Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Единственное преимущество квантовой реализации таких вычислений — теоретическая возможность вычисления без генерации энтропии, т. е.без диссипации энергии. Генерация энтропии и нагрев будут обязательнопроисходить только при необратимой очистке памяти и приготовлении исходного состояния компьютера.10.6.5. Вентили сугубо квантовыеЧтобы построить универсальный квантовый в смысле приведённоговыше определения необходимо дополнить описанный выше вентиль «управляемое не» несколькими сугубо квантовыми вентилями.
Обычно берут304ГЛАВА 10однобитовые вентилиeiασx ,⎛eiασy ,eiασz ,⎞11√√⎜ 22⎟H=⎝ 1.1 ⎠−√√22Доказано, что, используя перечисленные вентили, можно воспроизвестилюбое унитарное преобразование на пространстве состояний входа (пространстве состояний L кубитов) с любой наперёд заданной точностью.10.6.6.
Обратимость и уборка «мусора»Переписывание какого-либо необратимого алгоритма в обратимом виде может привести к тому, что в схеме появятся дополнительные выходные биты, которые будет нести дополнительную информацию, которая ненужна для вычислений, но которая необходима, чтобы сделать вычисленияобратимыми.То есть результат вычисления можно записать так:Û |вход, 0 .. . 0, 0 .. . 0 = |вход, выход, вспомогательная информация.выходдоп.
ячейки«мусор»Вспомогательная информация может мешать интерференции квантовыхсостояний, поэтому предпочтительно было бы иметь процесс видаÛ |вход, 0 .. . 0, 0 .. . 0 = |вход, выход, 0 . . . 0.выходдоп. ячейкиЭто не нарушает обратимости оператора Û , т. к. вся информация, необходимая для обращения вычисления, уже содержится в подсистеме ячеек«вход».Доказано, что любое классическое вычисление всегда можно провестиобратимым образом так, чтобы все дополнительные ячейки памяти, которые не используются для записи входа и выхода, в начале и конце процессабыли в состоянии 0 («ложь», «нет», «спин вниз» и т.
п.).Как правило, мы не можем «подсматривать» за промежуточными состояниями квантового компьютера, работающего в суперпозиции базисныхсостояний, чтобы не разрушить суперпозицию и не испортить вычисления. Однако, если мы заранее знаем, что на каком-то этапе вычисленийв определённой ячейке обязательно должен быть 0, мы можем это проверить, и состояние квантового компьютера от этого не изменится.10.6.
Л ОГИКАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ305Если квантовые вентили реализуются не идеально точно, реальное состояние может чуть-чуть отличаться от желаемого, и мы можем вместо 0обнаружить 1. Это будет означать ошибку квантового компьютера. Если мыв самом деле обнаружим 0, то «неправильная» часть волновой функции системы обнулится и мы, убедившись что ошибки пока нет, увеличим вероятность успешного завершения вычисления.
По существу, это разновидностьквантового эффекта Зенона.ГЛАВА 11Симметрии-1 (теорема Нётер)Наиболее естественно строить квантовую механику, основываясь, понятии симметрии. Выше(5.1 «Квантовая механика замкнутой системы») временная эволюция была описана как преобразованиесимметрии, порождённое оператором энергии (гамильтонианом). Следуя за классической теоретической механикой, в которой теорема Эммы Нётер устанавливает связь между симметриями и законами сохранения, мы должны ожидать, что и другим преобразованиям симметрии будут соответствовать свои сохраняющиеся величины, причём сдвигу по координате должен соответствовать импульс.Рис.
11.1. Эмма НётерКак мы увидим далее, квантовая теорема Нётер(1882–1935). Wдаже проще классической. Мы воспользуемся ей,чтобы ввести в квантовую механику ряд наблюдаемых, как имеющих классические аналоги (импульс, момент импульса), таки не имеющих (чётность, квазиимпульс).11.1. Что такое симметрия в квантовой механикеСимметрия физической системы — это некоторое преобразование, которое переводит одни решения уравнений эволюции в другие решения тогоже уравнения1 .
В частности стационарные состояния должны переходитьв стационарные с той же энергией2 . Стационарные состояния образуют ба1 Рассматривавшийсявыше сдвиг нулевого уровня энергии (5.13) не подпадает под данноеiE0 tопределение, поскольку преобразование ψ(t) → ψ(t)e− h̄ переводит решения уравненияШрёдингера с гамильтонианом Ĥ в решения другого уравнения Шрёдингера, с гамильтонианом Ĥ = Ĥ + E0 1̂.2 Если симметрия не зависит от времени.
