Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 57
Текст из файла (страница 57)
H = CN ,где N конечно (хотя, может быть, велико).2 Feynman R. P. Simulating physics with computers // Int. J. Theor. Phys. — 1982. — Vol. 21,Nos. 6/7. — P. 467–488.298ГЛАВА 10Таким образом, ограниченная в пространстве и по энергиям системадопускает конечный набор дискретных независимых наблюдаемых. При измерении такой системы мы можем получить только конечный объём информации, записывающийся с помощью конечного числа знаков какого-либоалфавита.
В классике это означало бы, что система имеет конечное число состояний, но в квантовом случае число состояний бесконечно, за счётлинейности пространства состояний (принципа суперпозиции).Таким образом, обладая конечным числом независимых квантовыхсостояний, ограниченная в пространстве и по энергии квантовая системаможет рассматриваться как квантовый аналог цифрового компьютера.10.4. Понятие универсального квантового компьютераВ литературе определение универсального квантового компьютера часто даётся в запутанной форме, либо не даётся вообще.
При этом, как правило, даётся ссылка на статью Дэвида Дойча 1985 года3 .Статья Дойча (1985) содержит достаточно расплывчатое определение«полного моделирования»4 одной системы с помощью другой:Вычислительная машина M может полностью моделироватьфизическую систему Y относительно данной разметки их входови выходов, если для M существует программа π(Y), которая делает M вычислительно эквивалентной Y относительно этой разметки.
Другими словами, π(Y) превращает M в «чёрный ящик»,функционально неотличимый от Y.Универсальный квантовый компьютер при этом понимается как универсальное устройство для полного моделирования произвольной физической системы с любой наперёд заданной точностью.Это определение только затемняет вопрос, т. к. вполне классическаяуниверсальная машина Тьюринга (универсальный классический компьютер) при наличии неограниченного времени и неограниченной памяти способна численно решать уравнения квантовой механики с любой наперёдзаданной точностью и формально подходит под это определение, хотя автор, очевидно, имеет в виду нечто большее.Внимательное изучение реального физического содержания той жестатьи позволяет извлечь и настоящее определение универсального квантового компьютера:3 Deutsch D., Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal QuantumComputer // Proc. R.
Soc. Lond. — 1985. — A 400. — P. 97–117; перевод А. П. Бельтюкова.4 Perfect simulation.10.5. К ВАНТОВЫЙ299ПАРАЛЛЕЛИЗМУниверсальный квантовый компьютер — устройство, которое позволяет для системы L квантовых битов осуществлять преобразование,сколь угодно близкое к любому желаемому унитарному преобразованиюLпространства HL = C2 .В статье Дойча (1985) содержатся также рассуждения, обосновывающие возможность полного моделирования открытых квантовых систем, однако эти рассуждения не представляются в достаточной степени строгимии убедительными.10.5.
Квантовый параллелизмКвантовый параллелизм — возможность одновременного выполнениякаких-либо обратимых вычислений над разными членами квантовой суперпозиции.Набор из L классических битов может находиться в 2L различных состояниях. Однако для квантовых битов эти 2L состояний оказываются базисом линейного пространства и допустимы также любые их суперпозиции,в частности, состояние|0 + |1 |0 + |1|0 + |1···=√√√222L⎛=12L/2⎞⎜⎟⎝|0 · · · |0|0 + |0 · · · |0|1 + |0 · · · |1|0 + |0 · · · |1|1 + · · · + |1 · · · |1|1⎠. LLLLL2LТаким образом, мы получаем суперпозицию всех двоичных чисел от00 · · · 02 = 0 до 11 · · · 12 = 2L − 1. То же самое равенство мы можем Lпереписать так:L|X =|0 + |1√2⊗L=12L/2L−12|n.n=0Если у нас есть некоторая функция f : {0, .
. . , 2L − 1} → {0, . . . , 2L − 1},тогда ей можно сопоставить унитарное преобразование Ûf , которое следующим образом действует на первых 2L базисных состояниях пространства300ГЛАВА 10L+LHL+L = C2:Ûf | n ; 0 = | n ; f (n) .L кубит L кубитL кубит L кубитЛюбое унитарное преобразование Ûf может быть реализовано как операторэволюции для некоторого гамильтониана, задающего взаимодействие L+Lкубитов, т. е.
может быть выполнено на универсальном квантовом компьютереÛf |X; 0 =12L/2L−12Ûf |n; 0 =n=012L/2L−12|n; f (n).n=0Таким образом, применение этого преобразования к состоянию |X; 0 позволяет вычислить функцию f одновременно для всех чисел от 0 до 2L − 1.С точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики5можно сказать, что у нас имеется 2L эвереттовских миров, которые отличаются друг от друга только тем, какое число введено в квантовый компьютер, в каждом из этих миров идёт вычисление функции f для своегозначения аргумента. Однако извлечь из L кубитов мы по-прежнему можемне более L классических битов информации.
По этой причине квантовыйпараллелизм оказывается не столь эффективным, как это может показатьсяна первый взгляд.10.6. Логика и вычисления10.6.1. Логика классическаяКлассическая логика изучает функции двоичных переменных (классических битов): каждый аргумент такой функции пробегает два значения(0 и 1, «да» и «нет», «ложь» и «истина»), и значение самой функции такжеможет принимать те же два значения.
