Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Это возможно поскольку F (z) определяется через аналитическую функцию f (z).10 При разложении функции A(â, ↠) по степеням операторов â и ↠каждый член разложения должен быть антинормально упорядочен.511 Система когерентных состояний ψ является ортоподобной, т.е.|ψz ψz | dz dz ∗ =zC= const · 1̂ = 1̂. Константа для нормированных когерентных состояний равна π.
В силу15этого ψ2 |ψ1 = π ψ2 |ψz∗ ψz∗ |ψ1 dz dz ∗ , что совпадает с уравнением (12.44).C356ГЛАВА 12• Хотя функция |F (z)|2 очень похожа на распределение вероятностейпо z, она таковым не является. Однако, она становится распределением вероятности по z в классическом пределе, т.
е. для состояний и вопросов, для которых эффектом антинормального упорядочения можнопренебречь.12.9. Сжатые состояния**Рассмотренные выше, в разделе 12.7, когерентные состояния гармонического осциллятора не исчерпывают всех возможных когерентных состояний для пары операторов координата-импульс (см. раздел 7.2.3). Общеекогерентное состояние для пары операторов координата-импульс должноудовлетворять уравнению(x̂ + iγ p̂)|ψzγ = z|ψzγ ,в котором параметры z ∈ C и γ > 0 могут быть выбраны произвольными.Однако когерентные состояния гармонического осциллятора ограниченны1случаем фиксированного γ = xp00 = mω(см.
(12.5)). Такие состояния всеполучаются сдвигом по координате и импульсу гауссова распределения (основного состояния) с фиксированной шириной.Мы можем рассмотреть когерентные состояния с другими значениями γ, которым будут соответствовать гауссовы распределения более илименее широкие, чем для основного состояния осциллятора. Такие состояния называют сжатыми состояниями гармонического осциллятора12 .Сжатые состояния могут быть получены из когерентных изменениеммасштаба (растяжением или сжатием) по координате (масштаб по импульсуменяется автоматически так, чтобы продолжало выполняться соотношениеx0 p0 = h̄).Удобно построить оператор сжатия, действие которого позволяло быпроводить соответствующее изменение масштаба.
Сжатие по координате xсоответствует сдвигу по ln |x|. Таким образом, генератор соответствующегопреобразования должен иметь вид:Ĝ0 = −ih̄∂= −ih̄x ∂ = x̂p̂.∂x∂ ln |x|(12.45)12 Название связано с тем, что распределение по координате или по импульсу для такогосостояния может оказаться более узким (сжатым), чем для основного состояния осциллятора.12.9. С ЖАТЫЕСОСТОЯНИЯ **357Данный оператор, однако, не является эрмитовым, а следовательно, экспонента от негоie h̄kĜ0ie h̄,kĜ0ψ(x) = ψ(ek x)не будет унитарным оператором. Это связано с тем, что при сжатии в ek разпо x во столько же раз уменьшается квадрат нормы ψ2 .
Для того чтобысделать оператор унитарным, можно добавить к генератору Ĝ0 константус таким расчётом, чтобы новый оператор оказался эрмитовым:∂1= x̂p̂ − ih̄ = 1 [x̂, p̂]+ =Ĝ = −ih̄ x+22∂x 2â2 − (↠)2. (12.46)= 1 (x̂p̂ + p̂x̂) = −ih̄22Экспонента от эрмитового оператора автоматически оказывается унитарной:iD̂k = e h̄k Ĝk= e2(â2 −(↠)2 )k,D̂k ψ(x) = e 2 ψ(ek x).(12.47)Как эволюционирует сжатое состояние, по сравнению с исходным? Пусть|ψk = D̂k |ψ,|ψk (t) = Ût |ψk = Ût D̂k |ψ = Ût D̂k Ût−1 Ût |ψ = (D̂k )г (−t)|ψ(t),k(D̂k )г (−t) = e 2(â2г (−t)−(â†г (−t))2 )ke=e2iωt2k= e2(e2iωt â2 −e−2iωt (↠)2 )(â2 −e−4iωt (↠)2 )=.Таким образом, каждые 14 периода колебаний осциллятора меняется знак k,т. е.
сжатие по координате (и растяжение по импульсу) сменяется растяжением по координате (и сжатием по импульсу).Средние значения координаты и импульса, как и для любых волновыхфункций гармонического осциллятора, колеблются как в классике (12.39).В моменты времени, не кратные четверти периода, сжатое состояниеуже не когерентное для пары наблюдаемых координата-импульс, но оказывается когерентным для парыQ̂г (−t) = cos(ωt) Q̂ − sin(ωt) P̂ ,P̂г (−t) = sin(ωt) Q̂ + cos(ωt) P̂ .358ГЛАВА 1212.10.
Классический предел*Как получить из квантового осциллятора классический? Мы уже установили, что средние значения координаты и импульса для произвольногоквантового состояния гармонического осциллятора эволюционируют точнотак же, как и в классике (12.39). Однако какие из квантовых состоянийнаиболее похожи на классические? Для стационарных состояний с любойэнергией Q(t) = P (t) = 0, Q2 (t) = P 2 (t) = n + 12 , E = En == h̄ω(n + 12 ).В классическом пределе постоянную планка h̄ можно считать малой(n велико) и мы можем пренебречь добавкой 12 в формулах для энергиии средних квадратов.Основному состоянию (n = 0) можно сопоставить состояние равновесия классического осциллятора, а возбуждённым состояниям — классические состояния с неизвестной фазой колебаний:мы знаем, что осцилляторколеблется с определённой амплитудой Q2 (t) = P 2 (t), но не знаем с какой фазой происходят колебания.
Из-за этого незнания координатаи импульс усредняются по периоду и их средние значения обнуляются.Определение фазы колебания — это определение времени: ϕ = ωt. Соотношение неопределённостей энергия-время (2.2) может быть переписанокак соотношение фаза-уровень:δϕδt · δE = ω · δE h̄2⇔δϕ · δn 1 .2(12.48)Таким образом, чтобы хотя бы приближённо определить фазу колебаний, нам необходимо пожертвовать точным определением энергии.Наиболее классическими состояниями осциллятора принято считатькогерентные состояния, поскольку для них неопределённости координатыи импульса минимальны и не зависят от времени δQ2 (t) = δP 2 (t) = 12 .При этом чем больше средняя энергия когерентного состояния, тем болееклассическим оно является.12.11.
Квантованные поля (ф*)Классическая теория поля может рассматриваться как теоретическаямеханика систем, с бесконечным числом степеней свободы. При этом значение поля в каждой точке пространства (или каждая Фурье-компонентаполя) может рассматриваться как обобщённая координата.12.11. К ВАНТОВАННЫЕПОЛЯ ( Ф *)359Квантовая теория поля соотносится с классической теорией поля точнотак же, как квантовая механика соотносится с теоретической механикойсистем, с конечным числом степеней свободы.Квантовая теория поля — теория с переменным числом частиц, поскольку частицы в ней выступают в роли возбуждений поля. Мы обязаны рассматривать частицы в качестве возбуждений соответствующих полейв тех случаях, когда характерные энергии становятся сравнимы с энергиямипокоя частиц, а это, в частности, означает, что корректная релятивистскаяквантовая механика может быть построена только в рамках квантовой теории поля.Если мы рассматриваем поле свободных (т.
е. ни с кем не взаимодействующих) частиц, то обычно поле заключается в ящик Lx × Ly × Lz с периодическими граничными условиями и разлагается в ряд Фурье. Каждомуразрешённому (при данных размерах ящика) волновому вектору ставитсяв соответствие количество степеней свободы K, равное числу поляризаций у частиц рассматриваемого сорта. После этого пишется гамильтонианквантованного поля, состоящий из суммы членов, описывающих все этистепени свободы:2π2π2πĤ =N ,N ,N ,Ĥkσ , k =Lx x Ly y Lz zk,σNx , Ny , Nz ∈ Z,σ = 1, . . .
, K.Взаимодействие частиц описывается с помощью добавления в гамильтониан членов, содержащих переменные, относящиеся к разным состояниям частиц.Вид гамильтониана Ĥk,σ зависит от того, является ли рассматриваемое поле бозонным или фермионным. Для бозонных полей (например, дляэлектромагнитного поля) надо взять гамильтониан гармонического осциллятора2Ĥk,σ = h̄ωk,σ 1 ( P̂k,σ+ Q̂2k,σ ) = h̄ωk,σ (â†k,σ âk,σ + 12 ).2Операторы â†k,σ и âk,σ оказываются операторами рождения и уничтожениячастицы (кванта поля, для электромагнитного поля — фотона) в состояниис волновым вектором k (т. е.
с импульсом pk = h̄k), энергией εk,σ = h̄ωk,σи поляризацией σ. Оператор N̂k,σ = â†k,σ âk,σ оказывается оператором числачастиц с волновым вектором k и поляризацией σ. Через операторы N̂k,σ360ГЛАВА 12легко записываются такие величины, как общее число частицN̂kσ ,N̂ =k,σобщая энергияĤ =εkσ (N̂kσ + 12 ) =k,σh̄ωkσ (N̂kσ + 12 ),k,σобщий импульсp̂ =pkσ N̂kσ .k,σОбщая энергия оказывается ненулевой даже в отсутствие частиц (такое состояние называют вакуумом)E0 = 1h̄ωkσ ,2k,σэту энергию называют энергией нулевых колебаний вакуума (или просто —энергия вакуума).
Более того, энергия вакуума, как правило, оказываетсябесконечной (одна из знаменитых расходимостей квантовой теории поля).Однако обычно эту энергию просто отбрасывают, используя модифицированный гамильтонианĤk,σ =h̄ωk,σ â†k,σ âk,σ .k,σВ большинстве случаев нас интересуют не абсолютные значения энергий,а изменение энергии, поэтому мы можем вычесть из энергии произвольную(хотя и бесконечную) константу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
