4 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238807), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Покажем от противного, что такая траектория не покинет 1 -окрестности. Пусть в13−какой-то момент времени 1 > 0 ‖→ (1 )‖ = 1 . В силу невозрастания производной функции Ляпунова по времени и учитывая, что * — точная нижняя грань функции Ляпунована сфере, имеем:−− * > (→ (0 )) ≥ (→ (1 )) ≥ * ,→−−что невозможно.
Тогда положение равновесия → = 0 устойчиво по определению.Теорема доказана.Отметим, что первое условие в теореме прямого метода Ляпунова об устойчивости−можно заменить на « (→ ) имеет минимум в положении равновесия», при этом доказательство теоремы не изменится.Общего метода нахождения функции Ляпунова не существует, но если в системе естьпервые интегралы ( ), то чаще всего ее ищут в виде линейной комбинации первых интегралов и их квадратов:− (→)=∑︁ +∑︁ 2Теорема Барбашина-Красовского об условиях асимптотической устойчивости→−−и неустойчивости: если в некоторой окрестности положения равновесия → = 0 су−ществует функция Ляпунова (→ ) такая, что˙ ={︃= 0,< 0,∑︁=1→− ∈→− ̸∈ ,где — некоторое множество, выбранное так, что единственной целой траекторией→−−исследуемой автономной системы, лежащей в , является → ≡ 0 , то→−−−а) если (→ ) имеет минимум в положении равновесия → = 0 , то это положениеравновесия асимптотически устойчиво;→−−−−б) если (→ ) знаконеопределена в окрестности → = 0 , то положение равновесия → =→−0 неустойчиво.ДоказательствоДоказательство условия а)−˙ (→ ) ≤ 0, поэтому положения равновесия устойчиво по теореме прямого метода Ляпуноваоб устойчивости.
По определению устойчивости−−−∀ > 0 ∃ > 0 : ∀→ () : ‖→ (0 )‖ < ⇒ ‖→ ()‖ < ∀ ∈ [0 , ∞)Покажем, что это положение равновесия асимптотически устойчиво, то есть, помимоустойчивости, выполняется→−−−−∃∆ < : ∀→ () : ‖→ (0 )‖ < ∆ ⇒ lim → () = 0→∞Предположим противное: положение равновесия устойчиво, но14→−−−−∀∆ < ∃→ () : ‖→ (0 )‖ < ∆ ⇒ lim → () ̸= 0→∞Рассмотрим произвольную ∆1 -окрестность (0 < ∆1 < ) и пусть для некоторой траекто−−−рии →1 () условие асимптотической устойчивости не выполняется: lim →1 () = → * .
В силу→∞−устойчивости положения равновесия, траектория →1 () ограничена. Тогда бесконечная по→−следовательность { ( )} ( ∈ N) также ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса1выделим сходящуюся подпоследовательность−−−−{→ } = {→1 ( )} : lim → = →*→∞−Функция (→1 ) не возрастает (так как у нее неположительная производная) и ограничена,поэтому, по теореме Вейерштрасса, существует предел−−lim (→ ) = (→ *) = *→∞−−−−Рассмотрим траекторию → (→ * , ) (→0 = → * ).
Производная функции Ляпунова неположительна, поэтому найдется такой момент времени , что−− [→ (→ * , )] < *−−Рассмотрим траектории → (→ , ).Напомним известную теорему о пределах: если < и lim = , то→∞∃ : < ∀ > −−−−−−В нашем случае = [→ (→ * , )], = * и lim [→ (→ , )] = [→ (→ * , )], поэтому→∞−−∃ : [→ (→ , )] < * ∀ > −−Последнее утверждение приводит к противоречию, поскольку → (→ , ) — часть траектории→−→−*1 (), для которой lim (1 ()) = .→∞В силу произвольности выбора ∆1 -окрестности, асимптотическая устойчивость положенияравновесия доказанаДоказательство условия б)−−−Рассмотрим множество = {→ | (→ ) < 0}. (→ ) знаконеопределена в окрестности→−→−положения равновесия = 0 , поэтому, очевидно, непусто.−−−Рассмотрим траекторию → (→ , ), → ∈ .
Зафиксируем произвольное > 0 и покажем,00что рассматриваемая траектория покинет -окрестность положения равновесия.−−−−−Заметим, что, так как (→ ) < 0 при → ∈ и ˙ (→ ) < 0, то траектория → (→0 , ) непересекает границу множества .Допустим теперь, что данная траектория не пересекает -окрестность положения равно→−→−−весия и остается в ∩ ( 0 ). (→ ) ограничена на замкнутом множестве ∩ ( 0 ) какнепрерывная функция, поэтому15∃ * =inf−→∈∩ ( 0 )− (→)Рассмотрим область→−−−− = ( 0 ) ∩ ∩ {→ | (→ ) < (→0 )}В этой области существует− = | sup ˙ (→ )|,∈так как — ограниченное множество, а производная ограничена в силу непрерывностина ограниченном множестве функции Ляпунова и ее производной.
