4 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238807)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Оглавление1 Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия.1.1 Определение положения равновесия. Условия равновесия голономных систем (в терминах обобщенных сил). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Условия равновесия системы с идеальными связями (принцип виртуальныхперемещений). . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Определение устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Первый метод Ляпунова исследования устойчивости. . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Общие теоремы об устойчивости линейных систем. . . . . .

. . . . . .1.4.2 Устойчивость линейных систем с постоянной матрицей. КритерийРауса-Гурвица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.3 Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. . . .1.5 Теоремы прямого метода Ляпунова для автономных систем. . . . .

. . . . .1.6 Устойчивость равновесия консервативных механических систем. . . . . . . .1.6.1 Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия консервативных механических систем. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия. . . . . . . . . . . . . .

. . . .1.6.2 Условия неустойчивости консервативных систем по квадратичной части потенциальной энергии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Понятие о бифуркации. Случаи потери устойчивости для систем с потенциалом, зависящим от параметра. Два сценария потери устойчивости: дивергенция и флаттер. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8 Малые колебания консервативных систем вблизи устойчивого положенияравновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8.1 Уравнение частот. Общее решение. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .1.8.2 Свойства амплитудных векторов. Использование симметрии системыдля нахождения мод колебаний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8.3 Главные (нормальные) координаты. Случай кратных корней. . . . . .1.9 Вынужденные колебания линейной стационарной системы под действиемгармонических сил. Частотные характеристики.

Явление резонанса. Реакция линейной стационарной системы на негармоническое воздействие. . . . .2 Уравнения Гамильтона, вариационные принципы, интегральные инварианты.2.1 Основы Гамильтоновой механики. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .2.1.1 Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Преобразование Лежандра уравнений Лагранжав уравнения Гамильтона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Функция Гамильтона для консервативной системы. . .

. . . . . . . . .133557791013171718192121222426303030322.2Первые интегралы гамильтоновых систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Скобки Пуассона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2 Теорема Якоби-Пуассона. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3 Типичные первые интегралы Гамильтоновых систем. . . . . . . . . . .2.2.4 Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.5 Понижение порядка уравнений Гамильтона для обобщенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Действие по Гамильтону. Вариация действия по Гамильтону. . . . . . . . . .2.4 Вариационный принцип Гамильтона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .2.5 Преобразование лагранжиана при замене координат и времени. . . . . . . .2.6 Основы теории групп Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.1 Понятие группы Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.2 Однопараметрические группы Ли. Теорема единственности. . .

. . . .2.6.3 Ряд Ли. Инвариант группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6.4 Дифференциальный и интегральный инварианты группы. . . . . . . .2.7 Теорема Эмми Нётер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8 Интегральные инварианты Пуанкаре-Картана и Пуанкаре. . . .

. . . . . . .2.9 Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Сохранение фазовогообъема гамильтоновой системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.10 Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. . . . . . . . . . . . . .2.11 Теорема Ли Хуа-чжуна об интегральных инвариантах первого порядка гамильтоновых систем. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .333334353 Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби.3.1 Канонические преобразования. Критерий каноничности преобразования. . .3.2 Свободные преобразования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Полусвободные преобразования.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Фазовый поток гамильтоновых систем как однопараметрическое семействоканонических преобразований. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5 Уравнение Гамильтона-Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .3.6 Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и его использование в задаче интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы. Случаиразделения переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .606062632363738404142434445464850515356646566Глава 1Равновесие, устойчивость, движениевблизи устойчивого положенияравновесия.1.1Определение положения равновесия. Условия равновесия голономных систем (в терминах обобщенных сил).Положением равновесия называется такое положение механической системы, в котором система будет находиться все время, если в начальный момент времени она находиласьв этом положении и скорости всех ее точек были равны нулю.Из определения ясно, что равновесие существенно зависит от системы координат, связанной с наблюдателем.−Рассмотрим склерономную механическую систему в обобщенных координатах: → =→−− (→ ).Критерий равновесия стационарной механической системы: некоторое положе−−ние → = → 0 стационарной механической системы является положением равновесиятогда и только тогда, когда все обобщенные силы в этом положении равны нулю:→−− (, → 0 , 0 ) = 0, = 1, .

