Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 61
Текст из файла (страница 61)
З АКОНЫСОХРАНЕНИЯ ДЛЯ РАНЕЕ ДИСКРЕТНЫХ СИММЕТРИЙ321Здесь мы параметризовали собственные числа u параметром q, имеющимразмерность импульса. Параметр q называют квазиимпульсом. Квазиимпульс определён с точностью до прибавления целого числа, умноженногона 2πh̄a . Это число называют периодом обратной решётки. Мы можем выбрать все квазиимпульсы из интервала длиной в период обратной решётки,πh̄например из интервала ( πh̄a , a ].
Таким образом, мы поставили в соответствие разным собственным числам оператора T̂a разные вещественныечисла, а одинаковым — одинаковые, и определили тем самым операторквазиимпульса, для которого эти вещественные числа q являются собственными с собственными функциями ψuq .По определению оператора сдвига T̂a ψ(x) = ψ(x+a), по определениюсобственного вектора T̂a ψu = uψu . Таким образом, собственная функцияудовлетворяет условиюψu (x + a) = uψu (x).(11.24)Для гамильтонианов, коммутирующих с T̂a , собственные функции можноискать среди собственных функций оператора T̂a . В этом случае уравнение (11.24) позволяет продолжить волновую функцию с отрезка длиной aна всю вещественную прямую, задействовав, тем самым, симметрию относительно сдвига на период.При |u| = 1 интеграл по периодуx0x0 +a|ψu (x)| dx = |u|2|ψu (x)|2 dx2x0 −ax0не зависит от x0 .
Если координата x ∈ R, то ψu не нормируема на единицу,как и должно быть, раз ψu принадлежат непрерывному спектру.Вместо x ∈ R мы можем рассматривать интервал x ∈ [x0 , x0 + N · a]с периодическими граничными условиями для ψ. В этом случае допустимытолько собственные числа, для которыхuN = 1⇔N aq∈ Z.2πh̄Таких собственных чисел имеется N штук (корни N -й степени из единицы). Интеграл от |ψu |2 по конечному интервалу x ∈ [x0 , x0 + N · a] оказывается конечен, а спектр становится дискретным.
Устремляя N к бесконечности, мы можем совершить предельный переход от дискретного к непрерывному случаю.322ГЛАВА 11Глядя на (11.24), можно понять физическийсмысл условия |u| = 1. Если это условие нарушается, то |u| > 1, или |u| < 1. В первом случае модульволновой функции неограничено возрастает при последовательных сдвигах на a, а во втором — при последовательных сдвигах на −a. Тем не менее волновые функции ψu при |u| = 1 могут быть полезныпри рассмотрении кристаллической решётки, которая конечна, или бесконечна только в одну сторону,а также кристаллической решётки с дефектами. Такие функции могут описывать экспоненциальное затухание волновой функции частицы вглубь кристалРис.
11.2. Феликс ла, когда частица отражается от кристалла, или локаБлох (1905–1983).лизована на дефекте.В некоторых случаях волновую функцию вида (11.24) представляют в виде произведения волны де Бройля с импульсом q на периодическую функцию с периодом a:iψu (x) = e h̄xqφ(x),φ(x) = φ(x + a).(11.25)Утверждение (11.25) называют теоремой Блоха. Очевидно, что (11.24) равносильно (11.25).11.5.
Сдвиги в фазовом пространстве**11.5.1. Групповой коммутатор сдвигов*В текущей главе мы убедились в полезности унитарных операторовсдвига по координате T̂a и по импульсу ŜbiT̂a = e h̄aP̂,−Ŝb = eibQ̂h̄.В координатном представленииT̂a ψ(Q) = ψ(Q + a),−Ŝb ψ(Q) = eibQh̄ψ(Q).В импульсном представленииiT̂a ψ(P ) = e h̄aPψ(P ),Ŝb ψ(P ) = ψ(P + b).11.5. СДВИГИВ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ **323Эрмитовы операторы P̂ и Q̂ не коммутируют (4.64)[Q̂, P̂ ] = ih̄,соответственно не коммутируют и унитарные операторы T̂a и Ŝb .Для эрмитовых операторов их некоммутативность удобно определятькоммутатором [a, b] = ab − ba = ic (матричным коммутатором) которыйсопоставляет двум эрмитовым операторам a и b третий эрмитов оператор c.Произведение и взятие обратного для унитарных операторов — «хорошие» операции, т.
