4 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238807), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Из равенства коэффициентов при находим гамильтониан в новой системе переменных∑︁ ̃︀̃︀ = + −̃︀Преобразования, валентность которых равна единице ( = 1), называются унивалентными.3.2−−̃︁Преобразования, допускающие (→ ,→ )-описание (свободные преобразования).Рассмотрим неособенное преобразование{︃→−−−−̃︁̃︁ =→ (→ ,→ , )→−−−−̃︁̃︁ =→ (→ ,→ , )Если−̃︁→det ↛= 0,−62(3.3)то обобщенный импульс можно выразить через остальные переменные→−−−−̃︁ =→ (→ ,→ , )−−̃︁и выбрать вместо переменных Гамильтона новые независимые переменные {→ ,→ , }.

Такие переменные называются свободными.Исследуемые неособенные преобразования, для которых выполняется (3.3), называютсясвободными преобразованиями.Выразим обобщенный импульс в критерии каноничности через свободные переменные:(︁∑︁)︁−−̃︁̃︀ = ̃︀ ̃︀ − − − (→ ,→ , ) =(︁∑︁)︁ ∑︁ ∑︁ − −̃︀ ,= − − ̃︀∑︁где−→−−−̃︁ , ), =→ (→ ,→а−−−−−−̃︁̃︁̃︁̃︁ , ), ) (→ ,→ ,→ , ) = (→(→ ,→Приравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах, получим связь между каноническим преобразованием и производящей функцией ⎧⎪⎪⎨ ̃︀ =− ̃︀⎪⎪⎩ =и выражение для функции Гамильтона в свободных переменных:̃︀ = ℋ + ℋ3.3Полусвободные преобразования.Рассмотрим то же неособенное преобразование, что и в предыдущем пункте.Если−̃︁→det ↛= 0,−(3.4)то, как и в предыдущем пункте, можно показать, что вместо переменных Гамильтона мож−−̃︁но выбрать новые независимые переменные {→ ,→ , }, называемые полусвободными.63Исследуемые неособенные преобразования, для которых выполняется (3.4), называютсяполусвободными преобразованиями.Перейдя к полусвободным переменным, преобразуем выражение∑︁̃︀ ̃︀ = ∑︁̃︀ ̃︀ −∑︁̃︀ ̃︀Так как первое слагаемое в правой части равенства есть полный дифференциал, то егоможно «включить» в производящую функцию и обозначить новую функцию за .

Тогдакритерий каноничности примет вид−∑︁̃︀ = ̃︀ ̃︀ − ℋ(︁∑︁)︁−−̃︁ − ℋ − (→ ,→ , )Аналогично предыдущему пункту, из этого равенства можно получить связь между каноническими преобразованиями и производящей функцией ⎧⎪⎪⎨ ̃︀ = ̃︀⎪⎪⎩ =и выражение для гамильтониана в полусвободных переменных:̃︀ = ℋ + ℋ3.4Фазовый поток гамильтоновых систем как однопараметрическое семейство канонических преобразований.Фазовым потоком называется совокупность преобразований−−−−−−−−{→ 0, → 0 } → {→ (→ 0, → 0 , ), → (→ 0, → 0 , )}фазового пространства.Теорема: фазовый поток→−−−− =→ (→ 0, → 0 , ),→−−−− =→ (→ 0, → 0 , )гамильтоновой системы⎧ℋ⎪⎪,⎨ ˙ =ℋ⎪⎪⎩ ˙ = −,640 = (0 )0 = (0 )— унивалентное каноническое преобразование.Доказательство−−̇−−Пусть система определена функциями Лагранжа (→ ,→ , ) и Гамильтона ℋ(→ ,→ , ).−−Возьмем произвольное решение уравнений Гамильтона (→ ,→ ) и проварьируем его так,чтобы начальный конец был закреплен (0 () ≡ 0 = ) и чтобы−−(→ 0 (), →˙ 0 (), 0= ˙0 ()Для действия по Гамильтону имеем−−(→ 0, → 0 , ) =ˆ−−̇(→ ,→ , )0Для вариации действия, так как начальный конец закреплен, получим =∑︁ − −∑︁0 0Отсюда∑︁0 0 =∑︁−− − − (→ 0, → 0 , )и преобразование каноническое по критерию каноничности, где 0 ≡ 0, = 1, производящая функция — действие по Гамильтону.Теорема доказана.3.5Уравнение Гамильтона-ЯкобиНайдем свободное унивалентное каноническое преобразование, для которого гамильтониан в новых переменных равен нулю.

При такой постановке задачи критерий каноничностив свободных переменных имеет вид∑︁̃︀ ̃︀ =∑︁−−̃︁ − − (→ ,→ , )Связь между каноническим преобразованием и производящей функцией ⎧⎪⎪⎨ ̃︀ =− ̃︀⎪⎪⎩ =и выражение для функции Гамильтона в свободных переменных:̃︀ = ℋ + ℋ65(3.5)̃︀ = 0, а = 1,Подставляя эти уравнения в критерий каноничности и учитывая, что ℋполучим(︂)︂→−+ , →, = 0−— уравнение Гамильтона-Якоби.Так как гамильтониан в новых переменных в рассматриваемой задаче равен нулю, тообщее решение уравнений Гамильтона→−−−−̃︁̃︁ =→ (→ ,→ , ) = = →−−−−̃︁̃︁ =→ (→ ,→ , ) = = −Преобразуем систему (3.5) с учетом вышесказанного:⎧−− ,→ , )(→⎪⎪̃︀=−=−⎨ →−−⎪( , → , )⎪⎩ =(3.6)Подстановка полученного общего решения в новых переменных в систему (3.6) дает общеерешение уравнений Гамильтона в старых переменных→−→−−− =→ (→ , , ),3.6→−→−−− =→ (→ , , )Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби иего использование в задаче интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы.

Случаи разделения переменных.Будем искать производящую функцию уравнения Гамильтона-Якоби в виде полного ин−−теграла. Решение = (→ ,→ , ) — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби,если1. S удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби(︁ 2 )︁2. det ̸= 0Одинм из методов нахождения производящей функции в виде полного интеграла являетсяметод разделения переменных. Для этого полный интеграл ищут в виде−−−−− = 0 (, → ) + 1 (→1 , → ) + . .

. + (→ , →)Рассмотрим пример. Пусть66ℋ = (21 + 12 )(22 + 22 )Из системы (3.6) выразим обобщенный импульс и подставим его в уравнение ГамильтонаЯкоби:+[︃(︂1)︂2+ 12]︃ [︃(︂2)︂2]︃+ 2 = 0Будем искать в виде−−− = 0 (, → ) + 1 (1 , → ) + 2 (2 , →)Получим0+−[︃(︂11)︂2+ 12]︃ [︃(︂22)︂2]︃+ 2 = 0Во всем выражении только первый множитель второго слагаемого зависит от 1 , поэтому(︂1)︂2+ 12 = 1 = ,откудаˆ √︁1 − 12 11 =Аналогичноˆ √︁2 =2 − 22 2и0 = −1 2 ,тогдаˆ √︁ˆ √︁2 = −1 2 +1 − 1 1 +2 − 22 2Из системы (3.6)= −2 +1 =12 == −1 +267ˆˆ√︀ 12 1 − 12√︀ 22 2 − 22=1 =1√︁1 − 12=2√︁2 − 222 =→−→−−−−−Из последних четырех уравнений находятся → (→ , , ) и → (→ , , ).68.

Характеристики

Список файлов лекций