4 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238807), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Оба груза могут двигаться только по прямой,поэтому система имеет 2 степени свободы. Из симметрии системы легко увидеть 2 возможных движения системы:1. оба груза всегда движутся в одном направлении, при этом центральная пружина неподвижна. Тогда→−1 =(︂ )︂112. Оба груза всегда движутся в противоположных направлениях, то есть когда центральная пружина сжата, крайние расжаты, и наоборот. При этом→−2 =(︂)︂1−1Зная амплитудные векторы, собственные частоты находятся из уравнения частот. Отметим, что если известны все амплитудные векторы кроме одного, то его можно найти,пользуясь первым свойством амплитудных векторов.Общее решение находится из (1.1).1.8.3Главные (нормальные) координаты. Случай кратных корней.Выполним нормировку амплитудных векторов:−−если → → = > 0,→−−то → → √Теперь свойство -ортогональности векторов (первое свойство амплитудных векторов)можно записать в виде{︃1,→−− → = =0,Рассмотрим преобразование24= ̸= →−→− = ,−→||, = ||→1 , .

. . , −→−− → = Теперь в новом базисе с учетом ортогональности−̇ →−̇1 −̇ →1→ −̇ = → = ⏟⏞22Вековое уравнение→−−−→ − → = 0домножим слева на проивзвольный транспонированный амплитудный вектор, отличный−от → :→−→−−−− → − → → = 0 ,⏟ ⏞откуда−→− = →и−1− →1→Π= → − = 22⏟ ⏞→−(1 ,..., )С учетом видов кинетической и потенциальной энергий в новом базисе, уравнения Лагранжа примут вид¨ + = 0, = 1, . . . , ,где — главные (нормальные) координаты.Существует теорема линейной алгебры о приведении двух квадратичных форм, однаиз которых положительно определена:∃ :→−→− = : = , = (1 , . .

. , ),поэтому всегда возможен переход к нормальным координатам, в том числе в случае кратных корней.Отметим, что если есть нулевые корни, то решение уравнений Лагранжа при использованном нами линейном приближении кинетической и потенциальной энергий не всегдакорректно описывает поведение системы.251.9Вынужденные колебания линейной стационарной системы под действием гармонических сил. Частотные характеристики. Явление резонанса. Реакциялинейной стационарной системы на негармоническоевоздействие.Пусть колебательная система подвержена действию внешней силы, зависящей от времени. При этом до действия этой силы, считаем, что на систему, помимо потенциальных→−̃сил, действовали внешние силы , зависящие от обобщенных скоростей.

Тогда уравненияЛагранжа примут вид→−→−̃→−−̈−−̇→ + → = () + = () − →,→−̃−̇где = − → — строго диссипативна. Действительно,−̇−̇ = −→ → < 0,→−−поэтому положение равновесия → = 0 в системе→−−̇−−̈ + → = 0 + →→асимптотически устойчиво по обобщению теоремы Лагранжа-Дирихле на диссипативныесистемы. Здесь→−̃ ⃒ ⃒⃒=− →⃒ ⃒− −̇→−→=0— матрица диссипативных сил.Решение исходного уравнения ищут в виде→− () =→−→− 0 ()+ * ()⏟ ⏞⏟ ⏞общее решение частное решение−Общее решение однородной системы → 0 () называют переходным процессом, так как изопределения асимптотической устойчивости−→∞ →→− 0 () −−−→ 0 ,Будем далее рассматривать установившееся движение, не учитывая тем самым переходный процесс. При таком рассмотрении имеет место принцип суперпозиции: если−→−̈−̇−→ + → + → = 1 (),26→−1 () — решение,−→−̈−̇−→ + → + → = 2 (),→−2 () — решение,то для композиции этих движений−→−→−̈−̇−→ + → + → = 1 1 () + 2 2 (),−−1 →1 () + 2 →2 () — решение→−−Рассмотрим гармоническое воздействие: () = → cos .

Подставим новое выражение для силы в уравнение движения и поставим уравнению движения в соответствие егокомплексную форму:¨˙−̈−̇−−−̂−̂−̂−−→ + → + → =→ cos → → + → + → =→ = → (cos + sin )Из принципа суперпозиции непосредственно следует, что→−−̂ () = Re → ()→−̂ () ищется в виде→−→−̂ () = ℎ Теперь уравнение движения примет вид(︀ 2)︀ →−−− + + ℎ = →⏞⏟()Матрица () невырождена, так как характеристические корни всегда имеют действительную часть. Тогда→−−ℎ = −1 () →⏟ ⏞ ()→−̂− () = ()→ ˆ () =∑︁ () ,где () =(−1)+ ∆,det — амплитудно-фазовая характеристика, показывающая отклик -ой координаты привозбуждени по -ой, где ∆ — алгебраическое дополнение.Преобразуем полученное решение:27⎞⎞⎛ ⎛ˆ () =∑︁⎟⎟⎜ ⎜| ()| exp ⎝ ⎝ + arg ()⎠⎠ ,⏞⏟ ⏞⏟где и — соответственно амплитудно- и фазово-частотная характеристики.Рассмотрим систему без диссипации:−̈−−→ + → =→ cos В системе без диссипации нет переходного процесса, поэтому→−− () = → * ()Если воздействие периодическое, то удобно перейти к нормальным координатам→−→− = = = Λ = (2 )→−̈→−→− + = ()Домножим последнее уравнение на слева:→−̈→−→− + Λ = (),→−→−где () = Θ () — обобщенная сила в нормальных координатах.Если обобщенная сила периодическая и¨ + 2 = cos ,то частное решение ищется в виде =2 =cos ,− 2 sin ,2 ̸= = Второй случай соответствует явлению резонанса, когда частота внешней силы совпадает с одной из собственных частот системы.

