4 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238807), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Действительно, если−Φ(, →), =+′то−− ′ = + Φ(2 , →2 ) − Φ(1 , →1 ),поэтому ′ = ,то есть прямые пути систем с такими Лагранжианами совпадают. Это означает, что знаямножество путей, по которым может двигаться система, нельзя однозначно восстановитьлагранжиан.2.6Основы теории групп Ли.Произвольное множество называется группой, если1. На множестве определена операция умножения «∘», которая любым двум элементам ∈ , ∈ , взятым в определенном порядке, ставит в соответствие единственныйэлемент ∈ :∘ =2. Существует единица группы : ∘ = ∘ = ∀ ∈ 3. Для любого ∈ существует обратный элемент −1 :−1 ∘ = ∘ −1 = 4. Операция умножения на этом множестве ассоциативна: ∘ ( ∘ ) = ( ∘ ) ∘ 422.6.1Понятие группы Ли.Рассмотрим множество преобразований -мерного вещественного арифметического пространства в себя:→− − →→− ′ = (→ ,−)−Переход от одного преобразования к другому осуществляется изменением параметра → ∈R .−Выберем в качестве операции умножения, вводимой на множестве преобразований →′=→− →−− (− ,→ ), композицию двух преобразований, причем: если после преобразования → →→−→−→−→−′′′′ с некоторым фиксированным выполняется преобразование → с некоторым→−фиксированным :−→− −′ →→− ′′ = (→ , ),то, поскольку операция задана так, что она не должна выходить за пределы исходногомножества, то должно выполняться−→−→− −′ →→− →− − →→− − →→− ′′ = (→ , ) = ( (→ ,− ), ) = (→ , − ),→−− связан функционально с параметрами →−причем понятно, что параметр → и :→−→− = (→− , ),где — групповая операция.→− − →−Множество преобразований → ′ = (→ ,− ) называется группой Ли, если1.
Операция умножения есть композиция двух преобразований, причем→−→−→− →− − →→− −− ( (→ ,− ), ) = (→ , (→ , ))2. Тождественное преобразование принадлежит рассматриваемому множеству, то есть су−ществует единица группы → , размерность которой совпадает с размерностью параметра,такая, что→− →−− (− ,→)=→−−3. Для любого → существует обратный элемент → −1 :→− →− − →−− ( (→ ,− ), → −1 ) = →→− − →−4. (→ ,− ) — аналитическая функция в некоторой окрестности единицы группы → и−произвольной точки →.Понятно, что группа Ли является группой.
Действительно, она обладает первыми тремя свойствами группы, а из курса математического анализа известно, что композицияотображений ассоциативна.43−−−Группами Ли являются, например, -параметрическая группа трансляций (→′=→ +→,→−− ∈ R , → ∈ R ), преобразования Галилея и Лоренца.2.6.2Однопараметрические группы Ли. Теорема единственности.Здесь и далее будем рассматривать группы Ли с вещественным параметром ( ∈ R).
Такиегруппы Ли называют однопараметрическими. Сделаем замену переменных → = − .→− −При такой замене тождественному преобразованию соответствует = 0 ( (→ , = 0) =→− ).Разложим уравнение группы по степеням в окрестности = 0:⃒→− →⃒−→−(,)⃒→−−− ′ = (→ , ) = → +⃒⃒ + ...,=0где⃒→− − , ) ⃒⃒ (→⃒⃒−−=→ (→)=0— ядро группы.Теорема единственности: для восстановления группы достаточно знать ее ядро.ДоказательствоРассмотрим малую вариацию параметра группы, приводящую и к малой вариации точки→− , и воспользуемся сначала третьим, а затем первым свойствами группы Ли:→− −→− →− − ′ −1→− −′→−− ′ + → ′ = (→ , + ) = ( (→ , ), + ) = (→ , (−1 , + ))Разложим групповую операцию в ряд по степеням :⃒(1 , 2 ) ⃒⃒−1−1( , + ) = ( , ) +⃒⃒21=2 = + .
. .−1Первое слагаемое обращается в ноль, что непосредственно следует из третьего свойствагруппы Ли, поэтому обозначив⃒(1 , 2 ) ⃒⃒= Γ(),⃒⃒ = −1212 =→−получим, раскладывая функцию в ряд по →− −′→−−−−− ′ + → ′ = (→ , Γ() + . . .) = → ′+→ (→ ′ )Γ() + . . .44Переходя к пределу при → 0, получаем−→′ →−=− (→ ′ )Γ()→− −−Так как параметр произвольный, то группа → ′ = (→ , ) ⃒может быть получена как⃒−−решение полученной задачи Коши с начальным условием → ′⃒= → .
Единственность=0решения следует из теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши.Введем замену → , гдеˆ=Γ()0— канонический параметр. Теперь найденное дифференциальное уравнение приобретает вид−→′ →−=− (→ ′ ),→−− ′ (0) = →,правая часть которого определяется только ядром группы. Решая полученное уравнение,мы восстанавливаем группу полностью с точностью до указанной замены параметра.Теорема доказана.Доказанная теорема означает, что между однопараметрическими группами Ли и автономными дифференциальными уравнениями установлено взаимно однозначное соответствие.2.6.3Ряд Ли. Инвариант группы.−Рассмотрим некоторую скалярную функцию (→ ).
В окрестности = 0⃒⃒⃒−−−−− (→ ′ ) = (→ + → (→ ) + . . .) = (→ )+⃒ ⃒− + . . . = (→ )+=0где∑︁=— инфинитезимальный оператор.Пусть теперь группа Ли задана через канонический параметр :→−−−−′=→ + → (→ ) + ...Ей по теореме единственности эквивалентна система45∑︁+ ...,−→′ →−=− (→ ′)Для исследуемой скалярной функции имеем−−−−− (→ ′ ) = (→ + → (→ ) + . . .) ≡ ˜ (→ , )Найдем производную от этой функции по параметру:− (→ ′) ˜ ∑︁ ′ ∑︁ −=== ′ = (→ ′)′ Аналогично−2 (→ ′) 2 ˜−== 2 (→ ′) 2 2и так далее.
Используя полученные соотношения и раскладывая функцию в ряд Тейлора,получим⃒ ⃒⃒→−→−→−′( ) = ( , ) = ( ) + ⃒ ⃒⃒ ⃒⃒+⃒2! 2 ⃒2 =02= + +2+ ... = =0 2− + . . . = (→)2!Полученный ряд называется рядом Ли.−Функция (→ ) называется инвариантом группы, если она не изменяется группой:−− (→ ′ ) = (→)Подставляя определение инварианта группы в ряд Ли, получаем эквивалентное опреде−ление: (→ ) — инвариант группы, если− (→)=02.6.4Дифференциальный и интегральный инварианты группы.−−̇Выясним, как изменяется группой функция (→ ,→ , ).−Пусть в пространстве (→ , ) действует группа→−−−−′=→ + → (, → ) + ...−′ = + (, → ) + ...,46тогда−→−̇−−̇′→ ′ / + →→′ + ... →→−̇−̇−̇˙ + ...,=== −̇ = + (→ −→ )˙′′ /1 + + . . .где последнее преобразование есть применение формулы Тейлора в окрестности = 0.−Теперь видно, что можно считать, что группа действует не в пространстве (, → ), а в→−→−→−̇→−→−̇→−̇˙пространстве ( , , ) с ядрами , и = − .
Продолженная таким образомгруппа называется группой первого продолжения. Оператор этой группы)︁ ∑︁ ∑︁ (︁˙+˙ − ˙ = + ˙(1)−−̇Функция (→ ,→ , ) называется дифференциальным инвариантом группы, еслиона не меняется под действием этой группы:′−−̇−−̇ (→ ′, → , ′ ) = (→ ,→ , )−̇− , ) — инвариант группы,Используя ряд Ли, получаем эквивалентное определение: (→ ,→если(1) =0Рассмотрим функционалˆ2=−̇− , )Φ(→ ,→1−Пусть в пространстве (→ , ) действует та же группа, как и при исследовании функ→−→−̇ции ( , , ). Рассматриваемый функционал называется интегральным инвариантом группы, если он не меняется под действием этой группы:ˆ2′′ =′−−̇Φ(→ ′, → , ′ )′ = ′1Рассмотрим малое приращение параметра группы:′2 (ˆ+ )[︁]︁′−−̇Φ → ′ ( + ), → ( + ), ′ ( + ) ′ ( + ) ′ ( + ) =′1 ( + )−Разложим → ′ ( + ) и ′ ( + ) по степеням 47−→′→−− + .
. . ′ ( + ) = → ′ ( ) +′′′ ( + ) = ( ) + + . . .и выполним в полученном интеграле замену переменнных→−− ′ ( + ) → → ′ ( ),′ ( + ) → ′ ( )Переходя к группе первого продолжения и учитывая, что по теореме единственности−→′ →−=− (′ , → ′ ),′−= (′ , → ′ ),получим′ ( )ˆ2[︁(︁)︁]︁′−−−̇−̇−̇Φ → ′+→ + .
. . , → + → − ˙→ + . . . , ′ ( ) + + . . . (′ ( ) + + . . .),′ =′1 ( )где ′ = ′ ( + ). Используя ряд Ли, а затем раскладывая получившееся выражение постепеням , получаем′′ ( )ˆ2[︂ =(1)]︂′ ( )ˆ2′′Φ + Φ + . . . ( ( ) + + . . .) =′1 ( )′ ( )ˆ2[︂Φ + ′1 ( )]︂′ Φ + ′ Φ + . . .(1)′1 ( )Если рассматриваемый функционал — интегральный инвариант, то при действии на негогруппы с каноническим параметром , функционал, очевидно, не должен от него зависеть,так как исходный функционал от него не зависит. Тогда′′′ ( )ˆ2[︂′ ( + ) ( + ) − ( )= lim=→0]︂′ Φ + ′ Φ = 0,(1)′1 ( )откуда получаем, что функционал — интегральный инвариант группы, если(1) Φ+2.7Φ=0′Теорема Эмми Нётер.Теорема Эмми Нётер: если существует группа Ли48→−−−−′=→ + → (, → ) + ...→−′ = + (, ) + .
. . ,для которой действие по Гамильтонуˆ2=−−̇(→ ,→ , ),1— интегральный инвариант, то у системы есть первый интеграл∑︁−−−− (→ , ) − (→ , )ℋ(→ ,→ , ) = ДоказательствоДействие по Гамильтону — интегральный инвариант, поэтому(1) +=0′Раскрывая оператор группы, получим)︁ ∑︁ ∑︁ (︁˙ =0++˙ − ˙˙+ ˙Вспомним выражение для гамильтонианаℋ=[︁∑︁ ˙ − ]︁,−̇→→→→ =−̇ (− ,− ,)и возьмем от него полную производную по времени⎛⎞⎟ℋℋ ∑︁ ⎜⎜ ℋ ˙ + ℋ ˙ ⎟ = ℋ + {ℋ, ℋ} = ℋ ==+⎝ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⎠ℋℋ− ⎡⎤⎢∑︁ ˙ ∑︁ ˙ ⎥⎥=⎢−−=−⎣⎦ ˙ −̇→→→→⏟ ⏞ =−̇ (− ,− ,)Из уравнений Лагранжа (напомним, что канонические уравнения Гамильтона справедливы только для систем с потенциальными силами) == ˙ ˙49Теперь условие инвариантности можно записать в виде− ℋ̇ +∑︁ ˙ +∑︁˙ −∑︁˙ = − ℋ̇ +˙˙ + ∑︁ ˙ +∑︁˙˙ − ℋ,откуда)︁ (︁∑︁ − ℋ = 0,то есть∑︁ − ℋ = Теорема доказана.Группа, по отношению к которой действие по Гамильтону — интегральный инвариант,называется группой симметрии системы.Используя теорему Эмми Нётер, можно найти первые интегралы системы.
Например,→−−взяв = −1, → = 0 , можно получить закон сохранения полной механической энергииконсервативной системы.2.8Интегральные инварианты Пуанкаре-Картана и Пуанкаре.−−Рассмотрим (2 + 1)-мерное расширенное фазовое пространство (→ ,→ , ) и выберем нанем произвольный контур (замкнутую кривую)−−1 = {→1 (), →1 (), 1 ()}, ∈ [0, 1], 1 ( = 0) = 1 ( = 1)Из каждой точки кривой 1 , как из начальной, проведем соответствующий прямой путь.Он однозначно определяется из канонических уравнений Гамильтона при заданной начальной точке.
Совокупность таких путей задает трубку прямых путей. На этой трубкепроизвольно выберем второй контур−−2 = {→2 (), →2 (), 2 ()}, ∈ [0, 1], 2 ( = 0) = 2 ( = 1),охватывающий контур и имеющий с каждой образующей лишь одну общую точку. Считаем параметры , параметризующие контуры, согласованными, то есть при каждомзначении соответствующие точки контуров 1 и 2 расположены на одном и том жепрямом пути. Запишем вариацию действия по Гамильтону для этого семейства и учтем,что все пути исследуемого семейства — прямые:() =[︁∑︁⃒⃒)︂[︁∑︁]︁ ⃒2]︁ ⃒2 ˆ2 ∑︁ (︂ ⃒⃒− = − ℋ ⃒ − ℋ ⃒ +⃒⃒ ˙11150Проинтегрируем полученное выражение по в пределах от 0 до 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
