Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 65
Текст из файла (страница 65)
К ОГЕРЕНТНЫЕСОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА *349ционируют со временем как |nш (t) = e− h̄ En t |nш (0). Таким образом,in − 1|âг (t)|n = (n − 1)ш |âш |nш t =−i=eEn −En−1h̄tn − 1|âш |n0 = e−iωt n − 1|âш |n0 .Поскольку для всех ненулевых матричных элементов оператора âг (t) эволюция описывается одним и тем же фазовым множителем e−iωt , мы можемзаписать для самого оператораâг (t) = e−iωt âш .Нам удалось это благодаря тому, что все ненулевые матричные элементыоператора â берутся для состояний с одинаковой разностью энергий, т.
е.благодаря тому, что â спускает каждое стационарное состояние по лестницеэнергий на одну и ту же величину h̄ω.12.7. Когерентные состояния гармоническогоосциллятора*Выше мы уже рассматривали когерентные состояния, обращающие соотношение неопределённостей для пары операторов Â, B̂ в равенство (7.6).Такие состояния должны быть собственными для оператора вида iγ  + B̂.Именно такой вид имеют операторы â и ↠для гармонического осциллятора, поэтому их собственные состояния должны быть когерентными дляпары наблюдаемых координата-импульс.Легко видеть, что оператор ↠не имеет собственных состояний5 .Состояния, удовлетворяющие условиюâ|ψz = z|ψz ,z ∈ C,(12.40)называются когерентными состояниями гармонического осциллятора. Такие состояния существуют для всех z и одно из таких состояний мыуже знаем — это основное состояние гармонического осциллятора |0(см. (12.21)).+ iP̂Мы знаем, что â = Q̂ √, пусть аналогично2z=α + iβ√ ,2α, β ∈ R.5 Попробуйте доказать это от противного, предположив, что ↠|ψ = Z|ψ, и разложив |ψпо базису состояний |n.
(При каком минимальном n коэффициент разложения может бытьотличен от нуля?)350ГЛАВА 12Тогда уравнение (12.40) перепишется какα + iβQ̂ + iP̂|ψz = √ |ψz √22⇔[(Q̂ − α) + i(P̂ − β)]|ψz = 0.Таким образом, состояния |ψz с произвольным z ∈ C получаютсяиз |0 сдвигом по координате на α и импульсу на β.В координатном представлении получаем1 · eiβQ−ψz (Q) = √4π(Q−α)22.Однако при вычислении средних по когерентному состоянию осциллятора можно обойтись без этой формулы, используя вместо этого уравнение (12.40).
Это работает для любых операторов, выражающихся через Q̂и P̂ (а значит, выражающихся через â и ↠).Продемонстрируем это на примере вычисления средней энергии гармонического осциллятора в когерентном состоянии |ψz . В первую очередьнадо записать оператор через â и ↠так, чтобы в каждом слагаемом всеоператоры ↠были левее всех операторов â (используя коммутатор [â, ↠] == 1 (12.8), для расстановки лестничных операторов в правильном порядке):6ψz |Ĥ|ψz = ψz | h̄ω (↠â + 12 )|ψz .2После этого действуем всеми операторами â налево, а всеми операторами ↠направо, используя (12.40) и эрмитово сопряжённое соотношение:â|ψz = z|ψz ,ψz |↠= ψz |z ∗ ,ψz |Ĥ|ψz = ψz | h̄ω (z ∗ z + 12 )|ψz = h̄ω (|z|2 + 12 ).2212.7.1.
Временная эволюция когерентного состояния*Для изучения временной эволюции когерентного состояния воспользуемся представлением Гайзенберга:|ψz (t) = Ût |ψz ,â|ψz = z|ψz ⇒ Ût â|ψz = Ût z|ψz = z|ψz (t).6 Этоназывается — нормальное упорядочение.12.7. К ОГЕРЕНТНЫЕСОСТОЯНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА *351Мы знаем, что âг (t) = Ût−1 âÛt = e−iωt â, поэтомуÛt â|ψz = Ût âÛt−1 Ût |ψz = âг (−t)|ψz (t) = eiωt â|ψz (t). âг (−t)|ψz (t)Таким образом,eiωt â|ψz (t) = z|ψz (t) ⇒ â|ψz (t) = e−iωt z|ψz (t).Мы получили, что исходное состояние |ψz эволюционировало за время tв состояние |ψz (t), которое снова оказалось собственным для оператора â,но уже с собственным числом z(t) = e−iωt z. Средниезначения координаты√и импульса (вещественная и мнимой части 2 z) зависят от времени также, как для классического осциллятора, при этом дисперсии координатыи импульса остаются неизменными, т.
