Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Эти достоинства гармоническогоосциллятора сохраняются и в квантовой механике.На самом деле, в квантовой механике гармонический осциллятор любят даже больше, чем в классической. Это связано с тем, что гармонический осциллятор приобретает фундаментальное значение при рассмотренииквантованных бозонных полей (в том числе электромагнитного поля), которые без учёта взаимодействия описываются набором невзаимодействующих квантовых гармонических осцилляторов (см. ниже раздел 12.11).Решать задачу о квантовом гармоническом осцилляторе можно разными способами.
Метод лестничных операторов, который вводится здесь, неявляется универсальным способом решения задач квантовой механики: онхорош только для гармонического осциллятора и похожих на него систем,однако именно этот способ задаёт специальный язык, который интенсивно используется во многих разделах квантовой теории, включая квантовуютеорию поля (КТП).Знакомство с данным методом очень полезно для изучающих квантовую теорию.
Помимо того, что этот способ просто красив, он приучает,столкнувшись с задачей, хорошенько подумать, прежде чем писать уравнение Шрёдингера в форме дифференциального уравнения (хотя бы потому,что дифференциальные уравнения могут вообще не понадобиться).Как обычно, начнём решение задачи с выписывания соответствующегогамильтониана. Удобно записывать уравнения не через жёсткость пружины k, а через собственную циклическую частоту ω = k/m:Ĥ =22 2p̂2p̂2+ kx̂ =+ mω x̂ .2m22m2(12.1)12.1.
О БЕЗРАЗМЕРИВАНИЕ32912.1. ОбезразмериваниеДля упрощения выкладок полезно обезразмерить гамильтониан, представив его в виде: (число с размерностью энергии) × (безразмерный оператор). «Число с размерностью энергии» удобно взять не случайным образом,а естественным, т. е. скомбинировать константу с размерностью энергиииз параметров задачи. Из унаследованных от классического осцилляторапараметров m и ω составить константу с размерностью энергии («естественную единицу энергии») для гармонического осциллятора невозможно,однако в квантовой задаче у нас появляется ещё один масштаб — постоянная Планка h̄, имеющая размерность действия. Эта размерность может быть представлена как (действие) = (масса) × (длина)2 /(время) == (энергия) × (время) = (импульс) × (длина). Произведение h̄ω имеет какраз размерность энергии, вынося его за скобку, получаем2p̂2mωx̂.(12.2)Ĥ = h̄ω+2h̄ωm2h̄От постоянных множителей в скобках мы можем избавиться, выбрав подходящие единицы измерения координаты и импульса.
Поскольку выражениев скобках безразмерно, новые координата Q̂ и импульс P̂ оказываются безразмерными:2Q̂2P̂,(12.3)Ĥ = h̄ω+224p̂p̂P̂ = √Q̂ = x̂ mω = xx̂ ,(12.4)=p ,00h̄h̄ωm4√h̄ ,p0 x0 = h̄p0 = h̄ωm,x0 = mω(12.5)— осцилляторные единицы импульса, координаты и действия (последняя,естественно, совпадает с постоянной Планка h̄). До сих пор все наши выкладки можно было один к одному повторить для классического осциллятора, стерев шляпки над буквами и считая h̄ просто некоторой константойс размерностью действия.Поскольку коммутатор координаты и импульса [x̂, p̂] = ih̄ имеетв квантовой механике фундаментальное значение, перепишем его в обезразмеренных операторах (числовые множители можно выносить из-под330ГЛАВА 12коммутатора):% 4$ 4[x̂, p̂]p̂mω= mω √ 1 [x̂, p̂] =[Q̂, P̂ ] = x̂,√= i.h̄h̄h̄h̄ωmh̄ωm[Q̂, P̂ ] = i.(12.6)В классической механике роль, аналогичную коммутатору, играет скобкаПуассона, и в точности те же выкладки можно проделать для неё, используясоответствие [·, ·]/(ih̄) −→ {·, ·}.12.2.
Представление чисел заполнения12.2.1. Лестничные операторыВ переменных Q, P эволюция классического осциллятора сводитсяк вращению точки на фазовой плоскости вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью ω.Рис. 12.1. Эволюция классического осциллятора сводится к вращению точки нафазовой плоскости (Q, P ).Вращение с постоянной угловой скоростью удобно описывается с помощь комплексной переменной z = const · (Q + iP ).
Вращение задаётсяумножением на фазовый множитель: z(t) = e−iωt z(0).12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕ331ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯПоскольку в квантовой механике комплексные числа и фазовые множители вида e−iωt являются неотъемлемой частью математического аппарата, представляется естественным попробовать ввести аналогичные величины для описания квантового осциллятора:â =Q̂ + iP̂,√2↠=Q̂ − iP̂.√2(12.7)В отличие от Q̂ и P̂ операторы â и ↠не являются эрмитовыми.Вычислим коммутатор введённых операторов (коммутатор можно рассматривать как разновидность умножения, и раскрывать скобки обычнымобразом, с учётом порядка сомножителей, т. е. операция взятия коммутатора дистрибутивна относительно сложения):%$ Q̂ + iP̂ Q̂ − iP̂†[â, â ] == 1 [Q̂, Q̂] − i[Q̂, P̂ ] + i[P̂ , Q̂] + [P̂ , P̂ ] =, √√222= 1 (0 − i · i + i(−i) + 0) = 1.2⇔[â, ↠] = 1â↠= ↠â + 1.(12.8)Если бы операторы â и ↠коммутировали, то в соответствии с формулой (A − B)(A + B) = A2 − B 2 их произведение дало бы обезразмерен1ный гамильтониан Ĥ = 1 (Q̂2 + P̂ 2 ).
