мы уже упоминали, что генератор симметрии может быть выбран неоднозначно, причёмне все генераторы могут соответствовать сохраняющимся величинам.Каковы собственные функции и числа для оператора T̂a ? Если координата x пробегает значения от −∞ до +∞, то собственные числа — всеединичные комплексные числа |u| = 1.
То естьiu = eiα = ei(α+2πn) = uq = e h̄aqi= e h̄2πh̄a(q+ a n),α, q ∈ R,n ∈ Z.10 Под «закрученностью» следует понимать направление собственного момента импульсачастицы — спина. Подразумевается, что зеркальная симметрия и пространственная чётностьдействуют также на зависимость волновых функций от спиновых переменных, «переворачивая» спин должным образом (если этого не делать, то пространственная чётность нарушитсяещё раньше).11 Это очень важный пример, соответствующий частице внутри идеального кристалла.11.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
