Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Матрица(M −1 )nk и обратная к ней матрица Mnk выступают в роли обратной и прямой метрики. Компоненты импульса p̂n — компоненты ковектора, компоненты скорости v̂ k = p̂n (M −1 )nk —компоненты вектора, получающегося из импульса подниманием индекса с помощью обратнойметрики (M −1 )nk . Кинетическая энергия T̂ = 12 (M −1 )nk p̂n p̂k = 12 Mnk v̂ n v̂ k — половинаскалярного квадрата от вектора v̂, или ковектора p̂.394ГЛАВА 13nQ̂Если ввести оператор скорости как v̂ n = ddt= (M −1 )nk p̂k , то выражение упрощается, причём, как и раньше, оно может быть записано черезплотность вероятности ρ = |ψ|2 и фазу ϕ = arg ψ:j n = 1 (ψ (v̂ n ψ)∗ + ψ ∗ v̂ n ψ) = Re(ψ ∗ v̂ n ψ) = ρ (iv̂ n ϕ) .2 (13.46)скорость13.6.3.
Поток вероятности в присутствии электромагнитного поля*В присутствии электромагнитного поля в гамильтониане появляютсяскалярные и векторные потенциалы, относящиеся к тем точкам, в которыхнаходятся заряженные частицы. Эти потенциалы выступают как фиксированные функции, если мы рассматриваем внешние поля, либо как операторы, если мы рассматриваем квантованные поля.Скалярный потенциал к потенциальной энергии частицы с номером aдаёт добавку ea ϕ(ra ). Векторный потенциал изменяет выражение для кинетической энергии, заменяя импульс на более сложное выражение p̂a →e→ p̂a − ca A(ra ):Ĥ = 2 1 ep̂a − ca A(ra ) + U (Q) +ea ϕ(ra ).2maa(13.47)aТем не менее, мы можем использовать для плотности потока вероятностипрежнее выражение (13.46), если переопределим оператор скоростиv̂a = dr̂ae= m1 p̂a − ca A(ra ) .adtТакое переопределение соответствует связи между импульсом и скоростьюв классическом случае.Мы можем рассматривать модификацию гамильтониана в присутствиивекторного потенциала как удлинение производной:ep̂a → p̂a − ca A(ra ),∇a → ∇Aa = ∇a −ieaA(ra ),ch̄удлинённая производная называется также ковариантной производной.
Аналогичная модификация производной применяется в теориях калибровочныхполей.13.7. О ТМАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ **39513.6.4. Почему координатное представление?**Почему при выводе уравнения непрерывности для вероятности мыограничились координатным представлением?Во-первых, для того, чтобы писать уравнение непрерывности, надо,чтобы спектр наблюдаемых, которые выбраны как аргументы волновойфункции, был непрерывным.Во-вторых, необходимо, чтобы под действием гамильтониана выбранные переменные менялись непрерывно со временем.
Для рассмотренныхвыше гамильтонианов это обеспечивается диагональностью потенциальнойэнергии, которая уходит из уравнения непрерывности вне зависимости отсвоего конкретного вида, и конкретным видом кинетической энергии.Если, например, рассматривать импульсное представление, то при выводе кинетическая энергия сократится, но станет существенной конкретнаяформа потенциала U (Q̂).
В случае общего положения потенциал в импульсном представлении действует на волновую функцию свёрткойU (Q̂)ψ(p) = Ũ (p − p ) ψ(p ) dp .В общем случае эта операция нелокальна, и мы вообще не можем записатьстандартное (с локальной плотностью потока) уравнение непрерывностив импульсном пространстве.Тем не менее, если потенциал хорошо разлагается в ряд Тейлора (радиус сходимости покрывает область допустимых импульсов), то он оказывается дифференциальным оператором nN∂∂ n U U ih̄ ∂=ih̄.∂p∂Qn Q=0∂pn=0В этом случае мы можем записать уравнение непрерывности в импульсномпространстве, но плотность потока вероятности зависит от вида потенциалаи содержит производные от волновой функции вплоть до порядка N − 1.При N = ∞ выражение для плотности потока вероятности может оказатьсянелокальным (невыразимым через переменные в данной точке импульсногопространства).13.7.
От матрицы плотности к плотности вероятности**Смешанное состояние системы в классической теории описываетсяраспределением вероятности в 2N -мерном фазовом пространстве (q, p),396ГЛАВА 13а в квантовой теории — матрицей плотности ρ̂. Однако запись матрицыплотности в виде функцииρ(q1 , q2 ) = q1 |ρ̂|q2 ,ρ(p1 , p2 ) = p1 |ρ̂|p2 мало похожа на функцию распределения, т.