. . , ДоказательствоНеобходимостьДля стационарной системы кинетическая энергия имеет только квадратичную форму:1 ∑︁− (→ )˙ ˙ , = 2 =2 ,=1тогда3 = ˙(︃ ∑︁)︃ ˙=∑︁=1∑︁ ¨ +˙ ˙ ,,=1=11 ∑︁ ,=˙ ˙2 ,=1 Теперь уравнения Лагранжа −= ˙ примут вид∑︁=1 ¨ + (︂∑︁,=11 ,−2 )︂−−̇˙ ˙ = (, → ,→)−− =→ 0 — положение равновесия. Тогда левая часть последнего уравненияПо условию, →обращается в ноль, и для любого выполняется→−− (, → 0, 0 ) = 0Достаточность−−Пусть нашлось такое положение → =→ 0 , что для любого выполняется→−− (, → 0, 0 ) = 0−Тогда → 0 — решение полученных выше уравнений Лагранжа, которое, в силу теоремыКоши, единственно.Теорема доказана.Отметим, что хотя рассматриваемая система склерономна, действующие на нее обобщенные силы могут зависеть от времени, причем сама система останется склерономной.Если обобщенная сила потенциальна = −−Π(, →),то⃒−Π(, → ) ⃒⃒⃒ ⃒−→→ =−0то есть система имеет стационарную точку.4= 0,1.2Условия равновесия системы с идеальными связями(принцип виртуальных перемещений).Рассмотрим голономную систему в обобщенных координатах:→−−− =→ (, →)−Критерий равновесия системы с идеальными связями: некоторое положение → =→−0 механической системы с идеальными связями является положением равновесия тогда и только тогда, когда в этом положении суммарная работа всех сил на любых виртуальных перемещениях системы равна нулю.ДоказательствоНеобходимость→− −−Рассмотрим элемент массы механической системы.

Обозначая →, , → соответственноускорение элемента массы, плотность силы и плотность реакции связей, действующих наэлемент массы, запишем общее уравнение динамики для системы с идеальными связями:ˆ (︁→− )︁ −→− − → = 0−Если система находится в равновесии, то → ≡0иˆ =→− → − = 0ДостаточностьПусть суммарна работа всех сил на любых виртуальных перемещениях системы равнанулю. Выражая виртуальное перемещение в обобщенных координатах как полный дифференциал, получимˆ =→− → − =ˆ)︂)︂(︂−−∑︁ (︂ˆ →∑︁− →→− ∑︁ → = = = 0Но по условию равенство верно на любом виртуальном перемещении, то есть — независимая и произвольная.

Тогда = 0. Отсюда и из критерия равновесия стационарноймеханической системы следует требуемое.Теорема доказана.1.3Определение устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия.Рассмотрим уравнения Лагранжа:5 −= ˙ Уравнения Лагранжа второго рода разрешимы относительно старшей производной, поэтому можно записать→−̈−−̇ = (, → ,→)−̇−Заменой → =→ получим→−̇−− = (, → ,→ ),то есть уравнения Лагранжа второго рода есть частный случай систем вида→− −→−̇ = (, → ),которые мы и будем рассматривать.

Для механической системы→− =(︂→)︂−→−̇— фазовый вектор.→− −−Вектор → будем считать положением равновесия последней системы, если (, → ) = 0.−−−Заменой → →→ −→ всегда можно переместить положение равновесия в начало коорди→−−нат, поэтому далее будем считать, что → = 0.−Решение → ( , ) последней системы называется бесконечно продолжимым вправо,00если оно существует для любого ∈ [0 , ∞).→−−Положение равновесия → = 0 называется устойчивым по Ляпунову, если−−−∀ > 0 ∃ > 0 : ∀→ () : ‖→ (0 )‖ < ⇒ ‖→ ()‖ < ∀ ∈ [0 , ∞),√︀∑︀−−2 — норма вектора →.где ‖→‖=Из определения непосредственно следует, что в достаточно малой окрестности устойчивогоположения равновесия любые решения бесконечно продолжаемы вправо.→−−Из последнего определения получим: положение равновесия → = 0 называется неустойчивым по Ляпунову, если−−−∃ > 0 : ∀ ∃→ () и ∃* : ‖→ (0 )‖ < , ‖→ (* )‖ > ,или иначе, положение равновесия называется неустойчивым по Ляпунову, если найдетсяхотя бы одно непродолжаемое бесконечно вправо решение в сколь угодно малой окрестности положения равновесия.→−−Положение равновесия → = 0 называется асимптотически устойчивым, если:1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций