Учебник - Как понимать квантовую механику - Иванов М.Г. (1238820), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Рано или поздно (как мы уже упоминали) мы получим (12.16), что âk |ψn = 0, но âk+1 |ψn = 0, это означает, чтосостояние âk |ψn — собственное для оператора N̂ , с собственнымчислом 0 = n − k, т. е. n = k — целое неотрицательное число.– Могут ли быть у оператора N̂ собственные состояния, которыене получаются из |ψ0i с помощью повышающего оператора?Нет. Начнём строить собственные состояния оператора N̂ в виде|ψni = cn (↠)n |ψ0i .
Предположим, что |φn∗ — собственное состояние, линейно независимое от |ψni и отвечающее собственному числу n∗ . При этом n∗ > 0, т. к. иначе |φn∗ — просто ещё односостояние из набора {|ψ0i }i . Выберем минимальное значение n∗ .Подействовав на |φn∗ оператором â, получаем собственное состояние |φn∗ −1 = n1∗ · â|φn∗ (где â|φn∗ = 0, т. к. n∗ > 0). Мывидим, что ↠|φn∗ −1 = n1∗ · ↠â|φn∗ = n1∗ · N̂ |φn∗ = |φn∗ . Тоесть состояние |φn∗ получается из состояния |φn∗ −1 с помощьюоператора ↠. Если |φn∗ −1 линейно независимо от |ψ(n∗ −1)i , товыбранное нами n∗ не минимально, а если зависимо, то |φn∗ представимо через |ψn∗ i .• Сколько может быть линейно независимых состояний |ψni , отвечающих произвольному собственному числу n оператора N̂ ? (То есть какзависит от n кратность вырождения?) Ровно столько же, сколькодля n = 0 (см.
первый вопрос), т. е. для всех n непременно поровну. Пусть n > 0. Состояния â|ψni ненулевые (т. к. n> 0) и линейнонезависимые (т. к. если они линейнозависимы,т.е.i ci â|ψni = 0,то 0 = ↠0 = ↠i ci â|ψni = i ci ↠â|ψni = i ci n|ψni , т. е. линейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вырождения не может увеличиваться с ростом n. Аналогично для любогоцелого неотрицательного n состояния ↠|ψni ненулевыеи линейно†независимые (т. к. если они линейнозависимы,т.е.câ|ψni = 0,iiто 0 = â0 = â i ci ↠|ψni = i ci â↠|ψni = i ci (n + 1)|ψni , т.
е.линейно зависимы исходные состояния). Следовательно, кратность вырождения не может уменьшаться с ростом n.12.2. П РЕДСТАВЛЕНИЕЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ33512.2.2. Базис собственных функцийПусть кратность вырождения равна единице, тогда собственные функции оператора N̂ нумеруются одним числом n.
Эти собственные функции,будучи собственными функциями эрмитова оператора, образуют базис, дляэлементов которого удобно ввести следующие обозначения:|ψn = |n.(12.19)Базис является ортогональным, т. к. собственные векторы, отвечающие разным собственным числам, ортогональны. Базисные векторы отнормируемна единицу (поскольку спектр дискретный, это возможно), таким образомk|n = δkn .(12.20)Под действием понижающего оператора базисные векторы ведут себяследующим образом:â|0 = 0,(12.21)â|n = cn |n − 1,cn ∈ C,n > 0.Что мы можем сказать о константах cn ? Сопрягая последнее уравнениеи умножая исходное уравнение слева на сопряжённое, получаем:n|↠= n − 1|c∗n ,⇒ n|↠â|n = n − 1|c∗n cn |n − 1,n|↠â|n = n|N̂|n = n|n|n = nn|n = n,n − 1|c∗n cn |n − 1 = c∗n cn n − 1|n − 1 = c∗n cn = |cn |2 .√|cn |2 = n⇔cn = eiϕn n.Таким образом, используя ортонормированность базиса, мы вычислили cn с точностью до фазовых множителей.
Вычислить эти фазовые множители невозможно. Это связано с тем, что условие ортонормируемостизафиксировало наш базис только с точностью до умножения базисных векторов на произвольные различные фазовые множители:|n = eiφn |n,cn = ei(φn −φn−1 ) cn .Не имея возможности вычислить фазовые множители для cn , мы имеем возможность выбрать их по своему произволу.
Мы выберем все cn вещественными неотрицательными числами. Это зафиксирует большую часть336ГЛАВА 12произвола, теперь мы можем умножать наши векторытолько на одинаковые√фазовые множители (|n = eiφ0 |n, а cn = n теперь — фиксированныечисла):√â|n = n |n − 1.(12.22)Запишем матричные элементы оператора â для базисных векторов. Матричные элементы оператора ↠получаются эрмитовым сопряжением:√√√k|â|n = n δk,n−1 ⇔ n|↠|k = n δk,n−1 = k + 1 δk+1,n .(12.23)Это позволяет представить лестничные операторы в виде матриц⎛⎞⎛⎞0 1 √0 0 . . .0 0 0 0 ...⎜0 0 2 0 ...⎟⎜1 0 0 0 ...⎟⎜⎟√⎜ √⎟⎜0 0 0⎟3...0 2 √0 0 .
