Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 74
Текст из файла (страница 74)
При этом всегда выполняютсясвойстваÛα Ûβ = Ûα+β ,Ûα−1 = Û−α ,Û0 = 1̂.Следует заметить, что с точки зрения теории групп в однопараметрических группах мало интересного, все они устроены одним из двух способов:• как вещественные числа с операцией сложения — между вещественными значениями параметра α и элементами группы есть взаимнооднозначное соответствие (пример — группа сдвигов по оси x);14.3. «С ИММЕТРИИ -1»И«С ИММЕТРИИ -2». ВЧ ЁМ РАЗЛИЧИЕ ?*407• как точки на окружности с операцией сложения поворотов — междувещественными значениями параметра α и элементами группы естьсоответствие, при котором значения параметра, отличающиеся на период, эквивалентны exp(iαÂ) = exp(i(α + 2π)Â). Умножая генераторна число, периоду можно придать любое ненулевое значение, например 2π (пример — группа поворотов вокруг оси z).Таким образом, у нас есть всего две однопараметрические группы:R(+) — группа вещественных чисел, относительно операции сложенияи SO(2) — группа поворотов плоскости.
Однако эти группы в разных случаях были представлены разными операциями симметрии, т. е. разными унитарными операторами.14.3.2. Группы и алгебры Ли*Конечно, мы всегда можем выделить из более сложной группы непрерывных симметрий одну однопараметрическую подгруппу, задаваемую элементами вида exp(iαÂk ) (α ∈ R, Âk = †k ), или вставить дискретную симметрию в однопараметрическую группу, однако такой подход будет хотяи допустим, но неполон.Мы можем включить все преобразования нашей группы в однопараметрические подгруппы, но использовать для нумерации квантовых состояний мы сможем только такие генераторы симметрий Âk , которые коммутируют друг с другом ([Âk , Âl ] = 0), например для группы поворотов нампридётся оставить только повороты вокруг одной выбранной оси (обычновыбирают ось z, тогда проекция момента импульса Jˆz задаёт повороты:exp(iαJˆz )).
Как мы увидим далее, из квантовых симметрий можно извлечьбольше информации, дополнив набор коммутирующих генераторов некоторой нелинейной комбинацией генераторов (такая комбинация уже не будетгенератором). Для группы поворотов в дополнение к Jˆz можно взять Jˆ2 == Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2 .Пусть группа симметрий системы представляет собой некоторуюD-мерную группу Ли — группу, локально параметризуемую с помощью Dнепрерывных параметров, такую, что групповые операции (умножениеи взятие обратного элемента) непрерывны относительно вводимой параметризации.Далее в качестве примера мы обсудим группу вращений в трёхмерномпространстве — SO(3).Симметрии, близкие к тождественному преобразованию (к единице группы), представляются как операторные экспоненты от генераторов408ГЛАВА 14группы, которые образуют D-мерное линейное пространство — алгебру Лигруппы DÛ = exp iαk Âk .k=1Групповые преобразования Û представляются унитарными операторами. D штук линейно-независимых генераторов Âk представляются эрмитовыми операторами.Алгебра Ли для данной группы обозначается тем же символом, чтои сама группа, с заменой больших букв на маленькие.
Например, SO(3) —классическая группа вращений, SU(2) — квантовая группа вращений, имсоответствует одна и та же (изоморфная) алгебра Ли, которую можно обозначать как so(3) или su(2). Генераторы алгебры вращений — операторыпроекций момента импульса и их линейные комбинации.Слово «представляются» выделено не случайно. Элементы группы Лии её алгебры Ли принадлежат некоторым абстрактным пространствам, тогда как наши симметрии — операторы на линейном пространстве. Однаи та же группа и её алгебра могут быть по-разному реализованы (представлена) как группа преобразований линейного пространства. Таким образом, нам надо изучать не группы сами по себе, а линейные представлениягрупп — отображение элементов группы на подгруппу линейных преобразований линейного пространства некоторой размерности N , при которомпроизведению элементов группы соответствует последовательно выполнение линейных преобразований.Все генераторы группы симметрий коммутируют с гамильтонианом,но они могут не коммутировать между собой.
Поэтому, когда мы строимнабор одновременно измеримых (совместимых) наблюдаемых, нам приходится выбирать, какие из генераторов мы в него включим.Группы, вращений SO(3) трёхмерна, нас имеется три линейно-независимых генератора поворотов — проекции момента импульса на оси координат ĵα . Проекции момента импульса на разные оси не коммутируют другс другом и только одна из них может быть включена в набор совместимыхнаблюдаемых.Алгебра Ли замкнута относительно операции взятия коммутаторас умножением на мнимую единицу, т. е.