е. волновой пакет осциллирует какцелое, не расплываясь.Мы получили временную эволюцию когерентного состояния с точностью до зависящего от времени фазового множителя. Точную временнуюэволюцию когерентного состояния мы можем легко получить, разложив егопо базису чисел заполнения.12.7.2. Когерентные состояния в представлении чисел заполнения**Результаты данного подраздела можно получить более громоздкими прямолинейным путём, подставляя в уравнение для когерентного состояния гармонического осциллятора (12.40) волновую функцию, разложеннуюпо |n и исследуя рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения7 . Однако мы нашли полезным для любознательных студентов использовать более изощрённый подход (поставив на заголовок лишнюю звёздочку).Мы можем разложить произвольную волновую функцию по базисным(↠)nсостояниям |n = √∞n!|0:∞(↠)ncn |n =cn √ |0 =|ψ =n!n=0n=0∞cn√ (↠)nn!n=0|0 = f (↠)|0.Таким образом, волновая функция может быть представлена как результатдействия на основное состояние |0 некоторой функции f от оператора ↠.7 Читательможет проделать эти вычисления в качестве упражнения.352ГЛАВА 12Функция f задаётся с помощью формального степенного ряда:f (x) =∞cn√ xn .n!n=0Мы можем считать, что функция f (x) является иным представлением волновой функции |ψ.
Вопрос о сходимости ряда, который задаёт функцию f (x) при тех или иных значениях аргумента, не имеет физическогосмысла и нас не интересует. Единственная сходимость, которую следуеттребовать для f (x), — сходимость квадрата нормы волновой функции:∞∞ dn f (0) 2122ψ =|cn | = .n! dxn n=0n=0Производная здесь понимается как формальная производная ряда.Оператор ↠действует на волновую функцию, представленную как f (x)∂ 8путём умножения на x, а оператор â действует как ∂x.Таким образом, уравнение для когерентного состояния гармоническогоосциллятора (12.40) переписывается следующим образом:9â|ψz = z|ψz ⇒df= zf.dxРешая это уравнение, находим:f (x) = c · ezx†|ψz = c · ezâ |0 = c⇒†|ψz = c · ezâ |0.∞∞z n (↠)n |0 = c z n |n.√n!n!n=0n=0∞(z ∗ z)n2ψz = |c|= |c|2 e|z| .n!2n=0Теперь мы можем написать нормированное на единицу когерентное состояние:−|ψz = e|z|22†· ezâ |0.(12.41)8 Проверьте это.
Предварительно выведите, используя (12.8), следующую формулу:[â, (↠)n ] = n(↠)n−1 . Мы можем также символически написать â = ∂∂↠. Для сравнениясм. также раздел 13.2.4 «Производная по операторному аргументу».9 Мы также получаем ещё одно доказательство отсутствия ненулевых состояний, удовлетворяющих уравнению ↠|ψ = z|ψ, которое переписывается в виде x f (x) = z f (x).12.8. РАЗЛОЖЕНИЕПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ **353Используя представление Гайзенберга, мы можем теперь получить временную эволюцию когерентного состояния со всеми фазовыми множителями:−|ψz (t) = Ût e|z|22z↷e−|0 = e|z|22zâ†Ût eÛt−1 · Ût |0−=e|z|2†2 ezâг (−t) · |0t.Таким образом, используя соотношение â†г (t) = eiωt ↠, находим−|ψz (t) = e|z|2−iωt †â2 eze−i·eωt2 |0−i=eωt2 |ψz(t) ,z(t) = ze−iωt .(12.42)12.8.
