Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 78
Текст из файла (страница 78)
. .00.⎟⎟⎜......... ⎝ ...1(2j) ⎠...0000...0⎞⎛00... 00⎜ (2j)10... 0⎟ 0⎟⎜⎜(2j − 1)2 0... 0⎟0⎟⎜ĵ− = ⎜.(2j − 2)3 . . . 0 ⎟00⎟⎜⎟⎜........... ⎠⎝....1(2j) 000...Столбцы и строки нумеруются здесь целыми числами, начиная с +j до −jв порядке убывания.−ĵ−Отсюда находятся также матрицы ĵx = ĵ+ +2 ĵ− и ĵy = ĵ+ 2i.2Матрицы ĵz и ĵ , поскольку мы взяли их собственные векторы в качестве базиса, оказываются диагональными, причём матрица квадрата момента (оператора Казимира) оказывается пропорциональной единичной матрице ĵ 2 = j(j + 1)Ê.
ĵz , при выбранной нумерации строк и столбцов, имеетвид:⎛⎞j 0 ... 0⎜0 j − 1 ... 0 ⎟⎟ĵz = ⎜⎝ .. .. . . . .. ⎠.. ..0 0 . . . −j(*) Мы описали неприводимое (2j + 1)-мерное представление группывращений. Если j целое, то это представление групп SO(3) и SU(2) одновременно, а если j полуцелое, то это представление относится толькок группе SU(2).15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯ429ВРАЩЕНИЙ15.2.5. Орбитальные и спиновые моментыВведённые выше операторы орбитального момента одной частицы l̂aα(a — номер частицы) действуют только на координаты этой частицы.
В частности, операторы поворота eiαl̂an поворачивают вокруг начала координаттолько эту частицу, оставляя другие частицы на месте. Если мы хотим повернуть все частицы, то необходимо каждую из них повернуть на одини тот же угол. Поскольку орбитальные моменты разных частиц действуютна разные координаты, то они коммутируют друг с другом и мы можемопределить суммарный орбитальный момент L̂α (генератор одновременного поворота координат всех частиц) как сумму орбитальных моментовотдельных частицNiαl̂1n iαl̂2niαl̂N niα a l̂aniα L̂nee...e=e=e,L̂n =l̂an .a=1Очевидно, что, т. к. моменты разных частиц коммутируют между собой,для суммарного орбитального момента справедливы те же коммутационные соотношения (15.3), что и для орбитальных моментов отдельных частиц [L̂α , L̂β ] = i eαβγ L̂γ .Обратите внимание, что мы пишем суммарный орбитальный момент,а не суммарный момент импульса.
Это связано с тем, что помимо орбитального момента частиц, связанного с движением частиц как целого, существует ещё спиновый (внутренний) момент импульса ŝα — спин. Классическиманалогом спина был бы момент импульса, связанный с вращением частицывокруг своей оси, однако для элементарных частиц такая наивная интерпретация не работает, т. к. скорости вращения должны были бы быть слишкомвелики (больше скорости света), а кроме того, спин имеется у частиц, длякоторых не наблюдается никаких признаков внутренней структуры.Спин принято считать некоторым внутренним невыводимым свойством частиц.
Для частиц определённого сорта величина квадрата спинаŝ2 = ŝ2x + ŝ2y + ŝ2z определена и равна s(s + 1), где s — целое или полуцелое неотрицательное число. Для описания спина волновая функция кромеобычных переменных, описывающих движение каждой частицы как целого, имеет также дискретные спиновые переменные, которые пробегаютзначения от −s до +s с шагом 1.Подобно тому, как операторы орбитального момента действуют только на координаты частиц, операторы спина действуют только на спиновыепеременные. Поскольку спиновые переменные дискретны, спиновые операторы представляют собой матрицы.
Спиновые операторы для частицы соспином s — матрицы (2s + 1) × (2s + 1).430ГЛАВА 1515.2.6. Коммутаторы моментов импульсаДля того, чтобы определить, как коммутируют операторы момента импульса с каким-либо оператором, нам надо определить, как ведёт себя этотоператор при вращениях (11.2):dÂповёрн. = d eiαĵμ Âe−iαĵμ = i[ĵμ , Â].dα dαα=0α=0Так что если мы знаем как оператор ведёт себя при вращениях, то мызнаем как он коммутирует с моментами импульса. Формулу мы записалидля вращения оператора «вместе» с состоянием (для вращения «вместо»достаточно поменять знаки в показателях экспонент, см. 11.2 «Преобразования операторов “вместе” и “вместо”»).СкалярыСразу можно сделать вывод, что любой скалярный оператор (оператор,не меняющийся при поворотах) коммутирует со всеми компонентами ĵμ :[ĵμ , Â] = 0⇔Â — скаляр.В частности скаляром оказывается оператор Казимира ĵ 2 .ВекторыДля того, чтобы записать преобразование вектора при вращении, намнет необходимости знать, что это за вектор.
Само слово «вектор» подразумевает вполне определённые трансформационные свойства. (Так что сейчассамое сложное — не запутаться в знаках, определяя что относительно чеговращается.) Нам достаточно записать бесконечномалый поворот вокруг eλна угол α:Âμ → Âμ − α eλμν Âν + O(α2 ).Мы рассматриваем поворот «вместе», так что он осуществляется в противоположном направлении, по сравнению с тем, как поворачиваются аргументы волновой функции в разделе 15.1.1 «Генераторы вращений (л)»2i[ĵλ , Âμ ] =dÂμ= −eλμν Âν .dα2 Для проверки знака, с учётом того, что все векторы вращаются одинаково, можно, например, проверить коммутатор [x̂1 , l̂2 ] = ix̂3 .15.2.
