Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Этосвязано с тем, что волна, распространяющаяся по r, — это не плоская волна, а сферическая. Решение обычного одномерного уравнения Шрёдингера16.3. С ВЕДЕНИЕ461К ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИпри нулевом потенциале даёт плоскую волну, амплитуда которой постоянна, а решение радиального уравнения Шрёдингера должно давать сферическую волну, квадрат амплитуды которой (плотность вероятности) спадаеткак r12 , а амплитуда как 1r .Попробуем ввести другую параметризацию волновой функции:R(r) = 1r φ(r),ψ1 (r, θ, ϕ) = 1r φ(r) Yl (θ, ϕ).Вероятность dP попадания в заданные интервалы dr, dθ, dϕ:dP = |ψ1 |2 d3 r = |R(r)Yl (θ, ϕ)|2 r 2 sin θ dr dθ dϕ =элемент объёма= |φ(r)Yl (θ, ϕ)| sin θ dr dθ dϕ.2При переписывании dP через φ(r) исчезает вес r2 , и интегрирование по rидёт точно так же как по обычной декартовой координате, если движениеограничено положительной полуосью.Теперь действие радиальной части лапласиана упрощается:1 ∂ r 2 ∂ φ(r) = 1 ∂ r 2∂r rr 2 ∂rr 2 ∂rφφr − r2φ= 12 ∂ (rφ − φ) = r .r ∂rПодставляя R = φr в уравнение (16.4) и сокращая во всех членах общиймножитель 1r , получаем уравнение, которое выглядит в точности как обычное стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции φ:$%22h̄2 l(l + 1)h̄∂−++ U (r) φ(r) = E1 φ(r).(16.5)2μ ∂r 22μr 2Ĥr(ф) Эффективный одномерный гамильтониан Ĥr содержит совершен22h̄ ∂но обычный одномерный оператор кинетической энергии K̂ = − 2μ∂r 2 ,а потенциальная энергия состоит из собственно потенциальной энер2;2l(l+1)Lгии U (r) и центробежной энергии h̄ 2μr= 2μr22 .
Мы переписали числитель как среднее значение оператора квадрата размерного момента импульса, чтобы продемонстрировать, что центробежная энергия с точностьюдо шляпок совпадает с классическим случаем.462ГЛАВА 16Получившаяся одномерная задача отличается от стандартной тем, чтокоордината r определена на положительной полуоси 0 r < ∞, причёмиз непрерывности R = φr следует граничное условие на φ, которое можнотрактовать как наличие в нуле бесконечновысокой стенкиφ(0) = 0.(16.6)16.3.1.
Асимптотика r → 0Исследуем асимптотику радиального уравнения Шрёдингера (16.5)при r → 0:%$22l(l+1)h̄h̄φ(0) = 0. (16.7)+ U (r) − E1 φ(r) = 0,−φ (r) +2μ2μr 2Главный член при r → 0 в квадратных скобках зависит от того, как ведётсебя при в этом пределе потенциальная энергия U (r).Предположим, что при r → 0 потенциал U (r) ограничен, либо растётне слишком быстро:r→0r 2 U (r) −−−→ 0.Тогда при малых r получаем2− h̄ φ (r) +2μh̄2 l(l + 1)φ(r) 0,2μr 2r2 φ (r) = l(l + 1) φ(r),r → 0,φ(0) = 0,φ(0) = 0.Линейное однородное уравнение второго порядка имеет два линейно независимых решения, которые легко подбираются в виде степенных функцийот r:r l+1 , 1l .rГраничному условию φ(0) = 0 удовлетворяет только первое решение, такчто для не слишком быстро растущего в нуле потенциала получаем асимптотикуφ(r) ∼ r l+1 , r → 0⇒ψ1 (r, θ, ϕ) ∼ r l Yl (θ, ϕ), r → 0.1r2 ,(16.8)то его надо буЕсли потенциал содержит член, пропорциональныйдет учитывать наравне с центробежным потенциалом и в результате асимптотика (16.8) собьётся: изменится степень и вместо r l получится r l , где l —некоторый «эффективный момент» (как правило, дробный).16.3.
