Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 73
Текст из файла (страница 73)
12.3.2, вращение и кривизна Земли не принимались во внимание. Оказывается, однако, что при более точных исследованиях обусловленные нми явления следует учитывать. Более того, именно Рис. 12.21. Гировервикаль со сферическим поплавковмм поквесом. эти явления позволяют осуществить весьма полезную настройку прибора, благодаря которой возмущения определенного характера не влияют на гировертикаль. Пусть нам дана гировертикаль, состоящая из симметричного ротора )ч1, заключенного в симметричный же кожух 6 (рис. 12.21). Пусть главные моменты инерции указанных тел будут А" = В", Са 417 12.3.
Гироскопическнн вертикаль и Ао = Во Со так что А = А" + Ао = ВЯ+ Во и С = С" + Со. Пусть кожух, выполненный, например, в виде сферического поплавка, имеет неподвижную относительно объекта точку О (точка подвеса), и пусть общий центр масс М расположен на оси 3 на расстоянии я от точки О. Будем полагать, что момент трения и активный момент относительно оси ротора уравновешиваются, а моментом сопротивления сферического поплавка будем пренебрегать.
Предположим, что точка подвеса О гировертикали движется произвольным образом по земной поверхности, которую мы будем принимать за сферу (радиуса )тт). Вектором рт мы будем обозначать результат сложения скорости этого движения с переносной скоростью, обусловленной вращением Земли. В системе координат, связанной с кожухом, оси 1о и 2о которой горизонтальны, а ось Зо веРтикальна, составлЯюЩие от бУДУт от =(пь от, О). Дла того чтобы ось Зо сохраняла вертикальное направление, система координат должна вращаться с угловой скоростью ') (12.52) В этой системе координат теорему о кинетическом моменте можно применить в форме — ' -1- е; О,Н, = Мь (12.53) Для вывода приближенных уравнений (см. 3 !0.2) сюда надо под- ставить (12.52) и Н) = '(А (а — — ') + Н(), А(!1+ — ') — На, Нт~. (12.54) При этом предполагается, что кардановы углы а и р малы, т. е.
что ось ротора Зо незначительно отклоняется от вертикали. Величина Н = Н, — постоянная составляюшая кинетического момента по оси ротора. Если в качестве внешних моментов в уравнении (12.53) мы примем составляющие, возникающие из-за ускорения точки подвеса, а также суммарный момент сил тяготения (см., например, (8.25), но с другим знаком я1), то получим уравнения движения в виде А 1)а — — ) + Нб + — о, = М, = — тябв — ! т яд — — (С вЂ” А)1 а, 6,1 Н . Г зп о ! А(р+ — ) — На+ — ов= М — — тяп, — )стяг — — (С вЂ” А)|р. зп (12.55) ') С киненатическоа точки врении не обввательно налагать в внрангении 1!2,52) я, о,— поим оед, 14 К. Магнус !2.
Поаициопиые гироскопы 418 Полагая (12.56) г = а + (1), (и = и, + иу й = п)лз — — (С вЂ” А), зд Р (12. 57) мы можем привести (!2.55) к одному уравнению Аг — !Нг + йг = ) (тз — — ) й — — а) = 1'(1). (12.58) А(. Н )() Правая часть этого уравнения представляет собой определяемую скоростью ш и ускорением й функцию времени, относительно которой мы в дальнейшем не будем делать никаких ограничивающих предположений. Таким образом, движение точки подвеса О по земной поверхности может быть совершенно произвольным. Прежде чем заняться исследованием общего решения уравнения (12.58), рассмотрим одно частное решение, имеющее принципиальное значение.
При жесткой связи ротора с кожухом Н = О. Гироскоп превращается в обыкновенный физический маятник. Если отстояние з его центра тяжести выбрать так, чтобы соблюдалось равенство (12.59) з = А!(пуй), Т=2п ~г й — — 2п У вЂ” )гУ 4А — зс (! 2.60) Для стержнеобразного маятника (С = 0) он равен 42,2 мин; для маятника со сферическим эллипсоидом инерции получается период ') Для невоамущаемости фианческого маятника, кроме выполнения условия П2,59), необкоднмо еще, чтобы вертикальная составляющая угловой скорости маятника полдерживалась равной нулю (см.
Ншлинский А. Ю., Прикл мигел и а~ел., 20 П950), вып. 3, 29) — 500). Это второе условие не вытекает иа уравнений движения П2.55) по той причине, что прн их составлении с самого начала предполагалось, что гм 0 (см, П2.52)) — прим лед. то правая часть (12.58) обратится в нуль. Но тогда г =— 0 является частным решением. Это показывает, что независимо от характера движения точки подвеса рассматриваемого физического маятника по земной поверхности его ось Зп постоянно сохраняет вертикальное направление, если она была вертикальна в начале движения'). Таким образом, перед нами идеальный индикатор вертикали, показания которого не содержат погрешностей также и на подвижном основании. На эту возможность впервые указал Шулер [60].
