4 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238807), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Окончательно, критерий первого интеграла для гамильтоновых систем получен в виде+ {ℋ, } = 0Отметим четыре свойства скобок Пуассона.1. Антикоммутативность: {, } = −{, }332. Линейность: { + , } = {, } + {, }{︂}︂ {︂}︂{, }=, + ,3. Дифферецирование:4. Тождество Пуассона: {, {, }} + {, {, }} + {, {, }} = 0Все четыре свойства проверяются прямой подстановкой в определение. Тем не менее, докажем альтернативным методом тождество Пуассона.Доказательство1) Очевидно, конструкция вида {*, {*, *}} содержит вторые производные последних двухфункций, что проверяется прямой подстановкой в определение.2) , , входят в тождество Пуассона симметрично, поэтому достаточно доказать, чтов тождество не входит, например, , тогда свойство будет доказано.Заметим теперь, что скобка Пуассона {, } может быть представлена как действие нафункцию дифференциального оператора:{, } = , =∑︁ − Теперь, пользуясь свойством антикоммутативности, имеем{, {, }} + {, {, }} = −{, {, }} + {, {, }} == − + = ( − ),⏞⏟[ , ]где [ , ] — коммутатор операторов.Очевидно, что для=∑︁− (→), =∑︁− (→)Коммутатор[, ] =∑︁[( ) − ( )]— оператор первого порядка.
Поэтому и [ , ] — оператор первого порядка. Тогда леваячасть тождества Пуассона не содержит вторых производных функции .Свойство доказано.2.2.2Теорема Якоби-Пуассона.Теорема Якоби-Пуассона: Если , — первые интегралы системы с функцией Гамильтона ℋ, то {, } — первый интеграл.Доказательство34 , — первые интегралы, поэтому+ {ℋ, } = 0,+ {ℋ, } = 0Покажем, что {, } — первый интеграл, то есть{, }+ {ℋ, {, }} = 0Воспользуемся свойством дифференцирования и тем, что и — первые интегралы:{︂}︂ {︂}︂, + ,+ {ℋ, {, }} = −{{ℋ, }, } + {, −{ℋ, }} ++{ℋ, {, }} = {, {ℋ, }} + {, {, ℋ}} + {ℋ, {, }} = 0Теорема доказана.Пользуясь теоремой Якоби-Пуассона, можно получить любое число первых интегралов, зная только два.
Но это не значит, что они будут независимыми.Первые интегралы 1 , . . . , независимы, если не существует функции Φ такой, что−−Φ(1 (→ ), . . . , (→ )) = 0−−Пусть { } зависимы, то есть Φ(1 (→ ), . . . , (→ )) = 0. Но тогда∑︁Φ−∇ (→)=0→− ( )Теперь определение независимости первых интегралов можно переформулировать.Если = , где = ‖∇1 , .
. . , ∇ ‖, то { } независимы. Если < , то первыеинтегралы зависимы.2.2.3Типичные первые интегралы Гамильтоновых систем.Возьмем полный дифференциал от функции Гамильтона и преобразуем его, пользуясьуравнениями Гамильтона:⎛⎞⎟ℋℋ ∑︁ ⎜⎜ ℋ ˙ + ℋ ˙ ⎟ = ℋ + {ℋ, ℋ} = ℋ=+⎝ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⎠ℋℋ− Из полученного выражения непосредственно следует, что если гамильтониан не зависитявно от времени, то сам гамильтониан является первым интегралом. Система, в которойфункция Гамильтона не зависит явно от времени, называется обобщенно консервативной.35Пусть в системе есть циклические координаты, и, например, координата 1 — циклическая, то есть эта координата не входит в лагранжиан.
При выводе уравнений Гамильтонабыло получено, чтоℋ=− ,что в частности справедливо и для циклической координаты. Производная функции Лагранжа по циклической координате равна нулю, но тогда и производная функции Гамильтонапо этой кординате равна нулю. То есть, если координата не входит в лагранжиан, то и вгамильтониан она также не входит.Пусть для некоторой системы функция Гамильтона имеет видℋ = ℋ(1 (1 , 1 ), . .
. , ( , ), ) — первые интегралы, что легко показать, воспользовавшись критерием первого интеграла для гамильтоновых систем:ℋ ℋ + {ℋ, } = {ℋ, } =−= (︂ℋ )︂−(︂ℋ )︂=0Пусть теперь гамильтониан имеет вид "матрешки":ℋ = ℋ [, 1 (1 , 1 , 2 (. . . ( , )) . . .)]Как и в предыдущем случае доказывается, что — первый интеграл. Но тогда−1 = −1 (−1 , −1 , ),⏟ ⏞то есть −1 зависит от как от константы, поэтому как и для доказывается, что −1— первый интеграл.
