Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Квазиклассическая волновая функция у точки поворотаВ классически разрешённой области квазиклассическая волновая функция представляется суперпозицией двух волн, бегущих слева направои справа налево (13.24). Если данная энергия относится к невырожденномуспектру (непрерывному или дискретному), т. е. если частица не может уйти по координате на одну из бесконечностей, то поток вероятности долженравняться нулю, а амплитуда обеих волн должна совпадать. В этом случае (даже вне зависимости от квазиклассического приближения) волноваяфункция может быть выбрана вещественной, т. е.⎛⎞xψ(x) = Cp(X)dX + ϕ0 ⎠.sin ⎝ 1(13.29)h̄p(x)x0380ГЛАВА 1321–200248–1–2Рис.
13.3. Волновая функция у бесконечновысокой стенки.В случае, если классически разрешённая область ограничена бесконечновысокой стенкой, в точке a мы имеем ψ(a) = 0 и можем записать⎞⎛xψ(x) = Cp(X)dX ⎠.(13.30)sin ⎝ 1h̄p(x)a21–200248–1–2Рис. 13.4. Волновая функция у ступеньки.Если точка a является точкой поворота (для определённости — левойточкой поворота), где U (a) = E (или U (a − 0) > E > U (a + 0)), то и в этомслучае удобно выбрать a в качестве предела интегрирования и записать⎛⎞xψ(x) = Cp(X)dX + ϕ0 ⎠.sin ⎝ 1(13.31)h̄p(x)aЗадача состоит в том, чтобы подобрать фазу ϕ0 так, чтобы формула (13.31) правильно описывала квазиклассическую волновую функциюв глубине классически разрешённой области (вдали от точки поворота a).13.5.
К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ381Даже если в окрестности точки поворота квазиклассическое приближение не выполняется (например, p(a) = 0), нас, как правило, интересуютне детали поведения волновой функции в малой окрестности точки a, а еёповедение на больших интервалах вдали от этой точки. Для этого достаточно знать фазу ϕ0 .Сравнивая волновые функции в ямах с бесконечновысокими стенкамии со стенками конечной высоты, мы можем заключить, что для левой точки поворота ϕ0 > 0 (по крайней мере, для этого случая). То есть если мыхотим заменить стенку конечной высоты, стоящую в точке a, бесконечновысокой стенкой, то стенку придётся отодвинуть, чтобы к точке a волноваяфункция успела набрать фазу ϕ0 , т.
е. по сравнению с ямой с бесконечновысокой стенкой яма с конечной стенкой «выглядит шире».В случае, если в окрестности точки поворота (там, где не работает квазиклассика) потенциал можно приблизить линейной функцией, фаза можетбыть вычислена (см. следующий раздел)ϕ0 = π ,4т. е. яма оказывается эффективно шире на 14 полуволны с одной стороны.Если яма с обоих сторон ограничена такими точками поворота, то в общейсложности яма оказывается эффективно шире на 12 полуволны.Фаза волновой функции у точки поворота*Введённая выше (13.31) фаза ϕ0 зависит не только от того, как потенциал ведёт себя в окрестности точки поворота a, но и от того, как потенциалсебя ведёт левее: стоит ли где-то при конечном x < a бесконечновысокаястенка, или где-то при x < a есть другая классически разрешённая область,или классически запрещённая область тянется до −∞.Мы рассмотрим случай, когда вся полуось левее точки a является классически запрещённой областью, причём в окрестности точки поворота, там,где не работает квазиклассика, и немного там, где квазиклассика уже работает, потенциал меняется практически линейно.