П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ431Таким образом, компонента произвольного векторного оператора коммутирует с компонентой момента импульса по следующему закону:[ĵλ , Âμ ] = [Âλ , ĵμ ] = i eλμν Âν .(15.11)Эта формула обобщает коммутационное соотношение (15.3), которое воспроизводится, если подставить вместо Âλ компоненту момента импульса ĵλ . Это означает, что компоненты момента импульса, как и в классической механике, образуют вектор.Из формулы (15.11) следуют такие полезные коммутаторы:[Âz , ĵ± ] = [ĵz , ± ] = ±Â± ,(15.12)[Â+ , ĵ− ] = [ĵ+ , Â− ] = 2Âz .(15.13)Обратите внимание, что коммутатор [ĵz , ± ] = ±Â± (15.12) означает,что под действием оператора ± проекция момента импульса на ось zизменяется на ±1 (сравни с (15.10)), так же как под действием ĵ± .
Однако[Âλ , ĵ 2 ] = i eλμν (ĵμ Âν + Âν ĵμ ),[± , ĵ 2 ] = ±(Âz ĵ± + ĵ± Âz − ± ĵz − ĵz ± ).Если ± не коммутируют с ĵ 2 , то они не только сдвигают m на ±1, нотакже «портят» квантовое число j. Также могут «портится» другие квантовые числа, например состояния с определённым орбитальным моментом(заданы собственные числа для ˆl2 и ˆlz ) под действием l̂± меняют толькоугловую зависимость при фиксированном ˆl2 , а под действием x̂± изменится не только ˆlz , но также состояние перестанет быть собственным для ˆl2 ,и изменится зависимость волновой функции от радиальной переменной.Вместо операторов суммарного момента импульса ĵα мы можем братьоператоры момента импульса подсистемы при условии, что данный векторвращается при поворотах этой подсистемы, т.
е. что операторы Âα действуют на переменные, описывающие данную подсистему, и только на них, например орбитальный момент поворачивает импульс и мы имеем [p̂α , l̂β ] == [ˆlα , p̂β ] = ieαβγ p̂γ . Если же оператор действует на переменные другойподсистемы, то он коммутирует с моментом импульса данной подсистемы, например спин не поворачивает орбитальный момент и координаты[ŝα , l̂β ] = [ŝα , x̂β ] = 0.432ГЛАВА 1515.2.7. Лестничные операторы для осциллятора â± и моментаимпульса ĵ± **Очевидно сходство между лестничными операторами для осциллятора â± и операторами ĵ± для момента импульса.
Это сходство не случайно,и мы можем построить операторы момента импульса из осцилляторныхоператоров.Рис. 15.1. Связь чисел заполнения n1 и n2 с j и m.Введём гильбертово пространство H как тензорное произведение двухпространств H1 и H2 , на которых действуют два комплекта осцилляторныхоператоровH = H1 ⊗ H2 ,±â±1 = â ⊗ 1̂,±â±2 = 1̂ ⊗ â ,N̂1 = N̂ ⊗ 1̂ = ↠â ⊗ 1̂,N̂2 = 1̂ ⊗ N̂ = 1̂ ⊗ ↠â.Базис в пространстве H естественно нумеровать двумя числами заполнения:|n1 ⊗ |n2 ,n1 , n2 ∈ {0, 1, 2, 3, . .
. }.15.2. П РЕДСТАВЛЕНИЯВРАЩЕНИЙ4332Перенумеруем базисные векторы новыми квантовыми числами j = n1 +n2n1 −n2и m = 2 (см. рис. 15.1):9|j, m = |j+m⊗|j−m, j ∈ 0, 1 , 1, 3 , 2, . . . , m ∈ {+j, +j − 1, . . . , −j} .22Новая нумерация базисных векторов сразу подсказывает, как определить операторы момента импульса:N̂1 − N̂2,2ĵ+ = ↠⊗ â,ĵz =ĵ− = â ⊗ ↠.Мы можем определить оператор ĵ с собственными числами j:N̂1 + N̂2,2ĵ 2 = ĵ(ĵ + 1).ĵ =Легко проверить, как действуют операторымомента на базисные сос: n + n2 n1 − n2= |j, m:,тояния |n1 ⊗ |n2 = 122n1 − n2|n1 ⊗ |n2 = m |n1 ⊗ |n2 ,2ĵ+ |n1 ⊗ |n2 = ↠⊗ â |n1 ⊗ |n2 = (n1 + 1)n2 |n1 + 1 ⊗ |n2 − 1 == (j − m)(j + m + 1) |j, m + 1,ĵ− |n1 ⊗ |n2 = â ⊗ ↠|n1 ⊗ |n2 = n1 (n2 + 1) |n1 − 1 ⊗ |n2 + 1 == (j + m)(j − m + 1) |j, m − 1.ĵz |n1 ⊗ |n2 =Мы представили гильбертово пространство как прямую сумму (2j + 1)мерных подпространств для всех возможных целых и полуцелых j:3H=C2j+1 = C1 ⊕ C2 ⊕ C3 ⊕ C4 ⊕ · · · .31j=0, ,1, ,2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