Теперь по индукции несложно доказать, что все функции — первыеинтегралы.2.2.4Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат.Вернемся теперь к системе с циклическими координатами. Как было выяснено, если,например, 1 — циклическая координата, то она не входит в гамильтониан, но тогда1 = , так как из уравнений Гамильтона˙1 = −ℋ=01Теперь уравнения Гамильтона примут вид36⎧ℋ [2 , . .
. , , 1 , . . . , , ]⎪⎪⎨ ˙ =⎪ℋ [2 , . . . , , 1 , . . . , , ]⎪⎩ ˙ = −Полученная система из 2−2 уравнений замкнута относительно своих переменных, то естьпорядок системы уравнений Гамильтона понизился на 2 единицы. При этом циклическаякоордината 1 находится из уравнения˙1 =2.2.5ℋ1Понижение порядка уравнений Гамильтона для обобщенноконсервативных систем. Уравнения Уиттекера.Рассмотрим теперь обобщенно консервативную систему. В ней, как было установлено,гамильтониан является первым интегралом:−−ℋ(→ ,→ ) = ℎ = Выразим из этого уравнения обобщенный импульс 1 в предположении, что гамильтонианявно зависит от 1 :−1 = −(→ , 2 , .
. . , , ℎ)Подставив этот обобщенный импульс обратно в гамильтониан, получим тождество−ℋ [→ , −, 2 , . . . , ] ≡ ℎПродифференцировав полученное тождество по переменным , , ∈ [2, ] получим(︂)︂⎧ℋ ℋ⎪⎪⎨ + − = 01(︂)︂⎪ℋ ℋ⎪⎩+−=0 1Теперь уравнения Гамильтона при ∈ [2, ] можно представить в виде⎧ℋℋ ⎪⎪== ˙1⎨ ˙ =1 ℋℋ ⎪⎪⎩ ˙ = −=−= ˙1,1 откуда37⎧⎪⎪=⎨1⎪⎪⎩ =−1— уравнения Уиттекера.Полученная система из 2 − 2 уравнений замкнута относительно своих переменных. Приэтом обобщенная координата 1 играет роль времени.Таким образом, порядок уравнений Гамильтона понижается на 2 единицы в случае обобщенно консервативной системы.Закон движения исходной гамильтоновой системы в зависимости от времени можно получить, подставив в гамильтониан в уравнении Гамильтона для первой координаты˙1 =ℋ1−решения уравненй Уиттекера и подставив 1 = −(→ , 2 , .
. . , , ℎ). Из полученного уравнения находится обобщенная координата 1 в зависимости от времени, после чего полученное выражение для 1 подставляется в решения уравнений Уиттекера и в выражениедля обобщенного импульса 1 , тем самым выражая их через время.2.3Действие по Гамильтону. Вариация действия по Гамильтону.Действием по Гамильтону называется функционалˆ2=−−̇(→ ,→ , ),1−ставящий произвольной дифференцируемой кривой (траектории) → () число .−Возьмем некоторую траекторию → () и проварьируем ее, то есть вместо исходной−траектории будем рассматривать семейство траекторий → (, ), зависящих от некоторого−−параметра . Семейство задается так, что, во-первых, → (, 0) = → (), а во-вторых, долж→−→−ны быть указаны начальная ( ( (), )) и конечная ( ( (), )) точки для каждого12члена семейства.Вычислим действие по Гамильтону для каждого члена семейства варьирующейся траекторииˆ2 ()−−̇(→ (), → (), )() =1 ()и построим вариацию действия по Гамильтону — дифференциал функционала по :38 = ′ ()Преобразуем полученное выражение, подставляя определение действия по Гамильтону: = 2 2 − 1 1 +ˆ2 ∑︁ (︂)︂ + ˙ ˙1Здесь = ′ (), = (, ), ˙ = ˙ (, )Заметим, чтоˆ2 ∑︁ (︂)︂(︂)︂)︂ˆ2 ∑︁ (︂ + ˙ = − + = ˙ ˙ ˙11⃒⃒2 ˆ22)︂)︂⃒∑︁ ⃒⃒ 2 ˆ ∑︁ (︂ ∑︁ (︂ ∑︁ ⃒= ⃒ +− = ⃒ +− ⃒ ˙ ⃒ ˙ ˙1111−−Так как → =→ (, ), то выражая в концевых точках через полный дифференциал,получим для предыдущего выражения∑︁⃒2⃒2⃒⃒(︁∑︁)︁∑︁∑︁⃒⃒ ⃒ = ⃒ − ˙ 2 − ˙ 1⃒⃒11Теперь для вариации действия окончательно получим⃒2 ˆ2)︂⃒∑︁∑︁ (︂ ⃒− = = 2 2 − 1 1 + ⃒ +⃒ ˙11⃒2)︂⃒(︁∑︁)︁ ˆ2 ∑︁ (︂ ∑︁∑︁ ⃒= 2 2 − 1 1 + ⃒ −− = ˙ 2 − ˙ 1 +⃒ ˙11⃒2)︂ˆ2 ∑︁ (︂⃒(︁∑︁)︁(︁∑︁)︁∑︁ ⃒= ⃒ − ˙ − 2 2 + ˙ − 1 1 +− =⃒ ˙11⃒2)︂ˆ2 ∑︁ (︂⃒∑︁ ⃒= ⃒ − 2 2 + 1 1 +− =⃒ ˙11⃒)︂[︁∑︁]︁ ⃒2 ˆ2 ∑︁ (︂ ⃒= − ℋ ⃒ +− ⃒ ˙11— полная вариация действия.392.4Вариационный принцип Гамильтона.