Однако реализация такого указателя вертикали наталкивается на невозможность практического осуществления условия настройки (12.59): для выполнения этого условия требуется, чтобы приведенная длина физического маятника была равна радиусу Земли )с. Период колебаний настроенного таким образом физического маятника равен 419 !2,3.
Гироскопическая вертикаль Шулера Т = 84,4 мин; в случае 4А = ЗС мы имеем Т- оо. У сильно сплюснутого маятника (ЗС ) 4А) положение равновесия г = О становится неустойчивым. Если в (12.55) пренебречь составляющей градиента сил тяготения, то получится качественно ошибочный результат, потому что при этом период оказывается равным 84,4 мни при любой форме маятника. Общее решение уравнения (12,58) можно построить известными методами по частным решениям однородного уравнения.
Прежде всего отметим, что однородное уравнение дает обе собственные ча- стоты (12.61) 14* ] л(( /( лж] Соответствующие частные решения а,=оскс" ' и ая=Есес~ ' (1 2.62) образуют фундаментальную систему, из которой общее решение уравнения (12.58) для 1(1) ~ О находится следующим образом: или после подстановки (!2.62) с г=еса ' Л, + ' Гс](1)е '" с сЫ + А(ал — оР) С о с .>." [г,с- „', ]ссо -" л~. ио.сс) А (оР— а~) Подставив в полученные интегралы функцию 1(1) согласно правой части (12.58) и проинтегрировав по частям, найдем члены, зависящие от скорости и; с псе '"" Ю = — „(ве-сас — ио] — [ псе-са' Щ.
(12.64) о о Подставив это выражение в (12.63), придем к общему решению в следующем виде: а=[2сес" '+ Ясес"' с]+ + Алвеса" свис с + ' [тз — — + — 1 [ ше '""' стс1+ А(всс — вс ) 1 л С1оР! о св'с с +,. „! тз — — + — 1 [псе-са~сс11, (12.65) А(а~ — оР) [ сг С!а~) 420 12. Позиционные гироскопы где Н в ° =. ги)гЯ ' (12.67) Нгие Нв, г,=~,+ „„,, г,=г,— Адв (в — в ) ' АВо (в — в Члены в первой квадратной скобке выражения (12.65) соответ- ствуют собственным нутационным и прецессионным колебаниям; следующий член представляет зависящую от скорости гв погреш- ность показаний гироскопической вертикали, содержащую как де- виацию ог вращения Земли, так и скоростную девиацию, которая является следствием собственного движения объекта.
Не состав- ляет труда вычислить каждую из этих составляющих в отдельности по известным угловой скорости Земли, географической широте, курсу и скорости объекта. Два последних члена правой части (12.65) зависят от ускоре- ния гв; они содержат множители, которые в предположении, что условие настройки (12.59) соблюдается, могут быть одновременно обращены в нуль лишь при Н = О. Это показывает, что настройка параметров прибора, полностью исключающая влияние ускорения объекта, существует только для рассмотренного выше частного случая физического маятника. Следовательно, такая настройка гироскопической вертикали маятникового типа, которая бы пол- ностью исключала влияние ускорений, невозможна. В зависимости от спектра частот ожидаемого ускорения гв не- обходимо определить, какой из двух возмущающих членов может быть обезврежен путем соответствующей настройки параметров.
Если ожидаются долговременные ускорения, например при манев- рировании корабля, то безусловно ше '"'~'Ф >> ) Фе-'"~' Ш, тогда как в случае высокочастотных горизонтальных вибраций точки подвеса соотношение обеих составляющих может оказаться обратным. Следовательно, в первом случае гироскопическую вер- тикаль надо настраивать так, чтобы тз — — + — и — — О. А Н (12.66) Я Яв~ Сюда нужно подставлять приближенное значение вп, пригодное при большом кинетическом моменте. Из (12.61) в данном случае получаем вн — — ЦН.
Подставляя это значение в (12.66) и учи- тывая (12.57), получаем квадратное уравнение для определения з ззтзЯзд — вт Рд (ЗС вЂ” 2А) — 1Н'К вЂ” 3дА (С вЂ” А)] = О. При большом кинетическом моменте безусловно Ней»ЗИА(С вЂ” А). Сообразуясь с этим и пренебрегая средним членом, находим при- ближенное решение 12 3 Гироскопическая вертикаль 421 При подстановке (12.67) в уравнение видим, что отброшенный член действительно оказывается малым по сравнению с НЮ. Значение з по формуле (12.67) получается больше, чем его величина (12.59), относящаяся к физическому маятнику, так как во всяком случае Н >) А)тд/Р. Позтому в соответствии с (12.57) для те можно принять следующее приближенное выражение: й=тдз Н)т —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