коммутатор любых двух генераторов даёт снова линейную комбинацию генераторов:[Âk , Âl ] = iDm=1mCklÂm .14.4. П РЕДСТАВЛЕНИЯГРУПП ( Л )409mКоэффициенты Cklназываются структурными константами. Структурные константы зависят только от самой группы, но не от её представления.Для изоморфных алгебр Ли структурные константы могут быть сделаныодинаковыми заменой базиса.Для группы вращений[ĵα , ĵβ ] = i3eαβγ ĵγ .γ=1Группы Ли, алгебры Ли которых описываются одинаковым наборомструктурных констант в окрестностях единицы, устроены одинаково.
Например, сразу понятно, что группа собственных поворотов SO(3) и группа O(3) ортогональных матриц 3 × 3 (группа несобственных поворотов, включающая также комбинации поворотов с отражениями) одинаковоустроены вблизи единицы (бесконечномалых отражений не бывает).
Менеетривиально, что группа SO(3) одинаково устроена с группой SU(2), в которой поворот на полный угол 2π соответствует умножению на −1 и толькоповорот на 4π даёт тождественное преобразование. И именно группа SU(2)оказывается «настоящей» квантовой группой поворотов.14.4. Представления групп (л)Представление f группы G — её отображение на группу преобразований f (G) некоторого пространства M, сохраняющее групповую структуру (14.2), но не обязательно взаимнооднозначное. Такое отображение, какуже упоминалось ранее, называется гомоморфизмом.Если представление задаётся взаимнооднозначным отображением нагруппу преобразований (изоморфизмом), то такое представление называется точным представлением.Если представление отображает все элементы группы на тождественное преобразование пространства M, то оно называется тривиальным представлением.Согласно теореме о гомоморфизме простая группа имеет только точные и тривиальные представления.Если пространство представления M является линейным, и преобразования группы f (G) также линейны, то и представление f называетсялинейным.
Размерность dim M при этом называется размерностью представления.410ГЛАВА 14(ф) В квантовой теории, когда нас интересуют преобразования линейного пространства состояний H, нам нужны именно линейные представления групп. Более того, поскольку пространство H не только линейное,но и гильбертово (обладает структурой комплексного скалярного произведения), то нам нужны представления группы унитарными операторами —унитарные представления.14.4.1. Существование*Мы уже упоминали, что для любой группы G существует точное представление её как группы преобразований самой себя с помощью умноженияслева (14.1).
Однако для квантовой теории нам интереснее существованиеунитарного представления.Точное унитарное представление произвольной группы мы тоже можем легко построить, если сопоставим каждому элементу группы векториз некоторого ортонормированного базиса, получив пространство M = CG .На этом пространстве группа действует, переставляя номера базисных векторов с помощью умножения слева:2∀g, h ∈ G,g : eh → eg◦h .(фф) В данной формуле мы видим сразу два представления группы G:представление левыми сдвигами на номерах базисных векторов и линейноепредставление. Аналогичная процедура применяется при переходе от классической теории к квантовой: то, что раньше было (полным) набором состояний, становится базисом нового пространства состояний.
В частности,так мы переходим от дискретного пространства состояний классическогокомпьютера к линейному пространству состояний квантового компьютера,допускающего всевозможные суперпозиции.14.4.2. Приводимость и инвариантные подпространства (л)Пространство H линейного представления f группы G может содержать инвариантные подпространства H(1) ⊂ H, которые переходят в себяпод действием всех преобразований группы:∀g ∈ G,f (g)H(1) = H(1)⇔∀g ∈ G, ψ ∈ H(1) ,f (g)ψ ∈ H(1) .Всегда имеются тривиальные инвариантные подпространства: подпространство из нулевого элемента {0} и всё пространство H.
Если других2 Для непрерывной группы строгое определение такой конструкции потребует введения нагруппе меры интегрирования инвариантной относительно левых сдвигов.14.4. П РЕДСТАВЛЕНИЯГРУПП ( Л )411инвариантных подпространств нет, то представление f называется неприводимым представлением.(ф) В при изучении симметрий определённого вида (т. е. при изучениипредставлений конкретной группы симметрий) очень полезно иметь полную классификацию неприводимых представлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