Однако с учётом некоммутативности2ωh̄операторов получаем: Q̂ − iP̂ Q̂ + iP̂= 1 Q̂ · Q̂ + iQ̂ · P̂ − iP̂ · Q̂ + P̂ · P̂ =√√222 = 1 Q̂2 + i[Q̂, P̂ ] + P̂ 2 .2↠â =Введём теперь оператор N̂ : N̂ = ↠â = 1 Q̂2 − 1 + P̂ 2 ,2через который и выразим гамильтониан:11†= h̄ω N̂ +.Ĥ = h̄ω â â +22(12.9)(12.10)1 Эта формула справедлива тогда и только тогда, когда [A, B] = AB − BA = 0, поскольку(A − B)(A + B) = A2 − B 2 + AB − BA = A2 − B 2 + [A, B].332ГЛАВА 12Задача исследования гамильтониана свелась к задаче исследования эрмитового2 оператора числа квантов N̂ = ↠â.Мы видим, что в данных выражениях отличие квантовых формул отклассических состоит в появлении константы 12 . В классическом пределе,когда операторы Q̂ и P̂ могут быть заменены большими (по сравнениюс единицей) числами, этой добавкой можно пренебречь.Операторы â и ↠называют лестничными операторами. Смысл этоготермина мы сейчас раскроем, для этого вычислим их коммутаторы с оператором N̂ (воспользовавшись формулой [ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂ и формулой [A, B]† = [B † , A† ]):[N̂ , â] = [↠â, â] = ↠[â, â] + [↠, â]â = −â,[N̂ , â]† = [↠, N̂ ] = −↠.Таким образом мы можем записать коммутационные соотношения в единообразном виде:[N̂ , â± ] = ±â± ,â+ = ↠,â− = â.(12.11)Пусть |ψn — некоторое собственное состояние оператора N̂ :N̂ |ψn = n|ψn .(12.12)Исследуем как ведёт себя состояние |ψn под действием операторов â и ↠,подействовав на получившиеся состояния â|ψn и ↠|ψn оператором N̂ :N̂ â|ψn = (âN̂ + [N̂ , â])|ψn = (âN̂ − â)|ψn == â(N̂ − 1)|ψn = â(n − 1)|ψn ,N̂ ↠|ψn = (↠N̂ + [N̂ , ↠])|ψn = (↠N̂ + ↠)|ψn == ↠(N̂ + 1)|ψn = ↠(n + 1)|ψn ,N̂ (â± |ψn ) = (n ± 1)(â± |ψn ).(12.13)Формула (12.13) означает, что для произвольного состояния |ψn , удовлетворяющего условию (12.12), состояния a± |ψn либо являются собственными, с собственными числами n ± 1, либо являются нулевыми векторами.Поэтому оператор a+ = a† называется повышающим оператором, а a− == a — понижающим оператором.2 Эрмитовостьоператора N̂ легко проверяется: N̂ † = (↠â)† = ↠ↆ = ↠â = N̂ .12.2.
П РЕДСТАВЛЕНИЕ333ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯОператор N̂ имеет только неотрицательные средние:ψ|N̂ |ψ = ψ|↠â|ψ = âψ|âψ 0.(12.14)Для собственного состояния имеемn |ψn = nψn |ψn 0ψn |N̂ |ψn = ψn | ⇒n 0.(12.15)числоВозьмём теперь произвольное собственное состояние и начнём на негомного раз действовать понижающим оператором:â|ψn ,â2 |ψn ,··· ,âk |ψn ,··· .Каждый раз оператор â либо понижает собственное число оператора N̂ наединицу, либо обнуляет состояние.
Поскольку, как мы показали только что,собственные числа оператора N̂ неотрицательны, рано или поздно очередное состояние|ψn0 = const · âk |ψn (12.16)обнулится под действием â:â|ψn0 = 0⇒↠â|ψn0 = N̂ |ψn0 = n0 |ψn0 = 0⇒n0 = 0.Мы видим, что это состояние — собственное для оператора N̂ с нулевымсобственным числом:â|ψ0 = 0.(12.17)Оно отвечает минимальной возможной энергии гармонического осциллятора E0 = h̄ω2 , а потому называется основным состоянием гармоническогоосциллятора.Легко видеть, что ненулевое состояние |ψ никогда не обнулится поддействием повышающего оператора ↠:↠ψ|↠ψ = ψ|â↠|ψ = ψ|N̂ + 1|ψ ψ|ψ > 0.(12.18)Таким образом, начиная с основного состояния |ψ0 и действуя на негораз за разом повышающим оператором ↠, мы получаем лестницу состояний, нумеруемых целыми неотрицательными числами.
Однако надо уточнить следующие вопросы:• Сколько может быть линейно независимых состояний |ψ0i , удовлетворяющих уравнению (12.17)? Сколько угодно. До сих пор мы не вводили никаких условий, которые как бы то ни было ограничивали эточисло. Мы ещё вернёмся к этому вопросу.334ГЛАВА 12• Все ли собственные состояния оператора N̂ будут получены из |ψ0i с помощью повышающего оператора ↠? Все (см. объяснения ниже).– Могут ли быть у оператора N̂ нецелые собственные числа? Нет.Пусть |ψn — собственное состояние, отвечающее произвольномучислу n, начнём действовать на него раз за разом понижающимоператором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