̸= 0. Действительно, = 0 только в области , но не содержит целых траекторий кроме нулевой. Поэтомуначальный момент времени можно выбрать так, что ни одна точка из не будет лежатьв , так как через конечное время все траектории покинут . Так как — супремум,причем на множестве функция Ляпунова отрицательна, то−− (→ ) < (→0 ) − — неограниченная функция. Это противоречит тому, что существует инфимум функцииЛяпунова.Теорема доказана.Рассмотрим очевидные следствия из теоремы Барбашина-Красовского.Теорема прямого метода Ляпунова об асимптотической устойчиовсти: если су−ществует функция Ляпунова (→ ) такая, что1.2.→−→−−− ( 0 ) = 0 и (→ ) > 0 при → ̸= 0{︃→−−∑︁= 0, → = 0˙ =→− ,−< 0, → ̸= 0=1→−−то положение равновесия → = 0 асимптотически устойчиво.Теорема прямого метода Ляпунова о неустойчивости: если существует функция→−−−−Ляпунова (→ ) > 0 такая, что ˙ (→ ) > 0, то положение равновесия → = 0 неустойчиво.−Теорема Четаева о неустойчивости: если существует функция Ляпунова (→ ) такая, что в сколь угодно малой окрестности положения равновесия существует область→−−−− (→ ) > 0, во всех точках которой ˙ (→ ) > 0, то положение равновесия → = 0 неустойчиво.Первое из следствий является частным случаем теоремы Барбашина-Красовского, а по→−следние два можно получить заменой → − , взяв = { 0 }.161.6Устойчивость равновесия консервативных механических систем.Для консервативной системы кинетическая энергия имеет только квадратичную форму1 ∑︁− (→ )˙ ˙ , = 2 =2 ,=1а потенциальная энергия зависит только от обобщенных координат:−Π = Π(→)1.6.1Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия консервативных механических систем.
Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия.Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия консервативных механических систем: если в положении равновесия потенциальная энергия консервативной механической системы имеет строгий минимум, то это положение равновесияустойчиво.Доказательство−−Возьмем в качестве функции Ляпунова первый интеграл: (→ ) = (→ ) = +Π.
Выберем→−потенциал так, чтобы Π( 0 ) = 0. Потенциальная энергия имеет минимум в положении рав→−−новесия, поэтому (→ ) > 0 во всех точках кроме положения равновесия (( 0 ) = 0, таккак в положении равновесия обобщенные скорости равны нулю). При этом полная энер−˙ →гия — первый интеграл, тогда ( ) ≡ 0 и положение равновесия устойчиво по теоремепрямого метода Ляпунова об устойчивости.Теорема доказана.Теорему Лагранжа-Дирихле можно обобщить на случай, когда к консервативной системе добавлены гироскопические и диссипативные силы.Если выполнены условия теоремы Лагранжа-Дирихле и на систему действуют гироскопические силы, то положение равновесия остается устойчивым.Действительно, мощность гироскопических сил равна нулю, а значит закон сохраненияполной энергии не нарушается и доказательство теоремы не изменится.Напомним, что диссипативные∑︀силы с полной диссипацией — такие, у которых мощность строго отрицательна ( = * ˙ < 0).Теорема об асимптотической устойчивости строго диссипативных систем: есливыполняются условия теоремы Лагранжа-Дирихле и на систему действуют диссипа→−−тивные силы с полной диссипацией, то положение равновесия → = 0 асимптотическиустойчиво.Доказательство17Выберем, как и при доказательстве теоремы Лагранжа-Дирихле, в качестве функции Ляпунова полную энергию:−− (→ ) = (→)>0По теореме об изменении полной механической энергии−−˙ →˙ (→ ) = ()=∑︁* ˙Выберем множество так, что все обобщенные скорости в любой точке множества равны−нулю.
Очевидно, что это множество не содержит целых траекторий системы кроме → =→−0 по определению положения равновесия. Тогда положение равновесия асимптотическиустойчиво по теореме Барбашина-Красовского об условиях асимптотической устойчивостии неустойчивости.Теорема доказана.1.6.2Условия неустойчивости консервативных систем по квадратичной части потенциальной энергии.Раскладывая потенциальную энергию в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия→−→−→− = 0 и учитывая, что, во-первых, потенциал можно выбрать так, чтобы Π( 0 ) = 0, аво-вторых, в положении равновесия консервативная система имеет стационарную точку,получим⃒∑︁ Π ⃒⃒→−−Π(→ ) = Π( 0 ) +⃒ ⃒−→⃒1 ∑︁ 2 Π ⃒⃒ +⃒2 ⃒−−→→−− + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
