Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 84
Текст из файла (страница 84)
е. состоянияс < 0.Мы знаем асимптотики φ при малых и при больших ρφ(ρ) ∼ ρl+1 , ρ → 0,1 = √−2.φ(ρ) ∼ e−ρ/n , ρ → ∞, nВыделим асимптотики из φ:φ(ρ) = ρl+1 · e−ρ/n · u(ρ).Здесь u(ρ) — новая неизвестная функция, она должна при малых ρ вестисебя так, чтобы не испортить асимптотику ρl+1 , а при больших — чтобы неиспортить e−ρ/n :%$l(l + 1) 2(l + 1)11l+1−ρ/n l+1φ (ρ) = ρ · e· u + 2u− nρ + 2 .ρ − n +uρ2nРадиальное уравнение принимает следующий вид:u + u l + 1 − 1 + u n − l − 1 = 0,ρnρn2 ρn−l−1ρu + 2u l + 1 − n + 2u= 0.nБудем искать функцию u(ρ) в виде ряда по степеням ρ:u(ρ) =∞k=0C k ρk ,(16.16)468ГЛАВА 16u (ρ) =∞(k + 1)Ck+1 ρk ,u (ρ) =k=0∞(k + 2)(k + 1)Ck+2 ρk ,k=0∞)(k + 2)(k + 1)Ck+2 ρk+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1 ρk −k=0%2(n − l − 1)2(k + 1)k+1k+−Ck+1 ρCk ρ = 0,nn∞k=0$%2(n−l−1)Ck ρk = 0,(k + 1)kCk+1 + 2(l + 1)(k + 1)Ck+1 − 2kn Ck +n$%∞2(n − l − 1 − k)Ck ρk = 0.(2l + k + 2)(k + 1)Ck+1 +nk=0Отсюда получаем рекуррентную формулу для коэффициентов разложения:Ck+1 = −Ck2(n − l − 1 − k).n(2l + k + 2)(k + 1)(16.17)При больших k2 )k(nCk+1 ≈ Ck 2 ≈ constnkk!⇒u(ρ) ≈ const · e2ρ/n , ρ → ∞.Это превращает правильную асимптотику φ ∼ e−ρ/n при ρ → ∞ в неправильную асимптотику φ ∼ e+ρ/n , которая тоже удовлетворяет уравнениюШрёдингера, но была откинута, т.
к. такая волновая функция ненормируема.Чтобы сохранить правильную асимптотику на больших расстоянияхнеобходимо потребовать, чтобы ряд по степеням ρ обрывался, т. е. должнобыть такое значение K = 0, 1, 2, . . . , что CK = 0, но2(n − l − 1 − K)=0CK+1 = − CK n(2l + K + 2)(K + 1)⇒n = l + 1 + K ∈ N.=0Таким образом, параметр n, с помощью которого мы параметризовали энергию, должен быть натуральным числом:kK (2l + 1)!(n − l − 1)!2ρu(ρ) = C0.−n(2l + 2 + k)!(n − l − 2 − k)!k!k=016.4. АТОМВОДОРОДА469С точностью до нормировочного множителяk2ρ−nKu(ρ) = const ·(2l + 2 + k)!(K − 1 − k)!k!k=0Это полином степени K = n − l − 1.16.4.3. Атом водорода в «старой квантовой механике»*Каждый школьник знает, что атом Бора — это не атом бора, а атом водорода.П.
Л. Капица во время посещения Н. Бором Москвы в 1961 г.** Цитируется по книге Белонучкин В. Е., Заикин Д. А., Ципенюк Ю. М. Основы физики. Курс общей физики: Учебн. В 2 т. Т. 2. Квантовая и статистическая физика / Подред. Ю. М. Ципенюка. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.Интересно, что точный спектр для частицы в кулоновском поле можетбыть получен из квазиклассических соображений. Впервые это было сделано Бором в 1913 году исходя из того, что на классической круговой орбитедолжно умещаться целое число волн де Бройля, это условие соответствуетусловию квантования классического момента импульса при круговом движении: L = pR = nh̄.Для круговой орбиты радиуса R2'2222pU = −e ,= −U = eK=⇒p = e m,2m2R2RR'2p 2πR = n2πh̄ ⇒ p = nh̄ = e m ⇒RR1 = e2 mRn2 h̄2⇒4E = U = − e 2m2 .22n h̄Как мы видим, значение энергии в точности соответствует строгомурешению квантовой задачи, однако соответствующий размерный моментимпульсаL = pR = nh̄2 Для упрощения выкладок мы пользуемся теоремой вириала из теоретической механики,которая для финитного движения в кулоновском поле даёт следующее соотношение междусредними значениями кинетической и потенциальной энергией K = − 12 U , т.
е. E = U.2470ГЛАВА 16выходит из диапазона 0, . . . , (n − 1)h̄, который получается в квантовомслучае.В последствии Зоммерфельд обобщил результат Бора на эллиптические орбиты с 0 < L nh̄. L = 0 было исключено, чтобы получить соответствующую эксперименту кратность вырождения.ГЛАВА 17Квантовая и классическая история.Вместо послесловия (ффф)Рассказывают, что один студент проквантовал классическуюмарксистско-ленинскую теорию, а потом пытался изложить результатыпреподавателю на экзамене по научному коммунизму . .
