Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Таким образом, любое спиновое состояние, кроме единственногосостояния | ↓, может быть представлено в виде|χ = | ↑ + λ| ↓,λ ∈ C.Состояние | ↓ соответствует пределу λ → ∞.Рис. 15.2. Проекция комплексной плоскости на сферу РиманаТо есть топологически пространство чистых состояний для спина 12получается из комплексной плоскости C добавлением бесконечной точки,и мы получаем сферу Римана C̄.Оказывается, что в данном случае сфера Римана имеет также хорошуюфизическую интерпретацию.Пусть точка λ = x + iy откладывается на плоскость (x, y), какна комплексной плоскости. Как принято в теории функций комплексного440ГЛАВА 15zlРис. 15.3.
Сечение проекции комплексной плоскости (ось λ) на сферу Римана изюжного полюса.переменного, спроецируем точку λ с плоскости (x, y) на единичную сферу,с центром в начале координат. Проекцию будем проводить из южного полюса сферы, т. е. из точки с координатами (0, 0, −1). Такая проекция дастнам взаимно-однозначное соответствие между точками сферы (кроме южного полюса) и точками комплексной (экваториальной) плоскости4 C (безбесконечной точки). Бесконечная точка на C̄ соответствует южному полюсусферы Римана.При этом, как можно легко убедиться, точка на сфере в точности соответствует вектору поляризации P = σ для спина в состоянии χ:σx =Re λ ,1 + |λ|2σy =Im λ ,1 + |λ|2σz =1 − |λ|2.1 + |λ|2При стремлении λ к бесконечности P стремится к направлению вдольоси z.Если мы будем измерять проекцию спина на вектор P , то мы с вероятностью 1 получим, что спин направлен вдоль P , и его проекция на P равна+ 12 .
Таким образом, спин в некотором смысле направлен вдоль P .15.3.4. Геометрия смешанных состояний кубита**Смешанное состояние спина 12 (или для любой другой двухуровневойсистемы) задаётся матрицей плотности 2 × 2. Матрица плотности должна4 В нашем случае комплексная плоскость рассекает сферу Римана по экватору, но в литературе иногда сфера Римана касается плоскости одним из полюсов. Различие между такимипроекциями — масштабный фактор 2, т. к. в последнем случае плоскость в 2 раза дальше отточки проекции.15.3. С ПИН12441быть эрмитовой, положительно определённой (вероятности положительны)и иметь единичный след (суммарная вероятность равна 1).Как мы уже упоминали ранее (15.3.1 «Матрицы Паули»), любая эрмитова матрица 2 × 2 разлагается по базису из матриц Паули и единичнойматрицы с вещественными коэффициентами.
При этом след матриц Паулиравен нулю, так что мы можем написатьρ=E + (P , σ ),2P = (Px , Py , Pz ) ∈ R3 ,|P | 1.Коэффициент 12 перед единичной матрицей фиксирован условием tr ρ = 1.Любой вектор является собственным для единичной матрицы с собственным числом 1. Таким образом, собственные векторы матрицы ρ совпадаютс собственными векторами матрицы (P , σ ). Поскольку собственные числаматрицы (P , σ ) равны ±|P |, то собственные числа матрицы ρ имеют видp± =1 ± |P | 0.2Условие положительности вероятности требует, чтобы |P | 1.Мы получили, что спиновая матрица плотности параметризуется вектором, лежащим внутри единичной сферы.
При этом поверхность сферысоответствует обращению в 1 одного из собственных чисел (другое приэтом обращается в нуль), т. е. поверхности сферы соответствуют чистыесостояния, как в и предыдущем разделе (15.3.3 «Геометрия чистых состояний кубита 12 »).Для того чтобы определить физический смысл вектора P , вычислимсреднее σ по состоянию ρ:σα = tr(σα ρ) =12tr(σα + σα Pβ σβ ) =12tr(δαβ EPβ ) = Pα12tr E = Pα .Мы использовали формулу (15.14) умножения σ-матриц и тот факт, чтослед от любой σ-матрицы равен 0.Таким образом, вектор P имеет смысл среднего вектора поляризациипо состоянию ρP = σ = tr(ρσ ).Для чистых состояний (точек на поверхности сферы) это полностьюсоответствует результатам, полученным ранее.442ГЛАВА 1515.4.