Такие функции могут также называться логическими операциями.5 Дэвид Дойч утверждает в своих статьях и книгах, что многомировая интерпретация квантовой механики является стандартной для физиков, работающих в области квантовых вычислений. Д. Дойч также является автором философской книги «Структура реальности», рассматривающей современную науку с точки зрения квантовой механики по Эверетту, эволюции поДарвину и теории познания по Попперу (познание как естественный отбор среди научныхтеорий).10.6.
Л ОГИКА301И ВЫЧИСЛЕНИЯЛогические операции удобно изображать графически в виде блокас несколькими входными линиями (входами), соответствующими аргументам, и одной выходной линией (выхода), соответствующей значению функции. Логические операции в графическом представлении мы будем называть логическими вентилями.Любое численное или логическое вычисление может быть представлено как комбинация логических операций или в виде графической схемы (логической схемы), состоящей из нескольких логических вентилей, соединённых между собой линиями: у части вентилей выходы соединеныс входами других вентилей.
При этом линия, идущая от выхода, может разветвляться. Графическая схема может иметь несколько внешних входныхлиний, на которые подаются входные данные и несколько выходных — накоторые выдаётся результат вычисления. Входные линии схемы (они также могут разветвляться) могут подключаться к выходным линиям схемы,а также к входным линиям логических вентилей.Доказано, что для описания любого вычисления достаточно применить конечное число разновидностей логических вентилей, например, «и»,«или», «не»:0001«и»:1011→→→→00,010001«или»:1011→→→→01,11«не»:0→1.1→0Более того, достаточно одного универсального вида логических вентилей«не-и»:0001«не-и»:1011→→→→11,10«не-и»(•, •) = «не»(«и»(•, •)).10.6.2. Вычисления и необратимостьОписанные выше логические схемы представляют собой графическоеописание процесса вычислений, который может быть реализован на некотором классическом вычислительном устройстве.
То есть логические схемы — описания физических процессов, которые реализуют данное вычисление.Поскольку линии логической схемы могут разветвляться, произвольная информация в логических схемах может копироваться. Согласно теореме о невозможности клонирования квантового состояния, возможность302ГЛАВА 10копирования означает, что информация не может задаваться произвольным квантовым состоянием, в частности, она не может быть квантовойсуперпозицией двух логически различных входов. Поскольку число входовлогического вентиля больше, чем число выходов, число входных состояний больше, чем число выходных, и работа такого вентиля необратима.Физически из этого, в частности, следует, что работа соответствующегофизического устройства генерирует энтропию: потеря одного бита информации порождает не менее одного бита энтропии, как меры недостаткаинформации о микросостоянии системы.Поскольку квантовая теория замкнутых систем всегда порождает обратимую (унитарную) эволюцию, необратимые логические вентили не могутбыть смоделированы как замкнутые квантовые системы.10.6.3.
Обратимые классические вычисленияУнитарная квантовая эволюция, в отличие от классических алгоритмов, полностью обратима. Тем не менее любое классическое вычислениеможет быть модифицировано так, чтобы каждый шаг выполнялся обратимым образом, и всё вычисление в целом также было обратимым.Для обратимых классических вычислений вход и выход всегда содержат одинаковое количество бит L и любое вычисление можно рассматривать как некоторое взаимно-однозначное отображение (перестановку) множества всех входов (состоит из 2L элементов) на себя.Такую перестановку можно представить матрицей 2L × 2L , в каждойстроке и в каждом столбце которой имеется ровно одна единица, а остальные элементы — нули. Такая матрица является унитарной (обратима и сохраняет скалярное произведение), а значит может быть реализована как оператор эволюции некоторой квантовой системы с пространством состоянийLHL = C2 (см.
рис. 10.1).10.6.4. Обратимые вычисленияДля записи обратимых вычислений удобно использовать обратимые логические операции (они не подпадают под определениеAлогической операции, данное выше). Обратимые логические операции являются взаимноРис. 10.1. Обратимый логи- однозначными отображениями множества вхоческий вентиль, действую- дов (множество состояний l битов, котороещий на два (ку)бита.имеет 2l состояний) на множество выходов,10.6. Л ОГИКАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ303которое также имеет 2l состояний и может быть записано как множествосостояний l битов.Обратимая логическая операция может быть изображена графически(рис. 10.1) в виде обратимого логического вентиля: блока, имеющего равное число входов (однобитных аргументов) и выходов (битов для записи значения функции). Такая картинка полностью аналогична графическому представлению квантового оператора, действующего на сложнуюсистему (см.
4.4.4 «Сравнение разных обозначений*»), и, действительно,действие такого вентиля на квантовую систему соответствует действиюсоответствующего унитарного оператора.Доказано, что любое классическое вычисление может быть сделано обратимым. При этом достаточно применить конечное число разновидностейобратимых логических вентилей, например, достаточно одного универсального вентиля «управляемое не»:0001«управляемое не»:1011→→→→0001.1110В операции «управляемое не» первый бит определяет применять ли операцию «не» ко второму биту, сам первый бит передаётся со входа на выходбез изменений.Обратимые вентили типа «управляемое не» могут быть реализованыв виде классических, или квантовых устройств. Однако такой вентиль переводит базисное состояние (в котором состояние всех битов задаётся как 0или 1 и биты не зависят друг от друга) снова в базисные состояния.То есть в процессе таких вычислений (вычислений в базисных состояниях) нигде не появляются квантовые суперпозиции и квантовая запутанность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