. . ⎟⎟, ↠= ⎜â = ⎜(12.24)⎜⎟.⎜⎟⎜0 03 0 ...⎟⎜ 0 0 0 0 ... ⎟⎝⎠⎝⎠.. .. .. . . . ... .. .. .. . .. .. . ... . . .Столбцы и строки нумеруются здесь целыми числами, начиная с нуля.Таким образом, мы получили действие ↠на базисные векторы√↠|n = n + 1 |n + 1.(12.25)На основе (12.25) мы можем выразить состояние |n через основное состояние |0:(↠)n|n = √ |0.(12.26)n!Обратите внимание, формулы (12.22) и (12.25) мы получали поразному. Это связано с тем, что вывод формулы (12.22) предполагал произвольную фиксацию фазовых множителей. Выводя формулу (12.25), мыуже не могли фиксировать фазовые множители произвольно, а должныбыли воспользоваться соглашениями, принятыми ранее, поэтому формула (12.25) была выведена через формулу (12.22).Мы нашли собственные числа оператора N̂ , используя (12.10) мы можем записать разрешённые уровни энергии гармонического осциллятора:1En = h̄ω n +,n = 0, 1, 2, 3, .
. . .(12.27)212.3. П ЕРЕХОДК КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ337Целое число n можно трактовать как число фиксированных квантов энергии h̄ω, сообщённых осциллятору сверх энергии нулевых колебаний 12 h̄ω. По этой причине n называют числом заполнения, а разложениеволновой функции по базису {|n}∞n=0 — представлением чисел заполнения.12.3. Переход к координатному представлениюДо сих пор мы не установили кратность вырождения уровней длягармонического осциллятора. Кроме того, выбрав стационарные состоянияв качестве базисных, мы ничего не сказали про их вид в координатномпредставлении.
Впрочем, можно просто постулировать нужную кратностьвырождения, а все вычисления проводить в представлении чисел заполнения.В координатном представленииx̂ = x,p̂ = −ih̄ ∂ ,∂xψ(x) = x|ψ.Переходя к обезразмеренным операторам получаем:1 = −i ∂ , ψ(Q) = Q|ψ = √x ψ(x)|∂0x=Q·x0 .∂Q∂(Qx0 ) p0(12.28)√Корень x0 возникает как нормировочный множитель, чтобы обеспечитьнормировку на единицу для волновой функции, как функции Q:|ψ(Q)|2 dQ = |ψ(x = Q · x0 )|2 d(x0 Q) = |ψ(x)|2 dx = 1.Q̂ = Q, P̂ = −ih̄В координатном представлении лестничные операторы принимают виддифференциальных операторов:Q+ ∂∂Qâ = √,2Q− ∂∂Qâ = √.2†(12.29)Если теперь записать уравнение (12.21), то оно превратится в дифференциальное уравнениеâ|0 = 0⇒Q+ ∂∂Qψ0 (Q) = 0.√2(12.30)338ГЛАВА 12Мы получили обыкновенное (поскольку у нас одна независимая переменная Q, «круглые» дифференциалы можно заменить на «прямые»), линейное, однородное дифференциальное уравнение первого порядка, а значит,решение этого уравнения единственно с точностью до постоянного множителя (нормировочной константы).
Это уравнение с разделяющимися переменными, так что оно без труда решается явно:dψ0=0dQ⇒dψ0= −Q dQψ0⇒Qψ0 +⇒ln ψ0 = −Q2+ const2⇒−ψ0 = const · eQ22.0.70.60.50.40.30.20.1–4–20024Рис. 12.2. Основное состояние гармонического осциллятора и его квадрат: ψ0 (Q)и |ψ0 (Q)|2 . Две вертикальные черты обозначают границы классически разрешённойобласти.С точностью до фазы множитель определяется из условия нормировки.Если выбрать фазу так, чтобы функция ψ0 (Q) была вещественной и положительной, то1 · e−ψ0 (Q) = √4πQ22.(12.31)Основное состояние единственно, с точностью до множителя, т. е. кратность вырождения — единица.Мы можем получить и другие кратности вырождения, если добавим волновой функции дополнительные аргументы, например, рассмотрим12.3.
П ЕРЕХОДК КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ3390.60.40.2–4–20–0.20Q24–0.4–0.6Рис. 12.3. Первое возбуждённое состояние гармонического осциллятора: ψ1 (Q)и |ψ1 (Q)|2 .осциллятор с волновыми функциями вида ψ(Q, m), где Q — непрерывнаякоордината, а m — дискретная переменная, пробегающая K значений (например, проекция спина, тогда K = 2s + 1), даст K-кратно вырожденныйспектр. (Собственные функции, отвечающие одинаковой энергии, будут нумероваться ещё и значением переменной m.)0.60.40.2–4–200–0.2 Q24–0.4Рис. 12.4. Второе возбуждённое состояние гармонического осциллятора: ψ2 (Q)и |ψ2 (Q)|2 .Возбуждённые состояния получаются из основного состояния (12.31)с помощью повышающего оператора ↠по формуле (12.26).
Но теперь по-340ГЛАВА 12вышающий оператор оказывается дифференциальным оператором, в соответствии с формулой (12.29):(↠)nψn (Q) = √ ψ0 (Q) =n!⎞n⎛Q− ∂Q2⎜∂Q ⎟ 1−1⎟⎜=√ ⎝ √√ ·e 2 =2 ⎠ 4πn!n Q2−∂Q−e 2 .∂Q√= ( π2n n!)−1/2Q2−∂2∂Q e−Q22Поскольку= −Q e, из предыдущей формулы легко видеть, что волновая функция n-го возбуждённого состояния имеет вид2Q√−ψn (Q) = ( π2n n!)−1/2 Hn (Q) e 2 ,где Hn (Q) — полином степени n, который называется полиномом Чебышёва – Эрмита.Обратите внимание, что как дифференцирование по Q, так и умножение на Q меняют чётность волновой функции, таким образом, под действием операторов â и ↠чётные волновые функции превращаются в нечётныеи наоборот. Поскольку ψ0 (Q) — чётная функция, чётности ψn (Q) и полинома Эрмита Hn (Q) соответствуют чётности n.Приведём первые 6 полиномов Эрмита:H0 = 1,H1 = 2Q,4H4 = 16Q − 48Q2 + 12,H2 = 4Q2 − 2,H3 = 8Q3 − 12Q,H5 = 32Q5 − 160Q3 + 120Q.Мы можем записать формулу для n-го полинома в видеHn (Q) =Q2e 2n Q2−∂Q−e 2 .∂QДанную формулу легко упростить, вставив перед скобками выражениеeQ22e−Q22и «пронеся» e−Q22направо через все производные с помощью12.3.
П ЕРЕХОД341К КООРДИНАТНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ0.60.40.2–4–20–0.20Q24–0.4–0.6Рис. 12.5. Третье возбуждённое состояние: ψ3 (Q) и |ψ3 (Q)|2 .очевидной формулы:−eQ22Q− ∂∂QF (Q) = Q2−−∂e 2 F (Q).∂QВ результате получаем стандартную «формулу из учебника»:n2∂Q2Hn (Q) = e−e−Q .∂Q0.40.2–10–500–0.2 Q510Рис. 12.6. 50-е возбуждённое состояние гармонического осциллятора: ψ50 (Q)и |ψ50 (Q)|2 .342ГЛАВА 1212.4. Пример расчётов в представлении чиселзаполнения*Пусть, например, нам надо посчитать среднее от какого-либо оператонайти волновую функра, скажем, Q̂P̂ 2 Q̂ в состоянии |n. Можно, конечно,52цию ψn (Q) и взять интеграл n|Q̂P̂ Q̂|n = ψn Q(−i∂/∂Q)2 Qψn dQ, однако проще провести вычисления в представлении чисел заполнения.Мы знаем, как на собственные функции осциллятора действуют лестничные операторы, поэтому выразим через них операторы координатыи импульса:â + â†â − â†Q̂ = √ ,P̂ = √ .(12.32)2i 2Теперь мы можем написать2â + â†â + ↠â − â†2n|Q̂P̂ Q̂|n = n| √√ |n =√2i 22Далее остаётся раскрыть скобки (не забывая, что â и ↠не коммутируют!), применить формулы для действия лестничных операторов на базисные состояния (12.22), (12.25) и ортонормированность базисных состояний (12.20).Впрочем, мы можем облегчить работу, выписывая при открытии скобок только те члены, которые содержат равное число операторов â и ↠,поскольку каждый такой оператор опускает (поднимает) состояние на однуступеньку, а состояния ортонормированы, а значит нам интересны толькочлены, не меняющие номер состояния.
Таким образом, продолжаем предыдущее равенство=1 n| − ↠↠ââ − ↠â ↠â + ↠â â↠+ −4N̂†††N̂†N̂(N̂ +1)† †â â − ââ ââ − âââ â |n =+ ââ (N̂ +1)N̂(N̂ +1) (N̂ +1)Мы просто выписали все 6 возможных способов поставить два креста на4 оператора. При этом каждый крест над вторым или третьим оператором(которые происходят от оператора P̂ ) давали знак минус.Мы сразу выделили действующие на состояние |n комбинации операторов, которые дают оператор номера уровня N̂ . Поскольку оператор действует на своё собственное состояние, его можно заменить собственным12.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