.Физтеховский студенческий фольклор17.1. Предварительные извиненияЭту главу не следует воспринимать слишком серьёзно — это всего лишьпопытка применить физическую интуицию к гуманитарным вопросам. Физика при этом может выступать как образец по-настоящему хорошо работающей теории, а также как метафора. Впрочем, нельзя исключать, чтонекоторые обсуждаемые вопросы окажутся физически осмысленными.17.2. Сослагательное наклонение в истории17.2.1. Классическая неустойчивая динамикаРасхожая фраза «история не имеет сослагательного наклонения» неявно подразумеваетисторический детерминизм в духе лапласовского детерминизма. Более того, неявно подразумевается, что историческая динамика устойчивак малым возмущениям, что противоречит дажеопыту классической механики.Также этот взгляд явно противоречит смыслу применения теории управления к челове- Рис.
17.1. Георгий Геннадическому обществу: задача построения управле- евич Малинецкий. [фото автора]ния — построение системы, чья динамика будет существенно зависеть от472ГЛАВА 17управляющего воздействия, т. е. динамика управляемой системы должнабыть неустойчива по управляющему воздействию. В данном случаеуправляемость⇒неустойчивость по управляющему воздействию(обратное не верно).Самоорганизация общества, при котором оно само приходит в управляемый режим, т.
е. получает возможность реагировать на внешнее воздействие как целое, аналогично известному в синергетике явлению самоорганизованной критичности, когда система сама приходит к состоянию, в котором характерный размер флуктуаций (откликов на внешние воздействия)становится сравнимым с масштабом системы.Для построения теоретической истории какнауки, имеющей реальную предсказательную силу не только по отношению к прошлому, но и поотношению к будущему, необходимо, по крайнеймере, использовать наработки кибернетики (теории управления) и синергетики (теории самоорганизации сложных систем).Классическая теоретическая история моглабы предсказывать вероятности тех или иных событий, выявлять периоды бифуркаций (развилок)Рис.
17.2. Исаак ЮдовичОзимов (Айзек Азимов) и устойчивого (неуправляемого) развития. Длябифуркаций можно было бы предсказывать харак1965 г. (1920–1992). Wтер и величину управляющего воздействия, повышающего вероятность выбора того или иного пути.В настоящее время в России теоретическая история с точки зрения синергетики развивается в ИПМ им. М. В. Келдыша РАН группой Г. Г. Малинецкого (проект «Математическая история»). По всей видимости аналогичные разработки (преимущественно закрытого характера) в России и миреведутся, по крайней мере, с середины XX века. В частности, С. Б. Переслегин предполагает, что в САСШ у истоков разработок по теоретической истории мог стоять биохимик (и писатель–фантаст) А. Азимов. Гипотеза о ролиАзимова основывается на его несомненном интересе к проблеме, проявленном в таких НФ-произведениях, как цикл «Основание» (1951–1988 гг.),«Конец Вечности» (1955 г.), «Непреднамеренная победа» (1964 г.).17.2.2.
Квантовая многомировая историяС точки зрения многомировой интерпретации квантовой механики следует считать, что состояние Земли и Человечества описывается суперпози-17.2. С ОСЛАГАТЕЛЬНОЕНАКЛОНЕНИЕ В ИСТОРИИ473цией макроскопически различных состояний. Упомянутое «сослагательноенаклонение» в квантовой многомировой истории реализуется со всеми бесчисленными вариантами на самом деле в различных параллельных мирах.Конечно, макроскопически отличные от текущей реальности параллельные миры (альтернативные реальности), согласно результатам теории декогеренции, не влияют на текущую реальность.
Однако в некоторых из альтернативных реальностей некоторые подсистемы неизбежнобудут иметь состояния, микроскопически тождественные состояниям соответствующих подсистем текущей реальности. Между этими подсистемами разных реальностей может наблюдаться квантовая интерференция. Например, какая-либо рукопись в одной реальности может быть подделкой,а в другой — подлинником, и амплитуда создания её как подделки и какподлинника могут интерферировать между собой.Более того, мы можем рассмотреть возможность попадания человечества в целом в одно конечное состояние, через макроскопически различныеистории.
Конечно, для этого необходимо, чтобы определить «подлинную»историю было в принципе невозможно.И тут мы можем поставить физическиосмысленный вопрос: «Чем предсказание будущего отличается от предсказания прошлого?» При предсказании нашего макроскопического будущего квантовые флуктуации заочень короткое время проявляются на макроуровне, однако при предсказании прошлого квантовые флуктуации позволяют выбратьодну из ветвей истории на многократно больших временах.
На какой интервал времени назад мы можем «предсказать» прошлое? Сколь Рис. 17.3. Сергей Борисовичподробно может быть такое предсказание? Как Переслегин. [Сергей Бережной cc W]этот интервал меняется по мере развития науки и техники?С. Б. Переслегин (философ, литературный критик, политолог, окончилЛГУ по специальности «ядерная физика») — один из немногих авторов, всерьёз рассуждающих о квантовой истории, — предполагает, что мы в принципе (из-за квантовых неопределённостей) не можем определить, справедлива ли традиционная хронология, или новая хронология, разрабатываемаягруппой А.
Т. Фоменко. Скорее всего, подобный радикальный взгляд чрезмерно оптимистичен (пессимистичен?). Однако многие физики согласилисьбы с утверждением, что наши возможности «предсказания» состояния первых мгновений жизни Вселенной принципиально ограничены квантовойтеорией.474ГЛАВА 17Возможны и промежуточные вопросы, ответ на которые представляется неочевидным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
