Главная » Просмотр файлов » Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г.

Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 81

Файл №1238820 Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г.) 81 страницаУчебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820) страница 812020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 81)

Иногда для таких частиц избегаютприменять слово спин и говорят спиральность.15.5. Сложение моментов*Пусть система состоит из двух подсистем, для каждой из которых; ;определены операторы момента импульса j1 и j2 . Пусть также для каждойиз подсистем определён квадрат момента импульса (j1 (j1 + 1) и j2 (j2 ++ 1) соответственно). Для системы мы можем ввести базис, состоящий изсостояний вида|m1 |m2 = |j1 , m1 |j1 , m2 .(В обозначении |m1 |m2 мы опустили фиксированные квантовые числа j1и j2 .)Таким образом, мы имеем базис собственных векторов для операторовĵ12 , ĵ1z , ĵ22 , ĵ2z .

Наша задача — построить базис собственных векторов для;;операторов суммарного момента Jˆ2 = (j1 + j2 )2 и Jˆz = ĵ1z + ĵ2z .446ГЛАВА 15(*) С точки зрения теории представлений, мы имеем произведениедвух неприводимых представлений группы SU(2), отвечающих моментам j1 и j2 , и нам надо разложить произведение в сумму неприводимыхпредставлений.Проще всего с оператором Jˆz . Базисные состояния |m1 |m2 для негоуже является собственными:Jˆz |m1 |m2 = (ĵ1z + ĵ2z )|m1 |m2 = (m1 + m2 ) |m1 |m2 = M |m1 |m2 .

MЕсли отложить по осям координат квантовые числа m1 и m2 , то новоеквантовое число M надо будет откладывать по оси, направленной по диагонали (см. рис. 15.4). При этом, M пробегает с шагом 1 все значения от−(j1 + j2 ) до j1 + j2 . Кратность различных значений M (число точек, натонких линиях поперёк оси M на рис.

15.4) меняется от 1 (при M = ±(j1 ++ j2 )) до 2j1 + 1, где j1 — наименьший из двух моментов.M = m1 + m2m1j1 + j221j110 1-4 -3 -2 -1-1-2 -1-3-2-4-5-623456j223456m2–(j1 + j2)Рис. 15.4. Связь M с m1 и m2 .Начнём с состояния с максимальным значением проекции момента.Такое состояние только одно: |j1 |j2 . Под действием оператора Jˆ+ = ĵ1+ ++ ĵ2+ оно обнуляетсяJˆ+ |j1 |j2 = (ĵ1+ + ĵ2+ )|j1 |j2 = (ĵ1+ |j1 ) |j2 + |j1 (ĵ2+ |j2 ) = 0, 0015.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *447значит в этом состоянии проекция момента достигает максимальной величины и мы можем записать первый вектор нового базиса:| j1 + j2 , j1 + j2 = |j1 |j2 . JMДействуя 2(j1 +j2 ) раз на состояния |j1 +j2 , j1 +j2 понижающим оператором Jˆ− = ĵ1− + ĵ2 , мы можем найти остальные состояния, для которыхJ = j1 + j2 , а M меняется от −J до +J с шагом 1. ((*) Тем самым мы выделяем первое неприводимое представление, отвечающее моменту j1 + j2 .)В частности однократное применение понижающего оператора даёт:Jˆ− |j1 + j2 , j1 + j2 =2(j1 + j2 )|j1 + j2 , j1 + j2 − 1 == (ĵ1− + ĵ2− )|j1 |j2 = (ĵ1− |j1 )|j2 + |j1 (ĵ2− |j2 ) == 2j1 |j1 − 1|j2 + 2j2 |j1 |j2 − 1,√√j1 |j1 − 1|j2 + j2 |j1 |j2 − 1.| j1 + j2 , j1 + j2 − 1 =√ j1 + j2JMУ нас имеется два линейно независимых состояния, для которых M == j1 + j2 − 1 (см.

рис. 15.4). Если из тех же состояний составить комбинацию, ортогональную состоянию |j1 + j2 , j1 + j2 − 1, то мы получим√√j2 |j1 − 1|j2 − j1 |j1 |j2 − 1.| j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1 =√ j1 + j2JMТо, что в данном состоянии J = M , проверяется с помощью повышающегооператора:Jˆ+ ( j2 |j1 −1|j2 − j1 |j1 |j2 −1) = 2j1 j2 |j1 |j2 − 2j1 j2 |j1 |j2 = 0. j1+ | .

