4 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238807), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Учитывая, что накаждом из контуров при = 0 и = 1 задаются одни и те же точки, получимˆ1ˆ1 ′ () = (1) − (0) = 0() =0ˆ1 ∑︁02 ()2 () − ℋ2 () −ˆ1 ∑︁1 ()1 () + ℋ1 () = 000˛ ∑︁˛ ∑︁ − ℋ = − ℋ21Интегральное выражениеПК =˛ ∑︁ − ℋносит название интегрального инварианта Пуанкаре-Картана.Если контуры изохронные, то есть образованы сечениями трубки плоскостями =, то = 0 и инвариант Пуанкаре-Картана переходит в универсальный интегральный инвариант Пуанкаре:П =˛ ∑︁ ,где означает изохронный контур.Универсальность означает инвариантность для любой гамильтоновой системы (гамильтониан не входит в выражение для интеграла), то есть значение этого интегрального инварианта одинаково для любой гамильтоновой системы, если рассматривается одна и та жетрубка прямых путей.2.9Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.Сохранение фазового объема гамильтоновой системы.Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений→− −→−̇ = (→ ),общее решение которой→−−− =→ (→0 , )51Рассмотрим некоторую замкнутую область в фазовом пространстве и пусть каждаяточка области есть неоторое начальное положение исследуемой системы при = 0.
Обозначив эту область за 0 , вычислим ее фазовый объем˙10 . . . 00 =0Пусть через малый промежуток времени область 0 перешла в согласованную с 0 область . Запишем выражение для фазового объема области и перейдем к переменнымобласти 0 через якобиан преобразования:˙ =⃒˙ ⃒ →⃒ −⃒⃒⃒1 . . . =→−⃒ 0 ⃒ 10 . . . 001−Так как рассматриваемый промежуток времени мал, то разложим решение → по степеням:→− −→−− =→0 + (→0 ) + .
. .Для якобиана получаем(︃)︃⃒⃒ →→− →−⃒⃒ −()0⃒ = det + ⃒+ ...−−⃒ →0 ⃒→0Из курса линейной алгебры известно, что если → 0, тоdet( + ) = 1 + tr + . . . ,где tr — след матрицы , то есть сумма ее диагональных элементов. Теперь якобианпреобразования принимает вид⃒ →⃒−∑︁ (→⃒ −⃒→− −0 )⃒ ⃒=1++ . . . = 1 + div (→0 ) + . . .−⃒ →⃒00Подставим преобразованный якобиан в выражение для фазового объема˙ = 0 + →− −div (→0 )10 . . . 00и возьмем производную по времени при = 0:⃒⃒˙ ⃒˙==0→− −div (→0 )10 .
. . 00Автономная система не зависит явно от времени, поэтому полученное выражение справедливо при любом . Если же система не является автономной, то момент времени = 052можно заменить на произвольный момент времени 0 и провести рассуждения, аналогичные рассуждениям выше, сделав замену → − 0 .
Поэтому для произвольной системыобыкновенных дифференциальных уравнений имеем˙˙ =→− −div (→ )1 . . . Отсюда непосредственно следуетТеорема Лиувилля о сохранении фазового объема: фазовый объем автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на произвольной области ее решенийсохраняется тогда и только тогда, когда→− −div (→)=0Для гамильтоновой системы⎧ℋ⎪⎪⎨ ˙ =ℋ⎪⎪⎩ ˙ = −→− =)︂(︂→−,→−тогда, так как функция Гамильтона считается достаточно гладкой, ее смешанные производные равны и∑︁ 2 ℋ→− 2ℋ−= 0,div = откуда следует сохранение фазового объема гамильтоновой системы на области ее решенийпо только что доказанной теореме.2.10Обратные теоремы теории интегральных инвариантов.Теорема 1: пусть в произвольной системе дифференциальных уравнений{︃−−˙ = (→ ,→ , )→−→−˙ = ( , , )имеет место интегральный инвариант Пуанкаре:П =˛ ∑︁ = inv53Тогда эта система гамильтонова, то есть∃ℋ: =ℋ, = −ℋДоказательствоТак как контур есть результат переноса точек начального контура 0 под действиемисследуемой системы уравнений, то можно выразить переменные на этом контуре черезпеременные на начальном контуре и перейти от интегрирования по контуру к интегрированию по контуру 0 :П =˛ ∑︁ =˛ ∑︁−−−− (→0 , →0 , ) (→0 , →0 , )0Возьмем производную по времени от полученного выражения в начальный момент времени:˙П =˛ ∑︁˙ + ˙ =0˛ ∑︁ + 0Но( ) = + ,поэтому = − + ( ),откуда, учитывая, что интеграл по контуру от полного дифференциала равен нулю, получим˙П =˛ ∑︁ − = 00Равенство нулю следует из того, что П — инвариант.
Так как 0 — произвольный контур,то равенство нулю возможно только если подынтегральная функция — полная производная некоторой функции. Обозначим эту функцию за −ℋ. Тогда∑︁−− − = −ℋ(→ ,→ , ) = −∑︁ ℋ +ℋВ полном дифференциале не участвует производная по времени, так как рассматриваемыеконтуры изохронные, то есть на каждом выбранном контуре = . Из последнегосоотношения следует =ℋ, = −54ℋТеорема доказана.Теорема 2: пусть в произвольной системе дифференциальных уравнений{︃−−˙ = (→ ,→ , )→−→−˙ = ( , , )имеет место интегральный инвариант типа Пуанкаре-Картана:=˛ ∑︁−− − Φ(→ ,→ , ) = invТогда эта система гамильтонова, причем˙Φ = ℋ + (),где () — произвольная функция.Доказательство — интегральный инвариант типа Пуанкаре-Картана, то есть он имеет место для любыхконтуров, согласованных с начальным контуром, поэтому он имеет место и для изохронных контуров (если начальный контур изохронный). Но на изохронном контуре = 0,поэтому имеет место интегральный инвариант Пуанкаре.
Тогда по теореме 1 исследуемаясистема гамильтонова с некоторым гамильтонианом ℋ. Итого, имеем два интегральныхинварианта типа Пуанкаре-Картана с функциями Φ и ℋ. Они совпадают на изохронныхконтурах, а значит и на произвольных контурах:˛ ∑︁ =˛ ∑︁ − Φ =˛ ∑︁ − ℋОтсюда˛(Φ − ℋ) = 0В силу произвольности контура, подынтегральное выражение — полный дифференциалот некоторой функции . Тогда∑︁(Φ − ℋ) = +(︂)︂ + ,откуда следует, что частные производные функции по переменным и равны нулю,то есть = ().
Поэтому˙Φ = ℋ + ()Теорема доказана.552.11Теорема Ли Хуа-чжуна об интегральных инвариантах первого порядка гамильтоновых систем.Теорема Ли Хуа-чжуна: интеграл=˛ ∑︁−−−− (→ ,→ , ) + (→ ,→ , )является универсальным интегральным инвариантом гамильтоновых систем тогда итолько тогда, когда∃ = ̸= 0 : = ПДоказательствоНеобходимостьРассмотрим случай с одной степенью свободы:˛(, , ) + (, , )=Пусть гамильтоновой системе с гамильтонианом ℋ соответствует общее решение{︃ = (0 , 0 , ) = (0 , 0 , )Сведем интегрирование по контуру к интегрированию по начальному контуру 0 :˛=( (0 , 0 , ), (0 , 0 , ), ) (0 , 0 , ) +0+( (0 , 0 , ), (0 , 0 , ), ) (0 , 0 , )Так как интеграл — универсальный интегральный инвариант (то есть является инвариантом для любой гамильтоновой системы), то, задавая конкретные значения для гамильтониана, можно уточнить подынтегральное выражение.1.
Пусть ℋ = 0. Тогда из уравнений Гамильтона = 0 , = 0 .˛(0 , 0 , )0 + (0 , 0 , )0=0По условию теоремы — интегральный инвариант, поэтому˛˙ =0 +0 = 0,056причем внесение оператора дифференцирования под знак интеграла объясняется тем, чтосам интеграл не зависит от времени, так как — инвариант. В силу произвольности контура, подынтегральное выражение — полный дифференциал от некоторой функции , тоесть (, , ) (, , ) + = +,откуда (, , )=, (, , )=Выражая функцию через ее первообразную по (, , ) = (, , ),получаем уравнения(︂)︂−= 0,(︂)︂−= 0,то есть существуют такие функции (, ) и (, ), что справедливо представление = (, ) +, = (, ) +,которое определяет вид + = (, ) + (, ) + + = (, ) + (, ) + выражения под интегралом.
Учитывая, что интеграл по контуру от полного дифференциала равен нулю, для самого интеграла получим˛=(, ) + (, )2. Пусть ℋ = −. Тогда из уравнений Гамильтона = 0 + , = 0 . Используя выражениедля исходного интеграла, полученного в первом пункте, получим˛=(0 + , 0 )0 + (0 + , 0 )00Факт инвариантности интеграла приводит к результату⃒⃒˙⃒˛==0(0 + , 0 )(0 + , 0 )0 +0 = 000057Рассуждая аналогично первому пункту, получим(, ) = ¯() +,(, ) = ¯() +, + = ¯() + ¯() + (, ),˛¯() + ¯()=3.
Пусть ℋ = −. Тогда из уравнений Гамильтона = 0 , = 0 + . Используя выражениедля исходного интеграла, полученного во втором пункте, получим˛¯(0 + )0 + ¯(0 + )0=0Факт инвариантности интеграла приводит к результату⃒⃒˙⃒˛==0¯()¯() + = 00В силу произвольности контура, подынтегральное выражение — полный дифференциалот некоторой функции , то есть(, )¯()=,(, )¯()=,то есть для функции ¯ = (, ) = (, ) − ¯() должно выполняться ¯¯()=, ¯=0Из второго уравнения следует, что левая часть первого уравнения не зависит от .
Праваячасть первого уравнения, очевидно, не зависит от , поэтому обе части равны постоянной, откуда¯() = + 1 ,¯ = + 2Подстановка ¯() в подынтегральное выражение даетˆ¯() + ¯() = + (1 +¯())Из всех трех пунктов имеем:ˆ¯() + ¯() = + (1 +58¯()), + = ¯() + ¯() + (, ), + = (, ) + (, ) + Подставляя последовательно первое во второе и второе в третье и учитывая, что интегралпо контуру от полного дифференциала равен нулю, получим˛=Доказательство для системы с произвольным числом степеней свободы аналогичное, просто нужно рассматривать больше «пробных» гамильтонианов.Достаточность очевидна и проверяется прямой подстановкой = П в исходный интеграл.Теорема доказана.59Глава 3Канонические преобразования.Уравнение Гамильтона-Якоби.3.1Канонические преобразования. Критерий каноничности преобразования.Неособенное преобразование{︃−−−→−̃︁̃︁ (→ ,→ , ) =→−−−→−̃︁̃︁ (→ ,→ , ), =→называется каноническим, если оно переводит любую гамильтонову систему в гамильтонову.
Неособенное означает обратимое. Если преобразование обратимое, тоdet−−̃︁̃︁) ,→(↛= 0→−→−( , )−−−−̃︁̃︁ ) канониКритерий каноничности преобразования: преобразование (→ ,→ ) → (→ ,→ческое тогда и только тогда, когда−−∃ = , ̸= 0, ∃ = (→ ,→ , ) :∑︁̃︀ = ̃︀ ̃︀ − (︁∑︁)︁−− − − (→ ,→ , ),где — валентность канонического преобразования, а — производящая функция.ДоказательствоНеобходимостьРассмотрим трубки прямых путей в старых и новых переменных, соответствующие га̃︀ соответственно. Выберем произвольные контуры и ̃︀ соответственмильтонианам ℋ и ℋно в старых и новых переменных и потребуем, чтобы они были согласованными между̃︀ в один и тот же моментсобой. Введем два согласованных изохронных контура и 60времени в старых и новых переменных соответственно. В силу интегрального инварианта Пуанкаре-Картана и учитывая, что интеграл по контуру от полного дифференциаларавен нулю, имеем˛ ∑︁ − =˛ ∑︁˛ ∑︁ ,(3.1)̃︀ ̃︀ ,(3.2)̃︀ =̃︀ ̃︀ − ̃︀˛ ∑︁̃︀Перейдем в последнем интеграле к старым переменным:˛ ∑︁̃︀ ̃︀ =˛ ∑︁−−−−̃︀ (→ ,→ , ) ̃︀ (→ ,→ , ) =̃︀˛ ∑︁̃︀∑︁ ̃︀ ̃︀ +̃︀Так как полученное выражение — интегральный инвариант, то по теореме Ли Хуа-чжуна∃ = ̸= 0 :˛ ∑︁−−−−̃︀ (→ ,→ , ) ̃︀ (→ ,→ , ) = ˛ ∑︁ Выражая правую часть полученного выражения через (3.1) и подставляя результат в (3.2),где левая часть выражена в старых переменных, получим˛ ∑︁−−−−̃︀ = ̃︀ (→ ,→ , ) ̃︀ (→ ,→ , ) − ℋ˛ ∑︁ − ,откуда˛ ∑︁∑︁−−−−̃︀ − (̃︀ (→ ,→ , ) ̃︀ (→ ,→ , ) − ℋ − ) = 0В силу произвольности контура, подынтегральное выражение есть полный дифференциалнекоторой функции.
Обозначив этот дифференциал за − , получаем∑︁̃︀ = ̃︀ ̃︀ − (︁∑︁)︁−− − − (→ ,→ , )ДостаточностьВозьмем контуры так же, как и при доказательстве необходимости и проинтегрируемуравнение в условии теоремы по контуру , выразив новые переменные через старые:61˛ ∑︁ − =˛ ∑︁−−−−−−̃︀ →̃︀ (→ ,→ , ) ̃︀ (→ ,→ , ) − ( ,→ , ) ==˛ ∑︁̃︀̃︀ ̃︀ − ,̃︀где последнее равенство есть результат перехода обратно к новым переменным. Первыйинтеграл в цепочке равенств — инваариант, поэтому по второй обратной теореме теорииинтегральных инвариантов система в новых переменных — гамильтонова.Теорема доказана.∑︁̃︀ ̃︀ =∑︁)︂ ∑︁∑︁ (︂ ̃︀ ̃︀̃︀ ̃︀ = + ̃︀ +Подставим полученное выражение в критерий каноничности и приравняем коэффициентыпри , . Получившаяся система⎧ ∑︁̃︀⎪⎪= −̃︀⎪⎪⎨∑︁ ̃︀⎪⎪⎪=−̃︀⎪⎩служит для проверки каноничности преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
