4 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238807), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

оно устойчиво по Ляпунову;6→−−−−2. ∃∆ < : ∀→ () : ‖→ (0 )‖ < ∆ ⇒ lim → () = 0→∞→−−−̇Несложно показать, что если некоторое положение равновесия → = 0 системы → =→− →− (, ) устойчиво для некоторого момента времени 0 , то оно устойчиво и для любогопоследующего момента времени 1 > 0 , принимаемого за начальный.1.4Первый метод Ляпунова исследования устойчивости.Под первым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследованияустойчивости решений систем дифференциальных уравнений, основанных непосредственно на анализе общих или частных решений этих систем, а также использующих определенные характеристики указанных решений.Заметим, что к исследованию устойчивости положения равновесия всегда можно свестиисследование устойчивости любого частного решения.→−→− −−−̇ = () — некоторое частное решение системы → ).Действительно, пусть → = (, →→−→−→−→−→−Выполним в этой системе замену переменных → : = + (). Тогда в новыхпеременных система имеет вид−−→− − →→− →→−̇ = [, → + ()] − [, ()]→−−с положением равновесия → ≡ 0→−−Решение → = () называется устойчивым по Ляпунову (асимптотически устойчивым) если устойчивым по Ляпунову (асимптотически устойчивым) будет это положение равновесия.

Если все частные решения системы устойчивы, то говорят, что сама этасистема является устойчивой.1.4.1Общие теоремы об устойчивости линейных систем.Рассмотрим линейную систему→−→−̇− = ()→ + ()Теорема об устойчивости линейной системы: линейная система (с любым свободным членом) устойчива тогда и только тогда, когда устойчиво тривиальное решениесоответствующей однородной системы.Доказательство→−−Пусть → = () — исследуемое на устойчивость решение неоднородной системы. Сведемзадачу к исследованию устойчивости положения равновесия:→−→−−−− →→ :→ =→ + ()Подстановка в систему дает7→−̇ →→−→−− + −̇ = ()[ () + → ] + ()Поскольку→−̇→−→− ≡ () () + (),−то для → получаем систему→−̇− = ()→,которая не зависит от того, какое именно частное решение рассматривается.Теоерема доказана.Теорема об устойчивости линейной однородной системы: линейная однородная система устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено.ДоказательствоНеобходимостьДопустим, что система устойчива, то есть все ее частные решения устойчивы, но у нее→−→−→−−есть неограниченное решение → = ().

Очевидно, (0 ) ̸= 0 (0 — начальный момент→−−времени), так как иначе решение → = () неустойчиво по определению в силу неограниченности, поэтому мы можем построить решение→− ()→−· , = →−‖ (0 )‖ 2→+∞−−обладающее свойством ‖→ (0 )‖ < . Но ‖→ ()‖ −−−−→ +∞, т.е. это решение неустойчивопо определению, а значит неустойчива и сама система, что противоречит условию.ДостаточностьПусть любое решение ограничено. Но тогда фундаментальная матрица решений Φ(, 0 ),столбцы которой составлены из линейно независимых частных решений, также ограничена. Если эти решения выбраны так, чтоΦ(0 , 0 ) = ,то общее решение линейной однородной системы можно записать как→−− () = Φ(, 0 )→ (0 )Тогда−−‖→ ()‖ ≤ ‖→ (0 )‖Теперь для любого > 0 будем выбирать = и все частные решения системы устойчивыпо определению, а значит устойчива и сама система.8Теорема доказана.1.4.2Устойчивость линейных систем с постоянной матрицей.

Критерий Рауса-Гурвица.Теорема об устойчивости линейной системы с постоянной матрицей: линейнаясистема с постоянной матрицей→−̇− = →асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части корнейхарактеристического уравнения системы ( − ) = 0отрицательны: < 0 ∀ ∈ [1, ]ДоказательствоИз теории линейных систем дифференциальных уравнений известно, что произвольная−компонента вектора решения → линейной системы состоит из суммы функций следующеговида: ( ), если корни = + не являюются кратными. Если же среди корнейесть кратные, то в решении появляются слагаемые вида(0 + 1 + .

. . + ) ( )Если < 0, то все такие слагаемые стремятся к нулю при → ∞, а значит решениялинейной системы ограничены. По теореме об устойчивости линейной однородной системы, исходная система устойчива, а в силу экспоненциального затухания решений — иасимптотически устойчивой.Теорема доказана.Таким образом, чтобы установить асимптотическую устойчивость линейной системы,достаточно убедиться, что все корни ее характеристического уравнения( − ) ≡ 0 + 1 + .

. . + = 0обладают отрицательными вещественными частями. Полиномы с таким свойством называют устойчивыми.Несложно показать, что устойчивый полином имеет все коэффициенты одного знака. Этоследует из разложения полинома на множители и условия отрицательности действительных частей его корней.Критерий Рауса-Гурвица: для устойчивости полинома () = 0 + 1 + .

. . + ,90 > 0необходимо и достаточно, чтобы матрица Гурвица⎛⎞1 0 0 . . . 0⎜ 3 2 1 . . . 0 ⎟⎟ =⎜⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎠0 . . . . . . . . . . была положительно определена.Критерий Льенара-Шипара: для устойчивости полинома () = 0 + 1 + . . . + необходимо и достаточно, чтобы:1. > 0 ∀ ∈ [1, ];2. все четные или все нечетные миноры матрицы Гурвица были положительными.1.4.3Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.В большинстве случаев исследование устойчивости положения равновесия нелинейныхсистем может быть сведено к исследованию устойчивости линейных систем. Случаи, когдаэто можно сделать, описывает следующая теорема Ляпунова, которая считается основнойтеоремой первого метода Ляпунова.Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению: пусть для системы→− −→−̇ = (→)− −→− →−(положение равновесия которой → ≡ 0 ) (→ ) непрерывно дифференцируема в нуле, аее вторые производные существуют и ограничены в некоторой окрестности положения−̇−равновесия.