к. оба аргумента оказываютсяодного сорта, а, кроме того, функция оказывается, как правило, комплексной.Квантовый аналог распределения вероятностей называет функция Вигнера и определяется с помощью преобразования Фурье координатногопредставления матрицы плотности по разности аргументов:W (q, p) =1(2πh̄)Niρ(q − x/2, q + x/2) e h̄pxdN x.(13.48)Функция Вигнера во многом похожа на классическую функцию распределения. Она вещественна, это легко видеть, т. к. при комплексномсопряжении x в подынтегральном выражении меняет знак. Интегрирование функции Вигнера поодному из наборов аргументов позволяет получить распределение вероятности по другому набору аргументов (проверьте!):ρ(q, q) = W (p, q) dN p,Рис. 13.6.
Юджин Вигнерρ(p, p) = W (p, q) dN q.(1902–1995).Однако функция Вигнера не может рассматриваться как совместное распределение вероятностей по координатам и импульсам, потому что длянекоторых состояний она может принимать отрицательные значения.При переходе от квантовой механике к класРис. 13.7. Владимир Ива- сической распределение вероятностей (q, p) понович Манько.лучается из сглаженной функции Вигнера, приэтом сглаживание должно размывать функциюВигнера примерно на соотношение неопределённостей, т. е. усреднять надо по фазовомуобъёму порядка (2πh̄)N .13.7. О ТМАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ К ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ **397Функцию Вигнера можно записать как среднее от зависящего от параметров q, p эрмитового оператора Â(q, p):Â(q, p) =1(2πh̄)Ni|q + x/2e h̄q̂α |q = qα |q,pxq − x/2| dN x,q|q = δ N (q − q ),W (q, p) = Â(q, p)ρ = tr(Â(q, p) ρ̂).(13.49)Интегрируя функцию Вигнера по разным направлениям в фазовомпространстве, можно получить распределения вероятностей по всевозможным переменным q или p, таким, что они получаются из переменных q, pпроизвольным линейным каноническим преобразованием.w(X, μ, ν) = W (q, p) dN (μq + νp),(13.50)здесь μ и ν — матрицы N × N , такие, что rank(μ, ν) = N .
Компоненты X̂и p̂ = μq̂ + ν p̂ связаны каноническими коммутационными соотношениями:[X̂α , p̂β ] = ih̄δαβ ,α, β = 1, . . . , N.Переход (13.50) от функции Вигнера W (q, p) к функции w(X, μ, ν) называется преобразованием Радона, а сама функция w(X, μ, ν) — квантовойтомограммой.Преобразование Радона обратимо, так что по томограмме можно восстановить функцию Вигнера и матрицу плотности, т. е. томограмма — другое представление смешанного состояния квантовой системы. Томограммаимеет хороший физический смысл: она задаёт распределения вероятностейдля всевозможных линейных комбинаций координат и импульсов.Формулировка квантовой механики в терминах квантовой томографии разрабатывается в настоящее время группой В. И. Манько в МФТИи ФИАНе.ГЛАВА 14Симметрии-2*(группы и представления)В главе 11 «Симметрии-1» мы уже обсуждали роль симметрий в квантовой механике.
Здесь мы изучим симметрии более глубоко, введя для этогоболее изощрённый математический аппарат. Можно сказать, что ранее мыизучали эффект какой-то одной симметрии (однопараметрической группысимметрий), а теперь мы рассматриваем случай, когда симметрий много(есть нетривиальная группа симметрий).При первом чтении большую часть этой главы можно пропустить. При последующих прочтениях этот раздел призван дать более последовательный математический взгляд на симметрии в квантовой теории,в частности, на повороты и моменты импульса в трёхмерном пространстве.14.1. Группы и их представления (л)Как уже отмечалось ранее (глава 11 «Симметрии-1»), симметрия системы в квантовой механике задаётся набором унитарных преобразований,коммутирующих с гамильтонианом системы. При этом между собой этипреобразования могут и не коммутировать.Преобразования симметрий мы можем рассматривать с двух точек зрения:• Как симметрии комбинируются между собой? Что получится, если последовательно выполнить преобразования симметрии Û1 и Û2 :Û2 Û1 = ?• Как симметрии действуют на интересующие нас объекты? В квантовоймеханике нас интересует, как операторы симметрии Û действуют навекторы состояния ψ: Û ψ = ?14.2.
Г РУППЫ ( Л )399Первая точка зрения — теория групп. Ей посвящён раздел 14.2 «Группы (л)».Вторая точка зрения — теория представлений групп (или просто: теория представлений). Ей посвящён раздел 14.4 «Представления групп (л)».14.2. Группы (л)14.2.1. Определение и смысл (л)Группа G — множество, на котором задана следующая структура:• единичный элемент (единица) E ∈ G;• операция умножения ◦ : G×G → G, т.
е. g2 ◦g1 = g3 , где g1 , g2 , g3 ∈ G.Умножение ∀g, g1 , g2 , g3 ∈ G удовлетворяет условиям:E ◦ g = g ◦ E = g,(g3 ◦ g2 ) ◦ g1 = g3 ◦ (g2 ◦ g1 );• операция взятия обратного элемента (·)−1 : G → G, т. е. ∀g ∈ Gопределено g −1 ∈ G. Операция взятия обратного элемента удовлетворяет условиюg −1 ◦ g = g ◦ g −1 = E.(фл) Сразу опишем физический смысл этих понятий. Группа — наборпреобразований, удовлетворяющий следующим условиям:• в группу входит единичный элемент — тождественное преобразование;• если выполнить последовательно преобразования g1 и g2 , то получится преобразование g3 , также принадлежащее группе.
g3 задаётся какпроизведение преобразований g1 и g2 в обратном порядке (!!!): g3 == g2 ◦ g1 . Следующие свойства для преобразований выполняются автоматически:E ◦ g = g ◦ E = g,(g3 ◦ g2 ) ◦ g1 = g3 ◦ (g2 ◦ g1 );• операция взятия обратного элемента — замена преобразования g наобратное g −1 . То есть все преобразования, входящие в группу, должныбыть обратимы, причём для всякого преобразования g ∈ G, обратноепреобразование также входит в группу g −1 ∈ G. Автоматически выполняется свойствоg −1 ◦ g = g ◦ g −1 = E.400ГЛАВА 14Почему мы положили, что умножение преобразований соответствуетих выполнению в обратном порядке? Потому что при действии операторана состояние мы пишем оператор слева от состояния: Âψ. Если на результатподействовать ещё одним оператором, то получится B̂ Âψ и мы получилислева от ψ комбинацию B̂ Â, в которой операторы написаны в обратном порядке, по сравнению с тем порядком, в котором они действуют. Естественно считать, что и групповое умножение преобразований выполняется в томже порядке.
Это позволяет опускать значок «◦», обозначающий групповоеумножение.Может показаться, что группа, определённая как набор преобразований, — частный случай группы вообще, однако это не так. Любая группаможет быть представлена как группа преобразований самой себя: элементгруппы g преобразует группу с помощью умножения слева (левых сдвигов)g:G→Gg : h → g ◦ h,∀g, h ∈ G.(14.1)В теории групп естественно рассматривать отображение f : G → Hгруппы G на группу H, при котором сохраняется групповая структура, т. е.f (g1−1 ) = f (g1 )−1 .(14.2)Такое отображение называется гомоморфизм (гомоморфное отображение).Иногда реальная группа симметрий оказывается не той группой, которую мы ожидали с самого начала, а её гомоморфным отображением.Например, если у нас есть симметрия, относительно группы поворотов,а рассматриваемые состояния тождественно переходят в себя при любомповороте, то симметрия таких состояний описывается не группой поворотов, а группой из одного тождественного преобразования.Если гомоморфное отображение является ещё и взаимнооднозначным,то оно называется изоморфизмом, а группы G и H считаются одинаковыми(изоморфными).
Изоморфизм обозначается так: G H.Одинаковые (изоморфные) группы могут быть по-разному представлены как группы преобразований. В теории групп изучаются свойства, независящие от изоморфного представления группы, как группы преобразований. Таким образом, с точки зрения теории групп, группа преобразований по сравнению с абстрактной группой наделена «лишней» структурой,которая задаёт действие элементов группы как преобразований некоторогопространства. Различные представления группы как группы преобразований изучаются теорией представлений.f (EG ) = EH ,∀g1 , g2 ∈ G,f (g1 )◦f (g2 ) = f (g1 ◦g2 ),14.2. Г РУППЫ ( Л )40114.2.2. Коммутативность и некоммутативность (л)Коммутативными (абелевыми) называются группы, для которых результат умножения не зависит от порядка множителей:∀g1 , g2 ∈ G g1 ◦ g2 = g2 ◦ g1 .Для абелевых групп групповую операцию могут называть не умножением,а сложением, а единичный элемент не единицей, а нулём.Для того, чтобы определить насколько данные элементы группы коммутируют или не коммутируют друг с другом вводят такой объект, как групповой коммутаторg1 ◦ g2 ◦ g1−1 ◦ g2−1 .Если данные элементы группы коммутируют, то групповой коммутатор равен единичному элементу E.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
