4 семестр (ФРТК). Лекции по аналитической механике (1238807), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. = Π2 (→ ) + Π3 (→ ) + ...,−→=0=0то есть разложение потенциальной энергии в окрестности положения равновесия начинается как минимум с членов второго порядка.Первая теорема Ляпунова: если по членами второго порядка в разложении потенциальной энергии в окрестности положения равновесия консервативной системы установлено, что потенциальная энергия в положении равновесия не имеет минимума, тоположение равновесия неустойчиво.Доказательство следует из теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.−Если Π (→ ) = 0, то условие неустойчивости положения равновесия дает следующая2теорема.Вторая теорема Ляпунова: если из членов наинизшего порядка в разложении потенциальной энергии консервативной системы установлено, что потенциальная энергия имеет строгий максимум в положении равновесия, то это положение равновесия неустойчиво.Теорема Четаева: если потенциальная энергия консервативной системы в некоторойокрестности положения равновесия является однородной функцией обобщенных координат и в положении равновесия не имеет минимума, то это положение равновесиянеустойчиво.181.7Понятие о бифуркации.
Случаи потери устойчивости для систем с потенциалом, зависящим от параметра. Два сценария потери устойчивости: дивергенция и флаттер.Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, зависящее от параметра: ∈ R, ∈ R˙ = (, ),Для механической системы одномерность означает наличие одной степени свободы.Условие равновесия (, ) = 0определяет на плоскости (, ) семейство линий, которые образуют кривую равновесия.В общем случае эти линии могут пересекаться. Эти точки пересечения принято называтьточками бифуркации. Пересечение линий решения в точке бифуркации означает неоднозначность решения уравнения в ее окрестности, поэтому в этой точке= 0,так как иначе по теореме о неявной функции уравнение (, ) = 0 однозначно задает как функцию .Зафиксируем какое-либо значение параметра и будем увеличивать .
Если при прохождении кривой равновесия функция меняет свой знак, то само положение равновесия< 0 в этой точке), так и неустойчивым (при >0вможет быть как устойчивым (при этой точке), а в точке бифуркации характер устойчивости неопределен. Для того, чтобыпонять, какие куски кривой равновесий соответствуют устойчивым положениям равновесия, а какие — неустойчивым, можно заштриховать участки плоскости (, ), где функция положительна. Если заштрихованная область располагается над кривой, то даннаяветвь образована устойчивыми положениями равновесия.
Если заштрихованная областьрасположена ниже прилегающего участка кривой, то этот участок отвечает неустойчивым положениям равновесия. Вдоль устойчивой ветви обычно ставят знаки «+», а вдольнеустойчивой, соответственно, «−».Основные бифуркационные диаграммы в одномерном случае представлены на рисунках.Точки на первых четырех диаграммах называются бифуркациями типа смены характера устойчивости, а на последних двух — бифуркациями типа «складка».19Бифуркации типа «складка» образованы наложением двух линий кривой равновесий.Значение параметра, при котором возникает точка бифуркации, называется бифуркационным значением параметра, если в окрестности точки бифуркации наблюдаетсяразличный характер устойчивости линий кривой равновесия.Рассмотрим круглую трубку, вращающуюся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . Пусть на трубку насажен шарик, который может скользить по трубке без трения.Считая частоту вращения трубки параметром, получаем систему с одной степенью свободы.
Положение шарика определяется углом между радиус-вектором шарика (началоотсчета совпадает с центром окружности трубки) и вертикалью (в нижней точке = 0).Исследование такой системы на положения равновесия показывает, что до определенногозначения частоты имеется только одно положение равновесия = 0, и оно является устойчивым, а начиная с некоторой частоты это положение равновесия становится неустойчивым и появляются два других неустойчивых положения равновесия.
Соответствующаякривая равновесий показана на рисунке:Точка здесь называется бифуркацией типа «вилка».Если размерность больше единицы, то для нелинейных систем бывают случаи бифуркаций типа «вилка» (кривая равновесий будет иметь вид многомерной поверхности,проекция на каждую из плоскостей ( , ) будет иметь вид «вилки» из предыдущего при20мера).
При этом может оказаться так, что правее бифуркационного параметра не существует положений равновесия. Такая точка бифуркации называется дивергенцией. Еслиже они существуют, то они неустойчивы и такая точка бифуркации называется флаттером.1.8Малые колебания консервативных систем вблизи устойчивого положения равновесия.Напомним, что для консервативной системы кинетическая энергия имеет только квадратичную форму, а потенциальная энергия зависит только от обобщенных координат; приэтом, как было получено ранее, разложение потенциальной энергии в окрестности положения равновесия начинается как минимум с членов второго порядка.