к. результат их действия снова оказывается унитарным.Сумма или разность унитарных операторов «хорошими» операциями неявляются. Поэтому для унитарных операторов некоммутативность удобнееопределять с помощью группового коммутатора ABA−1 B −1 .Вычислим групповой коммутатор для операторов T̂a и Ŝb в координатном представленииiT̂a Ŝb T̂−a Ŝ−b ψ(Q) = T̂a Ŝb T̂−a (e h̄= T̂aiib(Q−a)− bQ(e h̄ e h̄ψ(QbQiψ(Q)) = T̂a Ŝb (e h̄− a)) = T̂ai− ba(e h̄ ψ(Qb(Q−a)ψ(Q − a)) =−− a)) = eibah̄ ψ(Q).Таким образом (уже вне зависимости от представления)−T̂a Ŝb T̂−a Ŝ−b = eiabh̄ .(11.26)То есть (читая левую часть равенства справа налево) сдвиги по P , по Q,−iabобратно по P , обратно по Q дают в итоге фазовый множитель e h̄ , показатель экспоненты в котором пропорционален ориентированной (со знаком)площади контура ab, который был описан в фазовой плоскости (Q, P ).При параллельном переносе (сдвиге) по произвольному контуру, контурможет быть приближен с помощью набора прямоугольных ячеек.
Внутренние линии этих ячеек проходятся дважды в противоположных направлениях и их вклад сокращается. Таким образом, параллельный перенос в фазовой плоскости (Q, P ) вдоль любого замкнутого контура Γ даёт умножениена фазовый множитель−TΓ = eiS(Γ)h̄,(11.27)с показателем пропорциональным ориентированной площади контура S(Γ),которая имеется смысл действия по контуру (площадь положительна приобходе контура по часовой стрелке).324ГЛАВА 11С помощью формулы (11.26) можно переставлять сдвиги по координате и импульсу:iabh̄ Ŝ−T̂a Ŝb = eb T̂a .(11.28)Однако, во многих случаях нам понадобится параллельный перенос одновременно по координате и импульсу вдоль отрезка прямой.i(aP̂ −bQ̂)вместе с операторами T̂−aСоответствующий оператор e h̄и Ŝ−b даёт параллельный перенос по контуру в форме прямоугольного треугольника с катетами a и b и ориентированной площадью S = − ab2Ŝ−b T̂−ai(aP̂ −bQ̂)e h̄=i abe h̄ 2 .(11.29)Таким образом, оператор сдвига «наискосок» можно выразить через сдвигипо координате и импульсу:ie h̄(aP̂ −bQ̂)i ab2 T̂= e h̄−a Ŝb = ei abh̄ 2 Ŝb T̂a .(11.30)11.5.2.
Классические и квантовые наблюдаемые**Оператор сдвига наискосок позволяет, следуя Г. Вейлю, ввести следующую естественную (но не единственную) процедуру, установления соответствия между классическими и квантовыми наблюдаемыми с помощьюпреобразования Фурье: i i(aP −bQ)(aP̂ −bQ̂)h̄F (Q, P ) = eF̃ (b, a) da db,F̂ = e h̄F̃ (b, a) da db.F̃ (b, a) =1(2πh̄)2(11.31)−ei(aP −bQ)h̄F (Q, P ) dQ dP.(11.32)При этом вещественность классической наблюдаемой F (Q, P ) эквивалентаравенству F̃ (b, a) = F̃ ∗ (−b, −a), которое эквивалентно эрмитовости квантовой наблюдаемой F̂ .Чтобы выразить F̃ (b, a) через F̂ нам надо продолжить исследованиеоператора сдвига наискосок.В координатном представленииie h̄(aP̂ −bQ̂)−ψ(Q) = eib(Q+a/2)h̄ψ(Q+ a).11.5. СДВИГИВ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ **325Ядро оператораiQ2 |e h̄(aP̂ −bQ̂)−|Q1 = eСлед оператора сдвига наискосок: itr e h̄(aP̂ −bQ̂)=tri(aP̂ −bQ̂)e h̄iQ1 |e h̄=−eib(Q2 +a/2)h̄δ(Q2(aP̂ −bQ̂)− Q1 + a).|Q1 dQ1 =ib(Q1 +a/2)h̄δ(a) dQ1= 2πh̄ δ(b) δ(a),= 2πh̄ δ(b) δ(a) = tr(T̂a Ŝb ) = tr(Ŝb T̂a ).Произведение сдвигов снова даёт сдвиг, умноженный на фазовый множитель (направления Q и P на фазовой плоскости ничем не выделены)ie h̄(a2 P̂ −b2 Q̂)i· e h̄(a1 P̂ −b1 Q̂)i= e h̄([a1 +a2 ]P̂ −[b1 +b2 ]Q̂)−·eiSh̄ ,Здесь S — площадь треугольника, натянутого на векторы (a1 , b1 ) и (a2 , b2 ):a a S = − 1 1 2 = 1 (a2 b1 − a1 b2 ).2 b1 b22−tr ei(a P̂ −b2 Q̂)h̄ 2i· e h̄(a1 P̂ −b1 Q̂)= 2πh̄ δ(a1 − a2 ) δ(b1 − b2 ).Теперь мы можем найти коэффициенты разложения оператора F̂ по операторам сдвига наискосок (аналог преобразования Фурье от оператора)i− (a2 P̂ −b2 Q̂)1F̂ .(11.33)F̃ (b, a) =tr e h̄2πh̄Установив с помощью формул (11.31), (11.32), (11.33) взаимно однозначное соответствие между классическими и квантовыми наблюдаемыми мыможем переписать умножение операторов как некоторый частный случай∗-произведения функций на фазовом пространстве.326ГЛАВА 1111.5.3.
