Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 72
Текст из файла (страница 72)
!ВЛЬ Траектории установления гкроаертккалн с лкнеанммн моментами коррекции, асимптотически сходятся к началу координат. При )~ = )а эти траектории превращаются в прямые, проходящие через начало координат. Если к моментам коррекции согласно четвертой строке добавляются еще моменты кулонова трения !Третья строка), то траектории сходятся не к началу координат плоскости сс-!1, а к предельным точкам 1 — 4 (рис. 12.12), образующим вершины зоны нечувствительности. Траектории на рисунке соответствуют )г = !м При наличии моментов коррекции, приведенных в пятой строке, получаются траектории установления типа показанных на 12. Позиционные гнроскооы 410 рис. 12.13. Изображаюшая точка движется здесь вдоль наклонной прямой до одной из осей координат н затем, совершая вибрационное скольжение (см. п.
!!.2.2), устремляется к началу координат. Траектории установления, о которых говорилось выше, это кривые в инерциальной системе координат. При учете врашения Земли и собственной скорости объекта получаются модификации Ркс. 12.12. Траектории установления гаро. вертикали нрн налкякк кулокова тренка. Ркс. 12.12.
Траекторян устаковлеккя гнровергккала с коррекцией релейного ткна. 12.3.2. Элементарная теория гироскопической вертикали на подвижном основании. Пусть мы имеем гироскопическую вертикаль конфигурации «123», у которой 1, 2, 3 )!" 1Р, 2Р, ЗР, центр тяжести расположен ниже точки подвеса, а моменты коррекции линейны. Пусть прибор устроен так, что сг = сз = с = птиз и !1 = (2 = !. Рассмотрим два режима полета: прямолинейный полет с ускорением (или замедлением) и вираж. При ускоренном прял1олинейнол1 полете с ускорением (т индикаторы направления всегда устанавливаются по кажущейся вертикали, и мы имеем ай = О, !8 ~й — — — Ь/йг.
(12.36) Предположим, что отклонение кажущейся вертикали от истинной достаточно мало, так что можно положить 1и ро = !зь. При наличии моментов, формируемых согласно первой и четвертой стро- этих траекторий, которые зачастую позволяют сделать непосредственное заключение о свойствах гироскопической вертикали в данных условиях (см., например, (84)). Ниже мы рассмотрим два примера таких кривых.
411 12.3. Гироскопическая вертикаль кам предыдущей таблицы, уравнения движения (12.35) принимают вид Нр+ со+ 1(!1 — (3 ) = О, — На+ с(8 — !1с) — Га =О. Вводя обозначения — =б, Н ' Н (12.38) и полагая г = се+(р, мы можем представить систему уравнений (!2.37) в виде одного уравнения в комплексной форме г+ (б+!оти) и= 1'(6+ 1ви) Д~. (12 39) Общее решение этого уравнения при произвольной функции ускорения бь(!) = — Ь(1)/д имеет вид т -( '")'[к.р.~(ае~ )(а д < '")'л1. (~таа) о Первый член в этом выражении отражает приход к положению равновесия из некоторого начального положения г(0) = Уо, второй соответствует уходу оси гироскопа, вызванному колебаниями кажущейся вертикали, Если, например, принять Яо = 0 и считать, что движение происходит с постоянным замедлением †(то — — д(1ьо, Рис. !2ЛЕ Предполагаемое отклонение кажущейен аертнкалн прн временном аамедленнл н направление полета, длящимся Т секунд (О ( 1( Т) (рис.
12.!4), та для рк(1) можно написать !)с = Рсо(1(1) — 1(1 — Т)), (12.41) где 1(1) — единичная ступенчатая функция. Решение (12.40) для 0 < Сщ. Т имеет вид = 1!! (12.42) 412 12. Позиционные гироскопы Некоторые интегральные кривые, построенные по втой формуле, представлены на рис. 12.!5. При 6 = 0 гировертикаль описывает прецессионную дугу вокруг р = бь; в другом предельном случае (бзР = 0) изображающая точка, начиная от начала координат плоскости а-б, движется прямолинейно, асимптотически приближаясь Рнс.
12лб, криаме отклоненн» тнроаертикалн нрн рааноаамедленном движении объекта. к р = (1ь. Для всех промежуточных случаев получаются спиралевидные траектории. По окончании замедления (с момента 1 = Т) гировертикаль начинает приходить к основному положению при новом начальном условии Яо = з(Т) и 6„(1) = О. В качестве второго примера полета с ускорением рассмотрим горизонтальный вираж. Теперь кажущаяся вертикаль определяется соотношением оот аь =(пас= —, Ць=О, я (12. 43) Н(1 + Низа+ с (а — аь) + (8 = О, — На+ Нрзб+ ср — )(а — аь) = О. Полагая г = а+ 1(3 и используя обозначения (12.38), приходим к уравнению в комплексной форме й+ [6+1(в+ в~)) я =(6+ 1оз") а . (12.45) где о — скорость полета и оз — угловая скорость самолета на вираже.