. . j2+ | . . . Из состояния |j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1 с помощью понижающего оператораJˆ− мы получаем остальные состояния с J = j1 + j2 − 1 и другими M .Таким образом, мы из соображений ортогональности находим все состояния вида |J, J при J = j1 + j2 , j1 + j2 − 1, . . . , |j1 − j2 |. С помощьюоператора Jˆ− мы получаем все состояния |J, M , для которых M < J.448ГЛАВА 15Общее число состояний нового базиса такое же, как у старого:j1 +j2(2J + 1) = (j1 + j2 − |j1 − j2 | + 1) (j1 + j2 + |j1 − j2 | + 1) =J=|j1 −j2 |число слагаемыхсреднее слагаемое= (2j1 + 1)(2j2 + 1).(*) Таким образом, мы разлагаем произведение неприводимых представлений группы вращений, отвечающих моментам j1 и j2 , в сумму неприводимых представлений, отвечающих моментам j1 +j2 , j1 +j2 −1, .

. . , |j1 −− j2 |.Коэффициенты разложения векторов нового базиса по старомуm1 , m2 |J, M называются коэффициентами векторного сложения или коэффициентамиКлебша – Гордана, они образуют унитарную матрицу, т. к. описывают ортонормированную замену координат. Как и всякие скалярные произведенияортонормированных волновых функций, коэффициенты Клебша – Горданазадают амплитуды перехода между соответствующими состояниями.15.5.1. Сложение спинов12+12Проиллюстрируем процедуру сложения моментов импульса на простейшем случае двух спинов 12 .В соответствии с общей схемой, начнём с состояния с максимальнойпроекцией момента:|1, 1 = |+|+,√Ŝ− |1, 1 = 2|1, 0 = (ŝ1− + ŝ2− )|+|+ == (ŝ1− |+) |+ + |+ (ŝ2− |+) = |−|+ + |+|−, |−|−|1, 0 =Ŝ− |1, 0 =√|−|+ + |+|−,√22|1, −1 = (ŝ1− + ŝ2− )=|−|+ + |+|−=√2|−(ŝ2− |+) + (ŝ1− |+)|−√215.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *449|1, −1 = |−|−.Состояние |0, 0 получаем как линейную комбинацию состояний |+|−и |−|+ (состояния с нулевой проекцией спина), ортогональную состоянию |1, 0:|−|+ − |+|−|0, 0 =.√2Все состояния с суммарным спином 1 оказались чётными, относительно перестановки спинов, а состояние с суммарным спином 0 — нечётным.Если спины относятся с двум тождественным частицам (фермионам,т.

к. спин 12 ), то волновая функция должна быть нечётной (менять знак)относительно перестановки двух частиц:ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = −ψ(r2 , σ2 ; r1 , σ1 ).Мы можем отделить спиновую волновую функцию от координатной, есливолновая функция факторизуется:ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = φ(r1 , r2 ) · χ(σ1 , σ2 ).Условие нечётности принимает видφ(r1 , r2 ) · χ(σ1 , σ2 ) = −φ(r2 , r1 ) · χ(σ2 , σ1 ).Таким образом, еслиχ(σ1 , σ2 ) = ±χ(σ2 , σ1 )(«+» для спина 1, «−» для спина 0), тоφ(r1 , r2 ) = ∓φ(r2 , r1 ).То есть в данном случае чётность координатной части волновой функции двух тождественных частиц соответствует чётности суммарного спина(«+» для спина 0, «−» для спина 1). Подробнее этот вопрос разобран в следующем разделе15.5.2.

Чётность при сложении двух одинаковых спиновПусть складываются два одинаковых момента импульса s1 = s2 = s.Введём оператор перестановки спинов P̂s :P̂s |m1 |m2 = |m2 |m1 .450ГЛАВА 15Оператор обратим и сохраняет скалярное произведение, т. е. он унитаренP̂s† = P̂s−1 . Кроме того, оператор совпадает со своим обратным P̂s = P̂s−1 ,следовательно, он одновременно эрмитов. Унитарный эрмитов оператор может иметь собственные числа только ±1.Состояние с максимальной проекцией момента оказывается чётным,относительно их перестановки:|2s, 2s = |s|s.Оператор Ŝ− = ŝ1− + ŝ2− переводит чётные состояния снова в чётные,а нечётные — в нечётные, т.

е. Ŝ− сохраняет чётность:[Ŝ− , P̂s ] = 0.Таким образом, все состояния с максимальным спином|2s, M ,M = −s, . . . , +sоказываются чётными.Состояние с суммарным спином 2s − 1 строится как ортогональноек состоянию|s − 1|s + |s|s − 1|2s, 2s − 1 =,√2т.