Кривизна фазового пространства****В дифференциальной геометрии пространство считается искривлённым,если параллельный перенос по замкнутому контуру даёт преобразованиеотличное от тождественного. Параллельного перенос по замкнутому контуру в фазовой плоскости даёт умножение на фазовый множитель (11.27)iS(Γ)TΓ = e h̄, т.е. действие элемента группы U (1). Это означает, что фазовой плоскости можно приписать кривизну над группой U (1).
Кривизнафазовой плоскости постоянна, т. к. площадь контура входит в показательэкспоненты с постоянным коэффициентом.Аналогично кривизна над группой U (1) в пространстве-времени вводится при описании электромагнитного поля как калибровочного.Можно связать между собой две хорошо разработанных области математической физики: симплектическую геометрию и теорию калибровочныхполей. Симплектическая форма и тензор электромагнитного поля объединяют в один объект, задающий кривизну в расслоении фазового пространстванад группой U (1).
В литературе эта аналогия разрабатывается в одну сторону: квантовая механика как калибровочная теория в фазовом пространстве12 .Пусть X K — координаты в фазовом пространстве. Для коммутаторови классических скобок Пуассона имеем[X̂ K , X̂ L ] = ih̄J KL ,{X K , X L } = J KL .В нашей интерпретации J KL — тензор кривизны фазового пространстванад группой U (1).В канонических координатахiX Q = Qi ,X Pj = Pj ,JQiPji= −J Pj Q = δji ,JQiQj= J Pi Pj = 0.Переход от обобщённых импульсов P к кинематическим импульсам pпозволяет исключить статическое магнитное поле из гамильтониана, описав его как добавку к кривизне фазового пространства. Для таких («новыхканонических») координат x мы обозначим тензор кривизны I (это тот жетензор J, но в других координатах)xpj = pj = Pj − ec Aj (Q),[x̂K , x̂L ] = ih̄I KL , {xK , xL } = I KL ,ixq = q i = Qi ,12 Isidro J. M., de Gosson M. A.
A gauge theory of quantum mechanics// Mod. Phys. Lett. A.2007. Vol. 22, Pp. 191–200.11.5. СДВИГИIqipji= −I pj q = δji ,IqВ ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ **i jq327I pi pj = ec Fij = ec (∂i Aj − ∂j Ai ).= 0,Симплектическая форма ω задаётся матрицей обратной к матрице I,Mт.е. ωKL I LM = δK.ωqi pj = −ωpj qi = −δji ,ωqi qj = ec Fij ,ωpi pj = 0.Если не включать в число координат время (как обычно принято внерелятивистской квантовой механике), то в рамках данного подхода можноописать статическое магнитное поле, компоненты которого задаются компонентами тензора Fij (Fxy = −Hz , прочие компоненты получаем циклическими перестановками индексов).Данный подход отличается от общепринятого только выбором координат в фазовом пространстве.
В качестве примера приведём гамильтониандля системы частиц в магнитном поле в канонических и «новых канонических» координатах:H= (Pa − ec A(Qa ))2a2ma= p2a.2maaЗдесь a — номер частицы, координаты и импульсы относящиеся к одной частицы объединены в трёхмерные векторы. Магнитное поле, в каноническихкоординатах описывается векторным потенциалом A(Qa ) (H = rot A), который входит в гамильтониан, а коммутационные соотношения (и тензоркривизны фазового пространства J) не зависят от полей.
В «новых канонических» магнитное поле исчезает из гамильтониана и описывается через коммутационные соотношения для компонент кинематических импульсов pa , входя в тензор кривизны фазового пространства I.Для того, чтобы описать в рамках данного подхода переменное электромагнитное поле, необходимо расширить фазовое пространство, рассматривая время t и соответствующий времени обобщённый импульс p0 = −Eкак дополнительные координаты. При этом время в квантовой механике неможет рассматриваться в полной мере, как координата, волновая функция,по своему физическому смыслу, должна быть квадратично интегрируемойпо пространственным координатам, но не по времени, поскольку суммарная вероятность должна сохраняться.ГЛАВА 12Гармонический осцилляторГармонический осциллятор (грузик на пружинке) очень любим в теоретической механике, поскольку гармонический осциллятор — точно решаемая система, во многих случаях хорошо описывающая в первом приближении малые колебания различных систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