Нам надо сшить квазиклассическую волновую функцию слева от точки поворота, которая имеет вид возрастающей вещественной экспоненты(в классически запрещённой области величина p(x) — чисто мнимая)⎞⎛aC−ψ(x) = |p(X)|dX ⎠, x a,(13.32)exp ⎝− 1h̄2 |p(x)|x382ГЛАВА 13с квазиклассической волновой функцией справа от точки поворота⎛⎞xC+1p(X)dX + ϕ0 ⎠, x a,ψ(x) = sin ⎝(13.33)h̄p(x)aи с точным решением уравнения Шрёдингера с линейным потенциаломв малой области вокруг точки поворота:ψ +2mF (xh̄2− a) = 0,F = −U (a),x ∼ a.(13.34)При этом нам надо установить коэффициент пропорциональностимежду C+ и C− (в силу линейности уравнения Шрёдингера они должныбыть пропорциональны друг другу), а также фазу ϕ0 .Искомый ответ:ϕ0 = π ,C+ = C− .4Эта задача может быть решена различными способами:• Решение уравнения (13.34) с помощью функции Эйри и сравнениеасимптотик функции Эйри при «больших» (но всё равно в пределахлинейности потенциала) аргументах с квазиклассическими волновыми функциями (13.32) и (13.33) (метод наиболее прямой и обоснованный).• Продолжение волновой функции на комплексные значения x и получение двух комплексных экспонент (образующих sin в классически разрешённой области) при обходе точки x = a по верхней полуплоскостии по нижней полуплоскости (метод Цваана).• Вырезание проблемной области x ∼ a (замена её ступенькой, симметричной относительно точки поворота) и сшивка квазиклассическихволновых функций (13.32) и (13.33) напрямую позволяет определитьправильное значение ϕ0 , но не даёт правильного отношения амплитуд C± .Мы воспользуемся третьим методом.|p(x)| в малой окрестности (где потенциал линеен) зависит толькоот |x − a|.
При этом |p(a − δ)| = p(a + δ) = p0 h̄δ . Как раз такая ситуация изображена на рис. 13.4:C−ψ− (x) ≈ √ exp − 1 p0 (a − x) ,(13.35)h̄2 p013.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕC+ψ+ (x) ≈ √ sinp01 p (x − a) + ϕ .00h̄383(13.36)Для определения фазы приравняем логарифмические производныефункций ψ± в точке a:ψ+ (a)ψ− (a)p0p0===tg ϕ0h̄h̄ψ− (a)ψ+ (a)⇒ϕ0 = π .413.5.4. Квазиклассическое квантованиеВ квазиклассическом приближении волновые функции выписываютсячерез функцию p(x), описывающую соответствующую классическую траекторию (а также через мнимое продолжение функции p(x) на классическизапрещённую область). Мы знаем, как поведение потенциала на бесконечности позволяет выделить непрерывный спектр. Теперь мы хотим по классическому движению частицы определить дискретный спектр.Пусть частица движется в потенциальной яме, причём классическиразрешённая область представляет собой отрезок [a, b].Интегралb1p(X) dXh̄aдаёт приращение фазы между точками a и b.
В случае бесконечновысокихстенок в точках a и b набег фазы должен быть кратен числу π (целое число полуволн). Если потенциал вблизи точек поворота близок к линейному,то, как мы определили ранее, ширина ямы с каждой стороны эффективноувеличивается на четверть полуволны и мы получаем1h̄bp(X) dX + π = n,2n = 1, 2, 3, . . . .aПовторим те же рассуждения, более аккуратно выписывая промежуточные формулы. В классически разрешённой области мы можем записатьволновую функцию двумя разными способами, которые должны быть согласованы:⎞⎛xCψ(x) = a sin ⎝ 1p(X) dX + π ⎠ =4h̄p(x)a384ГЛАВА 13⎛x⎞C= b sin ⎝ 1p(X) dX −h̄p(x)b⎛bC= a sin ⎝ 1p(X) dX +h̄p(x)π⎠ =41h̄ax⎞p(X)dX + π ⎠.4(13.37)bСогласованность возможна приCa = ±Cb ,если разность аргументов синуса составляет целое число полупериодов:1h̄bp(X) dX + π = π(n + 1),2n = 0, 1, 2, .
. . .aНа фазовой плоскости (x, p) интеграл от a до b представляет собойинтеграл по полупериоду — половину площади траектории, ограниченнойкривой (x(t), p(t)). Пройдя из a в b частице, чтобы замкнуть период, надоещё вернуться обратно, при этом импульс будет принимать те же значенияс противоположным знаком −p(x). Поэтому правило квантования обычнопишут через интеграл по периоду8p(X) dX = 2πh̄(n + 12 ), n = 0, 1, 2, . . .(13.38)Это правило называют правилом (квазиклассического) квантования Бора –Зоммерфельда. Исторически оно предшествовало созданию последовательной квантовой теории и было одним из основных положений так называемой старой квантовой механики.Мы можем обобщить правило Бора – Зоммерфельда, записав8p(X) dX = h̄(2πn + 2[π − ϕa − ϕb ]), n = 0, 1, 2, .
. .(13.39)Здесь ϕa и ϕb — фазы волновой функции вблизи точек поворота (ϕ0 в уравнении (13.31)).13.5.5. Спектральная плотность квазиклассического спектраОценим интервал между соседними уровнями энергии при условии применимости правила квазиклассического квантования Бора – Зоммерфельда.13.5. К ВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ385С учётом параллельности dx и p вдоль траектории запишем правилоБора – Зоммерфельда888 1,J[E, x(l)] = pdx = |p|·|dx| =2m(E − U (x)) dl = 2πh̄ n +2ΓΓdl|p|Γздесь J[E, x(l)] — адиабатический инвариант, как функция энергии и траектории в конфигурационном пространстве.Проварьируем это равенство:8δJ δx(l) dl = 2πh̄ δn.δJ[E, x(l)] = δJ δE +δEδx(l)Γ=0 на классич. x(l)Вариация по траектории для решений классических уравнений движениядаёт нуль. Остаётся8δJ∂ 2m(E − U (x)) dl =δJ[E, x(l)] =δE = δEδE∂EΓ8mdl.= δE2m(E − U (x))Γ m 1=|p| vЗдесь v =|p|m= dl — скорость.dt8δJ[E, x(l)] = δEdl = δEvΓ8dt = δE · T = 2πh̄δn,ΓT = 2πω — период классического движения по траектории Γ.Пусть δn = 1, что соответствует изменению номера уровня на один,тогда δE — расстояние между уровнями:δE · T = δE 2πω = 2πh̄⇔δE = h̄ω.386ГЛАВА 13Спектральная плотность — число уровней на единичный интервалэнергии — величина, обратная к δE:ρ(E) = 1 = 1 .δEh̄ωδE соответствует также энергии фотона, который должна излучитьчастица, чтобы перейти на уровень ниже, а ω — частота этого фотона, которая оказывается равна частоте обращения частицы.
Это равенство частотыобращения частицы и частоты излучаемой электромагнитной волны естественно в классической электродинамике, но в квантовой механике частотафотона связана исключительно с его энергией. В квазиклассическом пределе эти частоты совпали, т. е. предсказания квантовой механики переходятв предсказания классической теории, как и должно быть согласно принципусоответствия.13.5.6. Квазистационарные состояния в квазиклассикеПрименяя правило квантования Бора – Зоммерфельда (13.38)или (13.39), мы можем получить «лишние» состояния дискретного спектра, которых с точки зрения квантовой механики быть не должно.
Этисостояния соответствуют классическому периодическому движению с энергией, для которой возможно также убегание частицы на бесконечность (см.рис. 13.5).U(x), ExРис. 13.5. Стационарные (сплошные) и квазистационарные (пунктирные) уровни.Эти «лишные» уровни — квазистационарные состояния. В соответствии с классической теорией помещённая в квазистационарное состояние система может на протяжении длительного времени оставаться в этомсостоянии, однако на больших временах проявляются квантовые свойства,и система может протуннелировать через потенциальный барьер и уйти набесконечность.13.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