е.|s − 1|s − |s|s − 1|2s − 1, 2s − 1 =.√2Таким образом, состояние |2s − 1, 2s − 1 оказалось нечётным. ПосколькуŜ− сохраняет чётность, все состояния|2s − 1, M ,M = −s + 1, . . . , +s − 1,оказываются нечётными.Вообще, из того, что Ŝ− сохраняет чётность, следует, что все состояния с одинаковым суммарным спином имеют одинаковую чётность (есличётность определена).Покажем по индукции, что и далее чётные и нечётные состояния будутчередоваться по мере уменьшения суммарного спина.Предположим, что для наибольших K значений спина (2s до 2s − K ++ 1) чётность чередуется (для K = 1 мы это уже доказали)P̂s |2s − k, M = (−1)k |2s − k, M ,k = 0, . . .

, K − 1.15.5. С ЛОЖЕНИЕМОМЕНТОВ *451Обозначим HK (K = 0, . . . , 2s) — (K + 1)-мерное подпространствосостояний, для которых M = 2s − K.Состояние |2s − K, 2s − K находится из условия ортогональностисостояниям |S, 2s − K (S = 2s, . . . , 0).1. Покажем, что состояние |2s − K, 2s − K должно иметь определённую чётность:S, 2s − K|P̂s |2s − K, 2s − K = ±S, 2s − K|2s − K, 2s − K = 0,S = 2s, . . . , 2s − K + 1.Состояние P̂s |2s−K, 2s−K ортогонально K базисным векторам из K +1,таким образом оно обязано быть пропорционально оставшемуся базисномувектору |2s − K, 2s − K, т.

е. оно имеет определённую чётность.+2. Вычислим размерность подпространства чётных состояний HK⊂⊂ HK . В подпространстве HK имеется K + 1 базисное независимое состояние вида |m1 |m2 (m1 + m2 = M = 2s − K). Линейно независимыесостояния вида|m1 |m2 + P̂s |m1 |m2 = |m1 |m2 + |m2 |m1 образуют базис в подпространстве чётных состояний. Состояния, отличающиеся перестановкой m1 и m2 , попарно совпадают, так что!K++ 1,dim HK =2где квадратные скобки обозначают взятие целой части.−Для подпространства нечётных состояний HK⊂ HK!−dim HK=K− K .23.

Покажем, чтосостояния |2s − K,)2s −*K будет (−1)K .) чётность*У нас уже имеется K−1+1чётныхи K − 1 − K−1нечётных состо22яний, полученных с помощью понижающего оператора Ŝ− из состояний±±HK−1. Чтобы получить правильные размерности пространств HK, нам надо, чтобы состояние |2s − K, 2s − K имело подходящую чётность. Если Kнечётно, то нам надо добавить одно нечётное состояние.

Если K чётно, тонадо добавить одно чётное состояние.С учётом того, что оператор Ŝ− сохраняет чётность, получаем, чточётность состояния |2s − K, M равна (−1)K .452ГЛАВА 15Тождественные частицыЕсли рассмотренные выше частицы со спином s являются тождественными, тоψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = (−1)2s ψ(r2 , σ2 ; r1 , σ1 ).Мы можем отделить спиновую функцию от координатной, если волноваяфункция факторизуется:ψ(r1 , σ1 ; r2 , σ2 ) = φ(r1 , r2 ) · χ(σ1 , σ2 ).Мы только что определили чётность спиновой волновой функции, присложении двух спинов s:χ(σ1 , σ2 ) = (−1)K χ(σ2 , σ1 ) = (−1)2s−S χ(σ2 , σ1 ).Таким образом, чётность координатной волновой функции определяетсясуммарным спином системы из двух тождественных частиц:φ(r1 , r2 ) = (−1)S φ(r2 , r1 ).15.5.3.

Сложение моментов j +12При сложении моментов j и 12 суммарный момент пробегает два значенияJ = j ± 1,211|j + 2 , j + 2 = |j|+.Действуя на это равенство понижающим оператором Jˆ− = ĵ− + ŝ− , получаем2j + 1|j + 12 , j − 12 = 2j|j − 1|+ + |j|−,√2j|j − 1|+ + |j|−11|j + 2 , j − 2 =.√2j + 1Из ортогональности находим|j −12, j−12√|j − 1|+ − 2j|j|−.=√2j + 1Остальные состояния находятся действием оператора Jˆ− N на состояния|j + 12 , j + 12 и |j − 12 , j − 12 . Поскольку для спина 12 выполняется условиеŝ− 2 = 0, от бинома Ньютона остаются только два первых члена:Jˆ− N = (ĵ− + ŝ− )N = ĵ− N + N ĵ− N −1 ŝ− = (ĵ− + N ŝ− )ĵ− N −1 ,15.5.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
4,31 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее