Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Поведение системы в динамике характеризуется в принципе теми же соотношениями, которые были получены в п. !4.3.! для гироскопических стабилизаторов. Из характеристического уравнения Л (АВЛа + А с(Лг + НгЛ .+ Нй) = О (16.3) получаемого из (16.1) при Мз = Мгк = О, следует единственное условие устойчивости АН(Нс( — Вй) > О, (16.4) которое соответствует ранее полученному условию (14.25/1).
Отсюда ясно, что коэффициент усиления ограничен прежде всего величинами кинетического момента и коэффициента демпфирования: й( —. На В При коэффициентах демпфирования, которые обычно имеются у интегрирующих гироскопов, ограничение (16.5) в величине й не очень стеснительно. Конечно, требуются специальные стабилизирующие элементы в цепи стабилизации, когда нужно работать с особенно большими коэффициентами усиления или когда коэффициент с( очень мал, как это имеет место в случае дважды интегрирующих гироскопов.
16.2.2. Одноосная платформа с позиционным гироскопом. Схема прибора показана на рис. 16.2. Ось внешней рамы совпадает с осью 1. Если рама гироскопа повернется вокруг этой оси на угол а относительно инерциальной системы отсчета, а платформа повернется вокруг тай же оси на угол б (тоже относительно инерциальной системы), то на выходе гироскопа будет измерена разность углов 6 в а. Эта величина поступит через усилитель на датчик моментов, установленный на оси 1, и, таким образом, к !6 Инерциальные платформы платформе окажется приложенным момент М| = — й (6 — а). кр Если обозначить через 8 момент инерции платформы, через г(г— коэффициент демпфирования, возникающего при относительном движении внешней рамы и платформы, и через Ыа — коэффициент ~ф д..
Рис. 1О.а. Однааснаа стааилиаироааинан платформа с поаиционнмм гарса~сапом. демпфирования при вращении вокруг оси внутренней рамы, то уравнения движения запишутся так: сгб + г(г (6 — а) = Мзгн + М7~ = Мз|Р— й (6 — а). Аа + Нр + с(, (а — 6) = О, (16.6) Вр — На + гтф = Мр.
Статические соотношения для случая постоянных моментов М1зР К и Ма опять могут быть получены из уравнений равновесия и'р мк (6 — о)о =,, ао= а ° Ро=О (16 7) Здесь в отличие от (16.2) действие возмущающего момента М~Р ведет к появлению взаимного поворота платформы и внешней !6д. Одноосная платформа 4зт рамы на угол (б — а)а. Момент Мя порождает, как и прежде, уход к гироскопа со скоростью аа.
Платформа следует за гироскопом с отставанием на угол (б — а) а Об устойчивости системы можно судить по характеристическому уравнению системы (16.6); имеем ВЛа+ с(,Л+ й — с1,Л вЂ” й Π— д,Л АЛЯ+ с(,Л НЛ О вЂ” НР ВЛ2+ т(аЛ или Ла(ЛЯАВВ+ Ла(АВс(, + ВАа', + 6Ю~(1)+ + Ла (АВИ + Ж14+ Ад1с(, + НаВ) + Л (АНай + Нат(1) + Нй) = О. (16.8) Отсюда следует, что незадемпфированная система (при 4=1,=О) в лучшем случае может находиться на границе области устойчивости, так как для нее коэффициенты при Л и Ла обращаются в нуль. Поэтому для повышения устойчивости нужно ввести определенное демпфирование.
На практике это достигается большей частью подвешиванием гирокамеры в масляной ванне, заполненной жидкостью соответствующей вязкости. Кроме того, представляет интерес прежде всего влияние коэффициента усиления й. Оно определяется условиями устойчивости, получаемыми из (!6.8), а в общем о нем можно судить, руководствуясь даже качественными соображениями. По условиям устойчивости определители Гурвица 0н =(АВт1, + 6Ат1, + ВВт11)(АВк+ Ж Ы, + Аа с(а+ Нгй) — АВВ (АН,(с + Н'г(,), (! 6.9) 0ш = (Аа',м + Нт1,) 0н — (АВт(, + ВАс(, + ВВЙ,) Нтс должны быть положительными.
Поскольку при й ) О и 0п' ) О неравенство 0п ) О выполняется автоматически, то из двух условий критическим является 0п' ) О. В выражении 0п отрицательный член, имеющий множитель й, уничтожается точно таким же положительным слагаемым; следовательно, 0п с возрастанием й всегда растет. В выражении 0нт первый положительный член содержит слагаемое с множителем ка, в то время как отрицательное слагаемое умножается только на й.
Отсюда можно заключить, что рассматриваемая модель, во всяком случае при Й- оо, устойчива н, следовательно, коэффициент усиления не ограничен сверху. Разумеется, необходимо позаботиться о том, чтобы устойчивость не была утеряна при определенных промежуточных значениях й. Как показал Гюбнер (108), в действительности возможно появление промежуточных областей неустойчивости, которые могут быть устранены лишь определенным выбором закона регулирования мо- 488 16. Инерцнальные платформы мента коррекции М~ .
В случае же очень большого кинетического КР момента никаких трудностей не следует ожидать. При Н -и оо уравнение (16.8) принимает вид Ле 1Ле6 + М + я) = О. (16.10) Корни этого уравнения, если исключить двухкратный нулевой корень, имеют при всех й отрицательные действительные части. Выражение, стоящее в фигурных скобках, означает, что платформа ведет себя как тело, которое колеблется около неподвижно стоящего гироскопа, будучи задемпфировано и соединено с ним упругой связью. 16.3.