Для применениялинейной теории в разложении кинетической и потенциальной энергий следует оставить→−−только члены второго порядка. Тогда в окрестности положения равновесия → = 01 −̇ →1 ∑︁→− ( 0 )˙ ˙ = → −̇ = 2 =2 ,=12⃒∑︁ 2 Π ⃒⃒1−−−−Π = Π(→ ) = Π2 (→ ) + Π3 (→ ) + ... ∼ Π2 (→)=⃒2 ⃒−→1− → = → −,2−→=0где и — соответственно матрицы кинетической и потенциальной энергий:⃒ 2 ⃒⃒ =⃒ ˙ ˙ ⃒−→⃒ 2 Π ⃒⃒ =⃒ ⃒−→,−→=01.8.1−→=0Уравнение частот. Общее решение.Уравнения Лагранжа вблизи положения равновесия консервативной системы, с учетомструктур кинетической и потенциальной энергий, имеют вид→−−̈−→ + → = 0Если система соверщает малые колебания, то и положительно определены, так как впротивном случае механическая система при отбрасывании членов выше второго порядкаможет утратить свои существенные свойства.
Решение полученных уравнений Лагранжаищется в виде→−− =→ sin( + ),−где → = (1 , . . . , ) — амплитудный вектор. Амплитудный вектор характеризуетвзаимосвязь изменений обобщенных координат при данном движении.Подставив это решение в исходное уравнение, получим21→−−( − 2 )→ = 0Так как все амплитуды искомого колебания не должны обращаться в нуль, то, сделавзамену = 2 , получим( − ) = 0— уравнение частот.Далее будем предполагать, что среди решений уравнения частот нет кратных корней, асами решения ненулевые.Утверждение: все корни {1 , . . . , } уравнения частот положительные и вещественные.ДоказательствоРассмотрим произвольное решение .
Для него выполняется→−−−→ − → = 0−−− — комплексноДопустим, что ∈ C, тогда и → ∈ C, тогда, введя обозначение → * = →−сопряженный к → и транспонированный вектор, получим→−* → − = →−* →− Но если — корень, то и комплексно сопряженный к нему (с амплитудным вектором→− * ) — тоже. Но→−→− * = →→−− *Матрицы и симметрические и вещественные, поэтому = .Утверждение доказано.1.8.2Свойства амплитудных векторов.
Использование симметриисистемы для нахождения мод колебаний.Отметим два свойства амплитудных векторов.Свойство 1:⃒⃒⃒→−→− ⃒⃒=0̸=Доказательство22−−Подставим в уравнения Лагранжа 2 амплитудных вектора → и → с соответствующимикорнями и :→−−−→ − → = 0→−−−→ − → = 0−−Домножим первое уравнение на → , а второе — на → слева и вычтем из одного другое,учитывая, что матрицы и симметрические:→−−−− → − → → = 0→−−−− → − → → = 0−−( − ) → → = 0Так как мы предполагаем, что ̸= и среди решений нет кратных корней, то→−− → = 0Свойство доказано.Свойство 2: амплитудные векторы линейно независимы.ДоказательствоЕсли амплитудные векторы линейно независимы, то их линейная комбинация обращаетсяв нулевой вектор только когда все коэффициенты равны нулю:−−→=→1 → 1 + .
. . + −0Покажем, что произвольно выбранный коэффициент равен нулю. Домножим уравнение−на → слева:−−−−−→=01 → →1 + . . . + → → + . . . + → −Из свойства 1 получаем:−− → → =0⏟ ⏞ >0Так как мы предполагаем, что среди решений нет нулевых, то из последнего уравнения = 0. В силу произвольности выбора , получаем, что амплитудные векторы линейнонезависимы по определению.Свойство доказано.23По сути мы доказали, что общее решение уравнений Лагранжа вблизи положения равновесия косервативной системы имеют вид→− () =∑︁− → sin( + )(1.1)Так как амплитудный вектор характеризует взаимосвязь изменений обобщенных координат, то для нахождения амплитудных векторов можно воспользоваться симметриейсистемы.Рассмотрим пример. Два одинаковых груза массы , связанных между собой и с неподвижными стенками пружинами жесткости каждая, совершают малые колебания погладкой горизоантальной направляющей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