С ВЕДЕНИЕК ЗАДАЧЕ О РАДИАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ463При рассмотрении быстро растущих в нуле притягивающих (отрицательных) потенциалов следует проверить, попадает ли φ в пространствоквадратично-интегрируемых функций L2 (R+ ), т. е. φ(r) должно расти прималых r не быстрее, чем √1r . Также следует проверить ограничен ли энергетический спектр снизу, т. к. неограниченный снизу энергетический спектрозначает падение частицы на центр с выделением бесконечной энергии.Потенциал − constr 2 оказывается пограничным по обоим критериям.16.3.2. Асимптотика r → ∞При r → ∞ центробежный потенциал стремится к нулю, и главнымчленом оказывается либо U (r), либо E1 .В реальных (не модельных) случаях потенциал на бесконечности стремится к константе, которую можно положить равной нулю, переопределивнулевой уровень энергии.В этом случае получаем на бесконечности уравнение для свободнойчастицы:2− h̄ φ (r) E1 φ(r),2μr → ∞,φ(0) = 0.(16.9)Может показаться, что условие φ(0) = 0 (бесконечновысокая стенкав нуле) в данном случае не важно, но на самом деле оно допускает адекватную переформулировку.
Условие φ(0) = 0 означает равенство нулю потокавероятности jr (0) в нуле. При этом выполняется уравнение непрерывностидля одномерной радиальной задачи:∂(r) ∂jr (r)+= 0.∂t∂rДля стационарного состояния плотность вероятности не зависит от вре= 0 и уравнение непрерывности даёт нам условиемени, а значит ∂(r)∂tотсутствия радиального потока вероятности:∂jr (r)= 0,∂rjr (0) = 0⇒jr (r) ≡ 0.(16.10)Условие отсутствия потока можно переформулировать ещё одним способом.
Для всякого решения уравнения (16.7) φ(r) его вещественная и мнимая части также являются решениями с тем же значением E1 . Однако граничное условие φ(0) = 0 из двух линейно независимых решений линейного однородного уравнения второго порядка (16.7) при данном E1 оставляет464ГЛАВА 16только одно, а значит решения φ(r), Reφ(r), Imφ(r) совпадают с точностьюдо постоянного множителя.Таким образом, условие отсутствия потока может формулироваться какусловие вещественности φ(r), т. е. для уравнения (16.7) мы можем искатьтолько вещественные решения.Асимптотика (16.10) при отрицательных E1 < 0 (состояния дискретного спектра)√−2μE1φ(r) ∼ e−κr , κ =, r → ∞.(16.11)h̄При положительных энергиях (состояния непрерывного спектра)√2μE1φ(r) ∼ sin(kr + α), k =, α ∈ R, r → ∞.h̄(16.12)Фаза α не может быть зафиксирована исследованием потенциала при больших r. Например, если U (r) — непроницаемый шарик радиуса a, что соответствует φ(a) = 0, то при l = 0 точное решение имеет видφ(r) = C sin(k r −ka),r a.αНа этом примере мы видим, что при одинаковом поведении U (r → ∞)фаза α может быть любой.Случай неограниченного потенциалаСлучай неограниченного потенциалаr→∞U (r) −−−→ ∞— это модельный случай, т.
к. в реальной физике подобных потенциалов,неограниченно нарастающих на больших расстояниях, мы не наблюдаем.Для неограниченных потенциалов нам не надо специально оговариватьусловие отсутствия потока, т. к. это условие диктуется с обоих концов: нетолько условием φ(0) = 0, но и неограниченным ростом потенциала набесконечности.Конкретный вид асимптотики зависит от поведения U (r → ∞). Например, для потенциала трёхмерного изотропного гармонического осциллятора2 2U (r) = ω r2μ16.4. АТОМ465ВОДОРОДАасимптотика совпадает с асимптотикой обычного одномерного гармонического осциллятора (см. главу 12 «Гармонический осциллятор»)−φ(r) ∼ er22x204,x0 =h̄μω ,r → ∞.16.4. Атом водородаГамильтониан для атома водорода соответствует потенциалу U (r) ==аналогично для водородоподобного иона (один электрон, обращаю2щийся вокруг ядра с зарядом Z) U (r) = − Zer .