При правом вираже со ) О, при левом оз ( О. То же относится и к углу кажущейся вертикали аь. Обращаясь к приближенным уравнениям (10.22), справедливым в системе координат, вращающейся с угловой скоростью о, и отбрасывая в них инерционные члены, получаем для нашего случая следующие уравнения движения: 12.3, Гироскопическая вертикаль 413 Общее решение этого дифференциального уравнения г = ехр [ — 6! — !(вУ1+ ф)) Х ! Х 1 2о+ (6+ !в") ) аь(1)ехр[61+1(вУ/+ ф)] й~, (12.46) [ где 2р = )' вс(1 — угол курса, накопленный с момента начала виража. В случае установивп2егося виража с постоянными значениями в и аь равенство (12.46) принимает вид г = го[1 — ехр[ — 61 — !(в+ в') г!1, причем положение равновесия таково: 6 +в (в+в ) — 16в (12.471 62+ ( + У)2 Отсюда могут быть определены траектории установления и положение равновесия для случаев, которые могут представить интерес.
Примечателен тот факт, что смещение положения равновесия происходит и в направлении 8, хотя [!ь = О. Знаменатель выражения (12.47) показывает, что при в = — ва наступает резонанс. Он проявляется тем сильнее, чем меньше 6, т. е. чем слабее моменты коррекции. Таким образом, наибольших погрешностей на вираже у гировертикали по типу гироскопического маятника можно ожидать в том случае, когда вираж происходит против направления вращения ротора с угловой скоростью, близкой к угловой скорости прецессии в'. В предельном случае, когда моменты коррекции отсутствуют (6 = О), (12 47) переходит в в а г= ~у (! — ехр[ — 1(в+ вУ)1!). (12.48) в+в Это означает, что около положения равновесия а = ао совершается незатухающее прецессионное движение.
При вираже в на правлении вращения ротора (в ) О) будет аг ( сеь, а при вираже в противоположном направлении (в ( О) будет сео ) иь. В предельном случае астатического гироскопа (вУ = О) из (12.47) получаем (62 — 16в) а и = 6, +,, ' (1 — ехР [ — (6+ Йо)/[). (12.49) Отсюда видно, что при медленном вираже (в « 6) происходит почти апериодическое установление в кажущуюся вертикаль го = аь, а при быстром вираже или слабой коррекции (6 « ы)— движение по спиралевидной траектории к положению равновесия го — — !6яь/в = — /о6/д. Для промежуточных случаев получаются траектории установления вида, показанного на рис.
12.!6, 414 !2. Позиционные гироскопы Отличное от рассмотренного выше поведение прибора на вираже наблюдается при наличии моментов коррекции, постоянных по величине н меняющих знак в зависимости от показаний индикатора направления (коррека1ил релейного типа или типа Вапд- Рвс. 12.16.
Траектории установления гкровертв. кали ка вираже. Рвс. 12.17, Распределение квадравтов для гяровертвкаля с коррекцией релейвого тапа ка вираже. Вопи). При отсутствии моментов силы тяжести вместо уравнений движения (!2.44) получаем следующие: Н5 + Нтои + д зип 5 = О, — На+ Нгор — дзпп(а — ат) = О. Теперь плоскость а-(1 делится осью абсцисс (р = 0) и прямой, параллельной оси ординат (гд = аь), на четыре квадранта, кото- рым соответствуют точки равновесия (12. 50) ао=~ оы' ро ~ ны' (12.51) На рис.
12.17 изображены названные квадранты, пронумерованные римскими цифрами 1 — 1Ч, и соответствующие им точки равновесия 1 — 4. Интегральные кривые уравнений (12.50) даются уравнением (и — )'+ (5 — ро)2= ' и являются окружностями, описанными из точек равновесия. Путем последовательного припасовывания дуг окружностей можно легко построить траектории установления. На рис. 12.18 — 12.20 они построены для различных значений угла ас кажущейся вертикали в предположении, что в начале виража гировертикаль не имеет погрешностей, Тогда во всех случаях движение начинается уо Рн . !2.!й. Трае!ггории установления гировертикали с коррекцией релейного типа при ау > 2пур Рис.
!2,!9. Грев~!!ории установления гировертикали с коррекцией релейного типа при агг < пу. < 2ац. Рис, Г2,20. Траектории установления гировертикалн с коррекцией релейного типа прн пй < пГГ. 4!6 !2. Повипиоииые гироскопы с вибрационного скольжения вдоль оси а, служащей границей между квадрантами 11 и 111. В квадранте!11кточкеапримыкаетдуга, которая в случае, представленном на рис, !2.!8, не прерывается.
В случае, представленном на рис. !2.!9, она продолжается до точки Ь на границе между квадрантами 111 и 1Ч, после чего происходит вибрационное скольжение от точки Ь до точки с, а затем в квадранте П! описывается дуга радиусом аь — ао. В случае, представленном на рис. 12.20, смещение происходит только как вибрационное скольжение к положению кажущейся вертикали а = аы В качестве меры против виражных погрешностей рассмотренного нами вида может служить либо полное отключение коррекции гировертикали на время виража, либо отключение только по оси 1, Тогда гироскоп временно используется в качестве некорректируемого свободного гироскопа. !2.8.8. Теория невозмущаемости гироскопической вертикали при произвольном движении ее точки подвеса по земной поверхности. В элементарной теории гировертикали, которой мы занимались в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
