Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Гирокомпасы в подвесе камер, векторы которых М! и М; при отсутствии треш! ния направлены перпендикулярно осям камер, так что М! = Ма)п =О. (13.46) Таким образом, из теоремы о кинетическом моменте следует Не; = а„(М + М ) + М! ~, Не) = ап(Мк — М )+ М; (13.47) получаем н)е)О ",)= — „,, (л, о е~). !!в.еа! Складывая и вычитая уравнения (13.47), находим Н(е,'+ е!)') = а„2Мк+ МУ + М)п, Н (е; — е! ) = ап2М + М7 — М~".
(13.49) Ввиду связи, сушествуюшей между обеими гирокамерами, имеют место кинематические соотношения е'+ еп = а 2 з!п б, ! 3! е' — е!' = — а 2 соз б. ! и (13.50) Подставив эти значения векторов в (13.49), получим Н (е,'+ е,") = 2Н (ам з!и б+ амб соз б) = =а„2М + МР+ М~)п, Н (е! — е,") = 2Н ( — ам соз б + амб з!и б) = =ап2М + М7' — Мь)п. (13.51) Из равенства (13.51/1) после умножения его скалярно на ап с уче- том (13.46) следует ') О = 2Н з!п б аман — — 2Мк, ') Скалярное проиввеленне Н (е +а~ ) а!! обращается в нуль, так как оно равно моменту пиен!пик По освещению к сфере снл относителвно оси !. — арпи, ред. Цель дальнейших вычислений состоит в том, чтобы получить выражения, определяющие направления единичных векторов ап, ам, ам, причем на функцию )см)(!), т. е.
на закон движения компаса по поверхности Земли, мы не будем накладывать каких-либо ограничений. Вычисления могут быть проведены следующим образом. Исключая силу Р) из (13.42) и (13.45) и учитывая (13.43), !3.4. Пространственный компас 441 и далее, поскольку Мп б Ф О, Ми=О и аб оп=О (13.52) В силу (!3.5!(2) Отсюда, умножив на аао получим и. 511 = 21 Н соз й (13.54) Используем зто соотношение для того, чтобы, исключив из (13.48) сумму е', + еп, прийти к уравнению относительно ап. С этой целью умножим (!3.54) векторно на а111 и" еНаа, а,а — — ег аагуава Отсюда с учетом (13.50) и соотношения в;;аапааа = ам будет следовать (! 3.55) Потребуем теперь, чтобы в дальнейшем выполнялось равенство Мг ~ з!и 25 (13.
56) где !" — некоторая постоянная. В пределах не слишком больших углов Ь приборная реализация этого требования возможна, например, с помощью пружин, как это изображено на рис. 13.15. Рис. 1Злб. Схема связи между гиросиоиами. Искомое дифференциальное уравнение для ан получаем, под ставляя (13.55) в (13.48) и учитывая (13.56): ( Н'-, 152м ла '1~ еНааы ~ — а15+тз~Ра +д — ( =О.
~~м/~ (13.57) — 2Н соз б а,га,1 —— 2М". (13.53) Из ап ам —— О путем дифференцирования получаем соотношение апа21+ апам = О, с помощью котоРого (!3.53) может быть пРиведено к виду йб" йиа,г — —— Н свай = — апа„. !3. Гирокомпасы Покажем, что для этого уравнения может быть найдено частное решение м ,и = — ам Ри'=сопз1, (13.58) лм 1 которое означает, что связанная со сферой ось 1 все время направ- лена по вертикали.
Подстановка (13.58) в (!3.57) дает Нк е;,еа, ~а'„( — — тИм) — татаа| е1 = О, или вследствие того, что пикапам = О, Н' е;,еа, (ам ( — — тз)г'"Н = О. (13,59) Это Равенство выполнЯетсЯ пРи любом УскоРении ф= — )г™а е, если величина Н выбрана таким образом, что Н' = (тИ~. В силу этого при настройке системы согласно (13.60) ось 1 сферы остается вертикальной при любом законе движения объекта по поверхности Земли. Направление других осей получается из (13.54) . Если рассматривать сначала случай неподвижного относительно Земли компаса, то производная аы вертикального вектора в инерциальной системе отсчета будет всегда направлена на восток.
Следовательно, в силу (!3.54) вектор ам направлен на восток, вектор ае — на север. Таким оборазом, оси пространственного компаса, установленного на неподвижном основании, определенным образом ориентированы относительно Земли: они точно указывают направления к центру Земли, на восток и на север. Когда основание прибора движется, изменяется лишь ориентация горизонтальных осей ам и ам. Они указывают направления, отклоненные на угол скоростной девиации от направлений на восток и север соответственно. Этот вывод сразу следует из (13.54), если учесть, что любое движение по земной поверхности может быть представлено как дополнительное вращение Земли.
Скорость ам направлена ввиду этого перпендикулярно к результирующей угловой скорости, горизонтальная проекция которой образует с меридианом угол, равный скоростной девиации. Этой ошибки, обусловленной самим принципом действия компаса, невозможно избежать и в пространственном компасе, но, конечно, она может быть вычислена и скомпенсирована. Пространственный компас, настроенный в соответствии с соотношением (13.60), всегда устанавливается, не совершая колебаний, в положении, однозначно определяемом направлением вертикали и мгновенным значением скоростной девиации. Чтобы выяс,нить значение условия (13.60), рассмотрим малое возмущение с(г 13.4.