В данном разделе мы ограничимся этим случаем,хотя возможны и иные случаи, например, переход от одной инерциальной системы отсчёта11.1. Ч ТОТАКОЕ СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ307зис, поэтому достаточно проверить симметрию только для стационарныхсостояний.Симметрии должны удовлетворять следующим условиям:• пространство чистых состояний имеет структуру линейного пространства =⇒ симметрии описываются линейными операторами;• симметрия должна обладать свойством рефлексивности (если ψ симметрично φ, то и φ симметрично ψ) =⇒ для всякого оператора симметрии существует обратный оператор, который тоже является симметрией;• пространство чистых состояний наделено структурой скалярного произведения =⇒ операторы симметрии должны сохранять скалярноепроизведение (а значит и вероятность).Перечисленные три условия означают, что симметрии описываютсяунитарными операторами.
φ симметрично ψ относительно симметрии Û ,записывается как ψ = Û φ, где Û — унитарный оператор данной симметрии.Пусть задан некоторый гамильтониан, для которого задан спектр:ĤψE = EψE .Если унитарный оператор Û является симметрией данного гамильтониана, то состояние Û ψE также является собственным для того же гамильтониана с тем же собственным числом:(Ĥ Û )ψE = Ĥ(Û ψE ) = E(Û ψE ) = Û (ĤψE ) = (Û Ĥ)ψE .Вычитая из первого выражения в цепочке равенств последнее, получаем:(Ĥ Û − Û Ĥ)ψE = 0.Состояния ψE образуют базис. Таким образом, все базисные состояния обнуляются под действием оператора [Ĥ, Û ] = Ĥ Û − Û Ĥ, а значит данныйоператор является нулевым:[Ĥ, Û ] = Ĥ Û − Û Ĥ = 0.(11.1)Равенство нулю коммутатора (11.1) является необходимым и достаточнымусловием того, что унитарный оператор Û является симметрией данногогамильтониана Ĥ.к другой, движущейся относительно исходной равномерно и прямолинейно, является симметрией для свободной частицы, хотя и меняет уровни энергии.308ГЛАВА 11Из условия (11.1) следует, что эрмитов оператор Ĥ и унитарный оператор Û могут быть диагонализованы одновременно, т.
е. может быть построен базис, все элементы которого являются собственными функциями дляобоих операторов. Следует иметь в виду, что не всякая функция, собственная для одного оператора, также является собственной для другого (такоевозможно для собственных чисел, которым соответствуют несколько линейно независимых собственных функций).11.2. Преобразования операторов «вместе» и «вместо»Мы можем применять преобразования симметрии не только к состояниям, но и к операторам. Мы можем выполнять преобразования двумя способами:• Преобразование «вместе»: операторы преобразуются вместе с состояниями, так, чтобы изменение операторов компенсировало изменениесостояний и все матричные элементы оставались теми же, что и допреобразования:ψ → Û ψ, → Û ÂÛ † ,††φ|Â|ψ → φ| Û Û Â U Û |ψ = φ|Â|ψ.1̂1̂• Преобразование «вместо»: операторы преобразуются вместо состояний, так, чтобы изменение операторов и изменение состояний давалоодинаковое преобразование матричных элементов:ψ → Û ψ,ψ → ψ, → Â,илиφ|Â|ψ → φ|Û † ÂÛ |ψ, → Û † ÂÛ ,φ|Â|ψ → φ|Û † ÂÛ |ψ.Таким образом, преобразования операторов «вместе» и «вместо» осуществляются с помощью обратных операторов.Преобразования «вместе» естественно применять для описания пассивных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются как замена базиса.
В этом случае преобразование операторов вместес состояниями соответствует их переписыванию в новом базисе.Преобразования «вместо» естественно применять для описания активных преобразований, когда преобразования состояния системы трактуются11.3. Н ЕПРЕРЫВНЫЕ309СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯкак изменение физического состояния системы. В этом случае преобразование операторов вместо состояний даёт альтернативное описание тогоже самого преобразования.
Например, преобразование операторов от представления Шрёдингера к представлению Гайзенберга — это преобразованиеоператоров «вместо» преобразования состояний, задававшего унитарнуюэволюцию в представлении Шрёдингера.11.2.1. Непрерывные преобразования операторов и коммутаторыПусть оператор Â подвергается однопараметрическому преобразованию «вместе» Ûα :Â → Âα = Ûα ÂÛα† ,Ûα = eiαB̂ .Дифференцируя Âα по параметру α, получаем коммутатор оператора Âα и генератора преобразования B̂:dÂα= (iB̂)Ûα ÂÛα† + Ûα ÂÛα† (−iB̂) = i[B̂, Âα ].dα(11.2)Положив α = 0, получаем необходимое и достаточное условие инвариантности оператора при однопараметрическом преобразовании («вместе»или «вместо» — не важно):[Â, B̂] = 0.11.3.
Непрерывные симметрии и законы сохраненияВ классической механике каждой симметрии, параметризуемой непрерывным параметром, в соответствии с теоремой Эммы Нётер соответствует закон сохранения. Если выбором координат свести такую симметрию к сдвигу по какой-то обобщённой координате (однородность пообобщённой координате), то такой сохраняющейся величиной можно выбрать обобщённый импульс вдоль этой координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