Таким образом, гамильтониан, описывающий движение электрона относительно центра масс (16.3),принимает вид2p̂2Ĥ1 =(16.13)− Ze ,2μ|r|2− er ,а одномерное уравнение Шрёдингера для радиального движения (16.5),(16.6) становится таким%$2h̄2 l(l + 1) Ze2h̄−φ(0) = 0. (16.14)− r − E1 φ(r) = 0,φ (r) +2μ2μr 216.4.1. Кулоновские и атомные единицыУравнение Шрёдингера для атома водорода или водородоподобногоиона удобно обезразмерить.
В качестве атомной единицы массы используется масса электрона (приведённая). В качестве единицы действия, какобычно в квантовой механике,используется постоянная Планка. В каче√стве единицы заряда — Z e. То есть, чтобы ввести кулоновские единицы,мы полагаем три размерные константы (с несводимыми размерностями)равными единицеμ = 1,h̄ = 1,Ze2 = 1.Этого достаточно, чтобы однозначно фиксировать систему единиц.Поскольку ядра существенно тяжелее электрона (протон в 2 × 103 раз),приведённая масса μ для движения электрона в поле ядра близка к массесвободного электрона.
В частности для водородаμ (1 − 0,5 × 10−3 ) · me .466ГЛАВА 16Атомные единицы получаются в случае μ = me , Z = 1me = 9,109 × 10−28 г = 1,h̄ = 1,055 × 10−27 эрг · с = 1,e = 4,803 × 10−10 ед. СГС = 1.Размерности у этих констант следующие:[me ] = M,[h̄] = ET = M L2 T −1 ,[e2 ] = EL = M L3 T −2 .Выпишем следующие отсюда единицы некоторых физических величин. Это следует сделать хотя бы для того, чтобы представить себе порядокразличных величин, характерных для задачи.Характерная скорость оказывается порядка 1/100 от скорости света:e2 = 2,187 × 108 см/с ∼ 10−2 c,h̄c = 2,997 924 58 × 1010 см/с.Это означает, что мы можем в первом приближении пренебречь релятивистскими эффектами, однако при умеренно точных измерениях релятивистские эффекты будут сказываться.
Из гамма-фактора1γ= 1≈≈ 1 + 2,5 × 10−52−41 − (v/c)1 − 0,5 × 10относительная точность нерелятивистского приближения оцениваетсякак ∼ 10−5 .Атомная единица длины — радиус Бора, как мы видим, ангстрем(1 Å = 10−10 м = 10−8 см) оказался удобной единицей длины на атомныхрасстояниях2a = h̄ 2 = 0,529 × 10−8 см = 0,529 Å.meАтомная единица времени (длина разделить на скорость) позволяетпредварительно оценить, какие процессы, совершающиеся с атомами следует считать быстрыми, а какие медленными:3ta = h̄ 4 = 2,419 × 10−17 с.meАтомная единица энергии составляет два ридберга (Ry).
Мы видим,что 1 эВ оказался весьма удачной единицей для атомных процессов:42ε0 = 2Ry = me2 = ea = 27,1 эВ = 4,34 × 10−18 Дж = 4,34 × 10−11 эрг.h̄16.4. АТОМ467ВОДОРОДА16.4.2. Решение безразмерного уравненияПосле обезразмеривания получаем− 1 φ (ρ) +2!l(l + 1) 11 φ(ρ) = 0,+−ρ 2n22ρ2φ(0) = 0.(16.15)−Здесь = Eε01 = − 2n1 2 — обезразмеренная энергия (n — обезразмереннаядлина затухания волновой функции при r → ∞), ρ = ar — обезразмеренныйрадиус.Мы будем искать состояния дискретного спектра, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