Рассмотрим задачу с фиксированными концами, то есть когда начальные и конечныеточки членов семейства при варьировании одинаковы:→−− (1 , ) = →1 ,→−− (2 , ) = →2Выше, при выводе выражения для полной вариации действия, было получено, что = 2 2 − 1 1 +∑︁⃒2 ˆ2)︂⃒∑︁ (︂ ⃒− , ⃒ +⃒ ˙11но в задаче с фиксированными концами 2 = 1 = = 0, поэтому в такой задаче полнаявариация действия принимает более простой вид =ˆ2 ∑︁ (︂ − ˙)︂ 1−Если при некотором путь (траектория) → (, ) удовлетворяет уравнениям Лагранжа сзаданным лагранжианом , то такой путь называется прямым.
Остальные пути называются окольными.Если в поставленной задаче имеется более одного прямого пути, то точки пересеченияпрямых путей (в том числе и на концах) называются сопряженными кинетическимифокусами.Вариационный принцип Гамильтона: путь является прямым тогда и только тогда,когда при любом его варьировании в задаче с фиксированными концами, выполняется(0) = 0ДоказательствоНеобходимость−Пусть некоторый путь → () — прямой. Проварьируем его при фиксированных концах (те→−→−перь () = (, 0)). Прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом, поэтому(0) =ˆ2 ∑︁ (︂1 − ˙⏟ ⏞)︂⃒⃒ ⃒⃒=0=00ДостаточностьПусть при произвольном варьировании некоторой траектории40(0) =ˆ2 ∑︁ (︂ − ˙)︂1⃒⃒ ⃒⃒=0=0Так как варьирование, по условию теоремы, произвольное, то есть — произвольные инезависимые, то −= 0, ˙то есть траектория, которую мы варьировали, удовлетворяет уравнениям Лагранжа, азначит, является прямым путем.Теоерма доказана.Если на прямом пути нет кинетических фокусов, то действие по Гамильтону на прямомпути имеет минимум.
Поэтому принцип Гамильтона иногда называют принципом наименьшего действия.2.5Преобразование лагранжиана при замене координат и времени.−Рассмотрим уравнения Лагранжа в некоторой системе {→ , } −=0 ˙−−и сделаем замену переменных {→ , } → {→ ′ , ′ }:{︃→−−− =→ (→ ′ , ′ )− = (→ ′ , ′ )Запишем выражение для действия по Гамильтону в старых переменных и выразим его вновых переменных:ˆ2=ˆ2′−−̇(→ ,→ , ) =[︁]︁ ′−−−̇−−̇− (→ ′ , ′ ), → (→ ′, → , ′ ), (→ ′ , ′ )′ →′′11Здесь˙ =′′+∑︀+∑︀ ′ ′ ˙,′ ′ ˙˙′′= ′, ∑︁ ′=+˙′′′ Для образа прямого пути выполняется = 0 (где выражено в новых переменных),поэтому, в силу принципа Гамильтона, образ прямого пути есть прямой путь, то есть онудовлетворяет уравнениям Лагранжа в новых переменных с новым лагранжианом41′ = ′Значит, при любой невырожденной замене координат и времени уравнения Лагранжа сохраняют форму, то есть они ковариантны по отношению к этой замене.Отметим, что функция Лагранжа обладает калибровочной инвариантностью, аименно, если добавить к функции Лагранжа полную производную по времени от произвольной гладкой функции времени и обобщенных координат, то уравнения Лагранжа неизменятся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