Трехосные платформы В инерциальной навигации применяются исключительно трехосные платформы, в которых, помимо описанных выше эффектов, имеющих место в одноосной платформе, появляются другие — прежде всего взаимное влияние движений вокруг трех осей подвеса. Цепи стабилизации влияют друг на друга таким образом, что возмущающее воздействие на одной оси обычно передается на другие. В дальнейшем это будет объяснено на двух примерах. Рис.
!6.3. Пиат$орма в тревоснам аодвесе. Положим, что платформа, как это примерно показано на рис. 16.3, помещена в полном кардановом подвесе. Для этого потребуются по меньшей мере две рамы — внутренняя рама 1 и внешняя А. На каждой из трех осей помещен датчик моментов, так что корректирующие моменты Мк можно прикладывать относительно всех трех осей. В зависимости от типа платформы, изо- 489 16.3.
Трехосные платформы браженной на рис. !6.3 лишь в виде ящика, поведение системы будет различным. 16.3.1. Платформа с тремя интегрирующими гироскопами. Для измерениявращенийплатформы вокруг трех осей рам можно применить поворотные гироскопы, измерительные оси которых параллельны осям рам. Ядро прибора — платформу с гироскопами— можно тогда построить, например, так, как показано на рис.
16.4. Измерительная ось Х-гироскопа (У-, Х-гироскопов) имеет направление оси 1 (осей 2, 3). Положим, что соответствующие оси системы ') в нормальном положении прибора параллельны ортогональным осям 1, 2, 3. Пусть они будут также главными осями отдельных частей устройства. Трением пренебрегаем; всю конструкцию считаем абсолютно жесткой. Если еще ограничиться случаем малых отклонений от нормального положения, то известным спо- Рис. гн.е.
Ядро пватегормы с тремя интегрирующими гироскопами. собом можно получить уравнения движения в линейном приближении. При этом для моментов инерции и абсолютных углов поворотов мы будем применять обозначения, указанные в табл. а) и Ь), '1 То есть оси кардвновыв рам, гирокамер н роторов. — прим ред. !6 Инерниальные платформы 490 о) Момента~ инерции Внут!аннан рама К.гнро- снап Внашнкн рама Я-гара.
скоп Плат- форма У.гиро- скоп АА В" СА АУ В СУ А В С' Относительно оси ! Относительно оси 2 Относительно оси 3 Положим, что величины АР, ВР, СР включают в себя и моменты инерции тех частей гироскопов, которые вращаются вместе с платформой. Все гироскопы устроены одинаково, и потому можно считать, что В» = ВУ = Вз = В. Для сокращения записи введем суммарные моменты инерции А" = Ал + АУ + АР и В" = ВУ + Вн. Ь) Абсолютные углы полоротое »-гнроскоп Платформа У-гнроскоп т-гпроскоп а+6 Вокруг оси ! Вокруг оси 2 Вокруг оси 3 у+ р' А. В(6»+у)+ Н„+,(Р» О У: В(6У+у) — Н()+А6У=О, К: В(6з+й) — Н,+Ай»=О. (16.11) При этом остались неучтенными датчики моментов на выходных осях, которые всегда имеются в практически осуществленных приборах.
Отсутствуют также моменты упругих связей, так как гироскопы мы полагаем интегрирующими (1-поворотными гироскопами). Система (16.11) должна быть дополнена уравнениями движения платформы и рам. Учитывая моменты коррекции Мк и возмущающие моменты Мв, а также полагая, что трение в подвесе рам Выходные углы, определяющие поворот каждого из гироскопов относительно рамы, обозначены ~», р», 6е.
Если далее принять, что Н» = Н" = На = Н и что направления кинетических моментов роторов совпадают с положительными направлениями соответствующих осей, то при одинаковых коэффициентах демпфирования е(» = игт = с(к = с( получаем уравнения движения гироскопов 491 163 Трехосные платформы отсутствует, имеем Ала — Н(рх ! ) ((!г Мк+ Мз В'Р+ Н (6'+ у) = М,'+ Мг, С у + Н (и + а) — Ы(р + 6 ) = Ма + Ма.
(16.! 2) Моменты коррекции зависят от выходных углов соответствующих гироскопов. Если принять для простоты линейную характеристику момента двигателя стабилизации с одинаковым для всех каналов коэффициентом усиления й, то Мк! = й(!", Меи = — йр, Ма = — /гр . (16.13) вг 1 (!6.!!) 2 4 (16.12) 6 6 При другом расположении гироскопов в платформе можно получить другие схемы связей, но сами связи остаются во всех случаях. Они физически обусловлены действием гироскопических сил, а также демпфированием и действием цепей стабилизации. Полученные уравнения образуют систему девятого порядка, так как углы а, 6, у входят в них не сами, а лишь своими производными первого и второго порядка.
Для решения этой системы полезно привести ее к матричной форме Мх+ Рх+Рх=з, (16.!4) где х — вектор положения, а матрицы М, Р, В и вектор з возмущений могут быть получены из уравнений (16.11) и (!6.12) с Знаки выбраны таким образом, чтобы ликвидировались возникающие отклонения гироскопов.
Подставив выражения (16.!3) в (16.12) и присоединив уравнения (16.11), получим полную систему шести дифференциальных уравнений, из которых координаты системы 6», р», ()г, а, (1, у могут быть определены как функции времени. Уравнения могут быть разрешены только совместно, поскольку они связаны друг с другом как общей величиной кинетического момента Н, так и демпфированием и цепями стабилизации. Схема связей показана в следующей таблице: 16. Иаерциальпые платформы учетом (16.!3). Так как по этим уравнениям движения невозможно судить об общих свойствах системы, здесь будет рассмотрен лишь частный случай постоянного возмущающего момента Мв, а также будут разобраны некоторые приближенные соотношения, характеризующие поведение системы во времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