Из вида решения видно, что в случае резонанса, амплитуда колебаний по соответствующей нормальной координате неограниченно растет, а по остальным координатам будут наблюдаться гармонические колебания на частоте28вынуждающей силы. Поэтому амплитудно-частотная характеристика при гармоническомвоздействии имеет разрывы второго рода на всех собственных частотах системы.Если система подвержена действию периодической, но не гармонической внешней силы, то нужно разложить эту силу в ряд Фурье.

Теперь внешняя сила представлена ввиде суммы гармонических колебаний. Каждая из полученных гармонических сил вызывает независимое вынужденное колебание в связи с принципом суперпозиции. Поэтомуследует для каждой гармонической силы найти решение, используя амплитудно-фазовуюхарактеристику, а затем найти искомое решение в виде суммы уже найденных.Если внешняя сила не является периодической, то вместо разложения в ряд Фурьенужно использовать интеграл Фурье.29Глава 2Уравнения Гамильтона, вариационныепринципы, интегральные инварианты.2.12.1.1Основы Гамильтоновой механики.Переменные Гамильтона.

Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Преобразование Лежандра уравнений Лагранжа в уравнения Гамильтона.→− −−Преобразование → = (→ ) называется потенциальным преобразованием или преобразованием Лежандра, если у него существует потенциал, то есть→− −−−∃ (→ ) : (→ ) = ∇ (→)−Потенциал (→ ) невырожден, если его гессиан не равен нулю:⃦ 2⃦⃦ ⃦⃦⃦ ̸= 0det ⃦ ⃦−Потенциал (→ ) сильно невырожден, если исходное преобразование гладко и взаимнооднозначно разрешимо в обратную сторону, то есть−−−−∃→ : → =→ (→)Теорема Донкина: если преобразование потенциально, то обратное преобразование также потенциально, его потенциал невырожден и задается формулой− (→)=[︁∑︁− − (→)ДоказательствоПродифференцируем написанную формулу по :30]︁−→→→ =− (−)∑︁ ∑︁ = +− Но→− −→−−= , = (→ ) = ∇ (→)⇒поэтому в продифференцированной формуле одинаковые слагаемые под знаками суммирования.

Тогда−= = (→ ),−−−то есть преобразование → =→ (→ ) потенциально.Теорема доказана.Выпишем уравнения Лагранжа для системы с потенциальными силами: −=0 ˙ Введем понятие обобщенного импульса: =−−̇(→ ,→ , ) ˙Введем функцию Гамильтона или гамильтониан:ℋ=[︁∑︁ ˙ − ]︁,−̇→→→→ =−̇ (− ,− ,)−−где {→ ,→ , } — переменные Гамильтона.Заметим аналогию между преобразованием Лежандра и обобщенным импульсом:→−̇− →→→−→− → →ℋ→Теперь очевидно: обобщенный импульс — потенциальное преобразование, где гамильтониан играет роль потенциала обратного преобразования.

Обратное преобразование суще−̇ствует, так как выражения для обобщенного импульса разрешимы относительно → в силуосновной теоремы Лагранжева формализма:⃦ 2 ⃦⃦ ⃦⃦det ⃦⃦ ˙ ˙ ⃦ ̸= 031Из выражения для гамильтониана˙ =ℋИз определения обобщенного импульса, для уравнений Лагранжа получим: −= 0 ⇔ ˙ =Возьмем производную по обобщенной координате от гамильтониана:ℋ ∑︁ ˙ ∑︁ ˙ℋ=−−=−⇒ ˙ = − ˙ ⏟ ⏞Теперь можно выписать уравнения движения в фазовых переменных:⎧ℋ⎪⎪⎨ ˙ =ℋ⎪⎪⎩ ˙ = −— канонические уравнения Гамильтона.2.1.2Функция Гамильтона для консервативной системы.Исследуем структуру гамильтониана. Для этого напомним сначала структуру лагранжиана: = 2 + 1 + 0 − ΠВоспользуемся теперь теоремой Эйлера об однородных функциях, которая гласит: если−− (→ ) = (→ ),то∑︁ − = (→)Для функции Гамильтона, учитывая определение обобщенного импульса и то, что нулеваяформа кинетической энергии и потенциальная энергия не зависят явно от обобщеннойскорости, имеем:ℋ=∑︁ ˙ − =∑︁ ˙ − =∑︁ 2∑︁ 1˙ − = ˙ ˙ ˙= (22 + 1 ) − = 22 + 1 − 2 − 1 − 0 + Π32˙ +Окончательно получимℋ = 2 − 0 + ΠДля консервативной системы = 2 , откудаℋ= +Π— физический смысл функции Гамильтона для консервативной системы.2.2Первые интегралы гамильтоновых систем.→− −−−−̇−Рассмотрим решение → (0 , →0 ) системы → = (, → ).

Функция (, → ) — первый интегралрассматриваемой системы, если−−(, → (, →0 )) = Напомним также критерий первого интеграла: ∑︁ =0+2.2.1Скобки Пуассона.Для гамильтоновых систем⎧ℋ⎪⎪⎨ ˙ =,ℋ⎪⎪⎩ ˙ = −−−у которых = (, → ,→ ), крититерий первого интеграла имеет вид ∑︁+⏟(︂ℋ ℋ − ⏞)︂= 0,{ℋ,}где {ℋ, } — скобка Пуассона.

Характеристики

Список файлов лекций