Разложение по когерентным состояниям**Набор когерентных состояний со всевозможными параметрами z ∈ Cне является линейно независимым и выступать в роли базиса в не может.Тем не менее, рассмотрим проекцию некоторого состояния |ψ = f (↠)|0на когерентное состояние |ψz∗ .dn2 f 2|z|∞∞dxn2 x=0n1−ψz∗ |ψ =n1 |e 2 √z|n2 =√n1 ! n2 =0n2 !n1 =0−=e|z|22∞dn f zn ,dxn x=0 n!n=0−ψz∗ |ψ = e|z|22f (z)(12.43)— это амплитуда вероятности того, что находившаяся в состоянии ψ система будет найдена в когерентном состоянии ψz∗ . Таким образом, введённаяранее аналитическая функция комплексного аргумента f (z) приобрела физический смысл.Комплексный аргумент z выражается через средние значения обезразмеренных координаты и импульса в когерентном состоянии ψz∗ , что соответствует представлению оператора ↠через соответствующие операторы:z=Q − iP,√2↠=Q̂ − iP̂.√2354ГЛАВА 12Обозначим |f = f (↠)|0.Скалярное произведение должно быть определено так, чтобы выполнялось условие ортонормированности базиса стационарных состояний гармонического осциллятора:76n2 n1zz= δn2 n1 .n2 |n1 = √√n2 ! n1 !В терминах функций f скалярное произведение может быть записанокак интеграл по комплексной плоскости:21f2 |f1 = πf2∗ (z) f1 (z) e−|z| dz dz ∗ .(12.44)CМы видим, что между функциями комплексного аргумента z вида−F (z) = √1 eπ|z|22f (z) и волновыми функциями ψ(x) = x|f (↠)|0 ∈ L2 (R)имеется взаимно-однозначное соответствие.Функция F (z) = FQ − iP√2похожа на невозможный в квантовоймеханике объект: волновую функцию, зависящую одновременно от координаты и соответствующего импульса.Запишем матричные элементы от операторов ↠= z и â = d :F2 |↠|F1 =1F2 |â|F1 = πCdzF2∗ (z) z F1 (z) dz dz ∗ .C∗e−zz f2∗ (z) d f1 (z) dz dz ∗ =dzF2∗ (z) z ∗ F1 (z) dz dz ∗ .CВ последнем выражении интеграл по z взят по частям, с учётом того, что−zz∗df2∗= 0, de= z ∗ e−zz .dzdz∗Аналогичную формулу можно получить для любого произведения операторов â и ↠, в котором множители упорядочены антинормальным упорядочением: сначала идут все множители â, а потом — â†F2 |ân2 â†n1 |F1 = F2∗ (z) z ∗n2 z n1 F1 (z) dz dz ∗ .C12.8.
РАЗЛОЖЕНИЕПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ **355Также и для произвольной антинормально упорядоченной функцииA(â, ↠) 10 имеемF2 |A(â, ↠)|F1 = F2∗ (z) A(z ∗ , z) F1 (z) dz dz ∗ .CВ частности для средних значений (диагональных матричных элементов)мы получаем такое выражение, как если бы функция |F (z)|2 была плотность вероятности на комплексной плоскостиz, т.
е. совместным распреде√√лением вероятности по координате Q = 2Re z и импульсу P = − 2Im z:†F |A(â, â )|F = |F (z)|2 A(z ∗ , z) dz dz ∗ .CФункция |F (z)|2 , как и полагается настоящей плотности вероятности неотрицательна и нормирована на единицу.При всём сходстве с обычными волновыми функциями ψ(x), функция F (z) имеет ряд существенных отличий.• Волновая функция ψ(x) задаёт амплитуды вероятностей √для разныхвзаимоисключающих значений координаты x, а функция πF (z) задаёт амплитуды вероятностей для когерентных состояний, которые нетолько не ортогональны, но даже не являются линейно независимыми11 .– Аргумент функции ψ(x) — вещественный, а функции F (z) — комплексный.– Чтобы задать волновую функцию ψ(x), надо определить её значения на множестве всюду плотном на R.– Чтобы задать функции F (z), достаточно задать её значения насходящейся последовательности различных точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