Тогда из асимптотической устойчивости системы → = → , где→− ⃒⃒ ⃒= →⃒− ⃒−→,−→=0→−−будет следовать асимптотическая устойчивость положения равновесия → = 0 исход−̇−ной системы. Если же линейная часть → = → исходной системы неустойчива, то исама система неустойчива.Доказательство1. Лемма Гронуолла: если для положительных (), () и имеет место неравенствоˆ1() ≤ + ( )( ),010то справедлива оценка сверху:⎛ˆ() ≤ exp ⎝⎞ ( ) ⎠0Докажем записанную лемму. Из исходного неравенства получаем()+´≤1 ( )( )0Домножив полученное неравенство на () и интегрируя обе части, получимˆ0ˆ ( )( )+´≤ ( ′ )( ′ ) ′ ( ),00откуда⎡ˆˆ⎤ ( )( ) ⎦ − ln ≤ln ⎣ +0 ( )0и из исходного неравенстваˆ() ≤ +⎛ˆ ( )( ) ≤ exp ⎝0⎞ ( ) ⎠ ,0что доказывает лемму.2.

Из условия теоремы (для производных) следует, что система представима в виде→− −→−̇− = → + (→ ),→− −2−‖ (→ )‖ ≤ ‖→‖ , = Поскольку линейная часть системы асимптотически устойчива, то все корни характеристического уравненияdet ( − ) = 0удовлетворяют условию Re < 0. Обозначим2ℎ = min | Re |и выполним замену переменных→−− → −ℎ →11Система в новых переменных приобретает вид→− (︀− −ℎ )︀→−̇−− −ℎ − ℎ→ −ℎ = → −ℎ + →,Откуда→− (︀− −ℎ )︀→−̇− = ( + ℎ) → + ℎ →⏞⏟Очевдино, что линейная часть этой системы по-прежнему устойчива. Запишем эту системув эквивалентной форме→−− () = →0 +ˆ]︀→− [︀−(− ) ℎ → ( )−ℎ 0−и оценим → () по норме:−−‖→ ()‖ ≤ ‖ ‖ · ‖→0 ‖ +ˆ]︀→− [︀−‖(− ) ‖ℎ ‖ → ( )−ℎ 0Поскольку линейная часть системы устойчива, то ее фундаментальная матрица решенийограничена:‖ ‖ ≤ и написанное неравенство можно переписать в виде−−‖→ ()‖ ≤ ‖→0 ‖ + ˆ2−−ℎ ‖→ ( )‖ ≤0−≤ ‖→0 ‖ + ˆ−−ℎ ‖→ ( )‖0−−→Последний переход верен до тех пор, пока ‖( )‖ ≤ 1.Используя лемму Гронуолла, получаем⎡−‖→ ()‖ ≤ exp ⎣ ˆ⎤−−−ℎ ⎦ ‖→0 ‖ ≤ ‖→0 ‖0−Так как рассамтривается окрестность нулевого положения равновесия, то считаем ‖→0 ‖ <12−−−−.

Тогда ‖→ ( )‖ < ‖→ ( )‖ при любом и из неравенства ‖→ ()‖ ≤ ‖→0 ‖ следует устой−−чивость положения равновесия в переменной → . Переходя к переменной → , имеем12→∞−−‖→ ()‖ = ‖→ ()‖−ℎ −−−→ 0,−что и означает асимптотическую устойчивость положения равновесия в переменой →.Теорема доказана.−̇−Отметим, что если система → = → устойчива, но не асимптотически, то полученнойтеоремой пользоваться нельзя.Теорема об устойчивости по линейному приближению — основная теорема прямого методаЛяпунова.1.5Теоремы прямого метода Ляпунова для автономныхсистем.→− −−̇Будем исследовать автономные системы вида → = (→ ). Пусть некоторая функция− (→ ), называемая функцией Ляпунова, непрерывно дифференцируема в -окрестности→−−положения равновесия → = 0.Теорема прямого метода Ляпунова об устойчивости: если существует функция−Ляпунова (→ ) такая, что→−→−−− ( 0 ) = 0 и (→ ) > 0 при → ≠ 0∑︁˙ ≤ 0, ==11.2.→−−то положение равновесия → = 0 устойчиво.Доказательство−−Рассмотрим сферу ‖→ ‖ = 1 , причем 1 возьмем так, что 0 < 1 < .

Функция (→ ) непрерывно дифференцируема в -окрестности положения равновесия, а значит она непрерывнав этой окрестности, а значит, непрерывна и в 1 -окрестности положения равновесия. Сфера — компакт, поэтому по теореме Вейерштрасса () ограничена на сфере и достигаетна ней своих верхней и нижней граней. Пусть− * = min (→)−→‖ ‖=− (→ ) — непрерывна, тогда, взяв в определении непрерывности 1 = * , для положения→−−равновесия → = 0 получим→−−−−−∃( < ) : ∀→ : ‖→ ‖ < ⇒ | (→ ) − ( 0 )| = (→)<*−−Рассмотрим произвольное решение → () исходной системы с начальным условием ‖→ (0 )‖ <.

Характеристики

Список файлов лекций