Пространственный компас 443 по отношению к идеальному положению, соответствующему равенствам (13.58), положив дм — '= — ам+ т'. д~ Подставляя это выражение в (13.57) и учитывая (13.60) и соотношение зпаапага = О, получаем з,геа,г [тт(М4 + даа] = О. Это равенство выполняется, если выражение в скобках равно нулю. Отсюда получаем векторное уравнение колебаний, период которых для каждой из компонент равен Т=2п ~/Ттм(9=84,4 мин, (13.63) т. е. равен периоду Шулера.
Можно аналогично тому, как это было сделано в п. 12.3.3, показать, что при быстро вращающемся гироскопе допустимо пренебречь градиентом сил тяготения. Следует, однако, зметить, что неколебательное частное решение (13.58) существует только при следующих начальных условиях: К а,а(0)= — гСа (О), Р а„(0)= — )7а (О). (13.64) Поэтому после запуска компаса следует тщательно проследить, вполне ли затухли его собственные колебания, возбужденные разгоном роторов. Влияние возмущений на пространственный компас была исследовано многими авторами, например Бауэрсфельдом [90], Ишлинским [91], Ройтенбергом [! 1] и Христофом [92]. Глава 14 Стабилизирующие гироскопы. Сервогироскопы Гироскопы могут применяться как для угловой стабилизации, так и для гашения колебаний, а также для формирования сервомоментов в позиционных системах управления В зависимости от принципа действия мы различаем гироскопические системы, осуществляющие непосредственную стабилизацию, при которой гироскопические моменты используются для прямой компенсации возмущающих моментов, и гироскопические стабилизаторы, осушествляюшие ту же функцию посредством двигателей стабилизации.
Наконец, у сервогироскопа, выполненного, например, в виде гироскопа в кардановом подвесе, с одной из осей связан серводвигатель; действие его на гироскоп приводит к вращению рамки вокруг оси, перпендикулярной к упомянутой выше. Таким образом, с точки зрения теории регулирования сервогироскопы можно рассматривать как исполнительные звенья. Ниже мы займемся разбором некоторых примеров стабилизирующих гироскопов. 14Л. Непосредственные гироскопические стабилизаторы Как на поучительный пример не оправдавшей себя конструкции стабилизирующего гироскопа сошлемся на предложенную Хоуэллом подводную торпеду.
В этом устройстве в корпус торпеды вмонтирован гироскоп в виде большого маховика, ось которого совпадает с поперечной осью корпуса (рис. 14.1) и неподвижна относительно него. Таким образом. по отношению к корпусу торпеды ротор обладает одной степенью свободы. Кинетическая энергия ротора одновременно используется для поддержания движения расположенных в хвосте приводных винтов. При повороте торпеды вокруг продольной.или нормальной оси (креп илн рыскание) возникает весьма значительный гироскопический момент, который по замыслу должен был благоприятствовать стабилизации торпеды, а следовательно, и ее ходу.
Однако, как показывает более точная теория (см. Граммель [3)), связанный с корпусом гироскоп не способен стабилизировать саму по себе неустойчивую торпеду. 14.1. Непосредственные гироскопические стабилизаторы Правда, если торпеда обладает собственной гидродинамической устойчивостью, то гироскоп может способствовать повышению последней. К существенному недостатку конструкции следует отнести то, что из-за гироскопических моментов возникает сильная взаимосвязь движений по рысканию и по крену, и поэтому всякое движение по крену влечет за собой отклонение по курсу. В качестве примера удачной стабилизации с помощью гироскопов рассмотрим проверенную в различных вариантах лтонорельсовую дорогу.
На рис. 14.2 схематически изображена одна нз ее Рис. 14.1. торпеда Хоуалла в плане. Рис. 14.2. Маиорельсоваи дорога со стабилизирующим гвросиопом. Аф+Нр=М„ вй — нф= м,. (14.1) возможных конструкций. Ротор гироскопа 14 смонтирован в кожухе 0 (рама), который может качаться относительно вагона )р' вокруг перпендикулярной к направлению движения оси 2; в нормальном положении эта ось горизонтальна, а ось ротора вертикальна; центр тяжести ротора вместе с кожухом расположен выше оси 2. На упомянутые качания могут воздействовать демпфер 0 и двигатель М.
Обозначая наклон вагона, т. е. отклонение его нормальной оси от вертикали, через гр, а угол поворота кожуха гироскопа через й и считая эти углы малыми, мы можем записать линеаризованные уравнения движения системы в следующем виде: !4. Стабилизирующие гироскопы. Сераогироскопы Аф — вр+ Н(1= О, ВР+ г!Р— 4(! — Нф — й р = О. (14.2) Решение этой системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть найдено известными методами, нас же прежде всего интересует, при каких условиях движение системы будет устойчивым. Это можно определить по знакам коэффициентов и определителей Гурвица характеристического уравнения АЛз — с НЛ вЂ” НЛ вЂ” й ВЛ + с(Л вЂ” г/ Л4А В + ЛзАс! + Лз (Нз — дА — сВ) + Л (йН вЂ” сс() + сд = О.
(14 3) Рассмотрим сначала частный случай г( = 0 и й = 0 (демпфер и двигатель отключены). При этом (!4.3) переходит в квадратное уравнение относительно Лз, которое имеет чисто мнимые корни только в случае, когда 1) Н' — дА — сВ > О, 2) сд>0, (14.4) 3) (Нз — дА — сВ)' — 4АВсд > О. Неравенство (!4.4/3) при соблюдении (14.4/2) сильнее неравенства (14.4/!) и при достаточно большом кинетическом моменте всегда удовлетворяется. Из (14.4/2) видно, что независимо от величины кинетического момента устойчивое движение возможно только при статически неустойчивом гироскопе (с/ ) 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