Спин 1Всё, что было сказано в начале раздела 15.3 «Спин 12 » о координатных и спиновых волновых функциях, применимо и к спину 1, и к любомудругому спину до тех пор, пока не используется явно величина спина.Волновая функция частицы со спином 1 может быть представлена какфункция ψ(r, σ) от координат r ∈ R3 и спиновой переменной (проекцияспина на ось z) σ ∈ {+1, 0, −1}:⎞⎛ψ(r, +1)ψ(r, ·) = ⎝ ψ(r, 0) ⎠ = ψ(r).ψ(r, −1)Теперь спиновая волновая функция — столбец из трёх строк, а спиновыеоператоры — матрицы 3 × 3.В соответствии с процедурой, описанной выше (15.2.4 «Собственныевекторы операторов ĵz , ĵ 2 »), мы можем выписать операторы компонент дляспина 1⎛ √⎛⎞⎞0 0 00 2 √0√ŝ+ = ⎝ 0 02 ⎠, ŝ− = ŝ+ † = ⎝ 2 √0 0 ⎠,0 0 0200⎞⎞⎛⎛√√220 ⎟⎞⎛⎜ 0 2 0 ⎟⎜ 0 −i 2+1 0 0⎜√⎜ √√ ⎟√ ⎟⎟⎟⎜ 2⎜2 ⎟, ŝ = ⎜22 ⎟, ŝ = ⎝ 0 0 0 ⎠,ŝx = ⎜yz0 −i⎜ 2 √0 2 ⎟⎜i 22 ⎟√0 0 −1⎠⎠⎝⎝22000 i022⎛⎞ ⎛⎞Ax − iAyA−+A0+A0√√zz⎜⎟ ⎜⎟22⎜⎟ ⎜⎟⎜⎜ Ax + iAy⎟Ax − iAyA+A− ⎟⎜⎜⎟⎟.00√√√√(A, s) = ⎜⎟=⎜ 22 ⎟22⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠A+Ax + iAy0−A√0−A√zz22Собственные числа проекции спина на любую ось ŝn = (n, s) —+1, 0, −1, так что вводить какие-либо вспомогательные матрицы наподобие σ-матриц Паули нет причин5 .5 σ-матрицы — исключительная особенность двумерия, и для спинов, отличных от 1 их2пытаются писать по принципу σ = 2ŝ только студенты, начинающие сдавать задания поквантовой механике.
К моменту экзамена это обычно проходит.15.4. С ПИН 1443Базисные состояния с определённым значением σ (проекции на ось z)принято обозначать по-разному:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞001|1, +1 = ⎝ 0 ⎠, |1, 0 = ⎝ 1 ⎠, |1, −1 = ⎝ 0 ⎠.10015.4.1. Вращения для спина 1 и для векторовОператор поворота для спина 1, как и для любого другого момента,задаётся формулойRn (ϕ) = eiϕŝn .Поскольку собственные числа ŝn равны +1, 0, −1, их третья степень, каки для σ-матриц, даёт исходную матрицу. Таким образом,s3n = sn⇒∀n = 0, 1, 2, . .
. ,s2n+2= s2n = s0n = E,ns2n+1= sn .n(15.16)Аналогичные соотношения мы получали ранее, для генераторов матриц поворота в трёхмерном пространстве (15.2). В этом состоит специфика спина 1.Разлагая экспоненту в ряд, получаем:Rn (ϕ) = eiϕŝn =∞∞∞(iϕŝn )n(iϕ)2n+1(iϕ)2n+ŝ2n,= E + ŝnn!(2n + 1)!(2n)!n=0n=0n=1 i sin ϕRn (ϕ) = E + ŝn i sin ϕ +⎛ŝ2n⎞n−+nz √0⎟⎜2⎟⎜ n+n− ⎟⎜ √0 √ ⎟,ŝn = ⎜2 ⎟⎜ 2⎠⎝n+0 √ −nz2(cos ϕ−1)(cos ϕ − 1),⎛n− 21 + n2z nz n−√⎜ 222⎜⎜ nz n+− nz n−22√ŝn = ⎜⎜ √2 1 − n z2⎜⎝ n+ 2 − nz n+ 1 + n2z√222⎞⎟⎟⎟⎟.⎟⎟⎠Выше (см. 15.1.1 «Генераторы вращений (л)») мы уже получали трёхмерное неприводимое представление группы вращений с помощью обычных ортогональных матриц поворотов. Вернулись ли мы к тому же самомупредставлению в иной форме, или получили что-то новое?444ГЛАВА 15Если мы следующим образом свяжем базис состояний {|1, m}+1m=−1с базисом единичных векторов вдоль декартовых осей координат {eα }3α=1 ,то матрицы jα , генерирующие ортогональные матрицы поворотов перейдут,в матрицы компонент ŝα спина 1:|1, +1 =ex =− ex − ieye+= −√ ,√22− |1, +1 + |1, −1,√2|1, 0 = ez ,ey =|1, −1 =i|1, +1 + i|1, −1,√2ex − ieye−=√ .√22(15.17)ez = |1, 0.(15.18)Таким образом, представление группы вращений для спина 1 с точностью до комплексной замены базиса совпадает с привычным нам изстереометрии и классической механики векторным представлением группы вращений, когда повороты отождествляются с матрицами собственныхвращений, действующими на векторы из R3 .15.4.2.
Спин и поляризация фотонаФотон — квант электромагнитного поля. Как мы обсуждали в разделе 12.11 «Квантованные поля (ф*)», при квантовании электромагнитногополя в ящике с периодическими граничными условиями каждой моде колебаний, характеризующейся волновым числом k и поляризацией σ, ставится в соответствие гармонический осциллятор с частотой, равной частотемоды. Число заполнения данного осциллятора рассматривается как числофотонов с данными k и σ.Каков спин фотона? Этот вопрос эквивалентен вопросу о том, как переменная, характеризующая фотон, но не связанная с его движением (т.
е. поляризация), преобразуются при вращениях.Поляризация σ электромагнитной волны описывается с помощью вектора поляризации eσ . Как мы установили выше (15.17), (15.18), векторпреобразуется по представлению спина 1. То есть фотон — векторная частица — частица со спином 1.Однако у частицы со спином 1 должно быть 3 поляризации, а у фотона — только 2. Какая поляризация пропала?Рассмотрим одну конкретную моду колебаний.
Пусть волновой вектор k (и импульс h̄k) направлен по оси z. В соответствии с уравнениями (15.18) спиновые состояния соответствуют следующим поляризациям:15.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *445−e −iexy√• |1, +1 =— спин направлен вдоль импульса — правая кру2говая поляризация (вращение поля связано с направлением k правымвинтом);e −ie• |1, −1 = x√2 y — спин направлен против импульса — левая круговаяполяризация (вращение поля связано с направлением k левым винтом);• |1, 0 = ez — проекция спина на импульс равна нулю — продольнаяполяризация (поле колеблется вдоль импульса).Однако электромагнитная волна — поперечная волна и продольная поляризация для неё отсутствует.
Если мы задаём поляризацию электромагнитной волны направлением вектора E, то продольная поляризация отсутствует с самого начала, а если направлением векторного потенциала A,то вклад в поле продольной части A в точности компенсируется вкладомскалярного потенциала ϕ. Так и для квантованного электромагнитного поля (в зависимости от используемого формализма): продольная поляризациялибо отсутствует с самого начала, либо нефизична (не даёт вклада).Такая ситуация является типичной для любых безмассовых (движущихся со скоростью света) частиц: вне зависимости от спина имеется двеполяризации: по часовой стрелке (проекция спина на импульс +s) и противчасовой стрелки (проекция спина на импульс −s). Это связано с тем, чтомы не можем выбрать для такой частицы систему покоя, в любой системеотсчёта есть выделенное направление (вдоль импульса), и симметрия оказывается ниже, чем стандартная SU(2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
