Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 75
Текст из файла (страница 75)
9.2.2. Прн нежесткой связи с вертикалью в поведении гирокомпаса имеются качественные отличия. Покажем это на гирокомпасе, изображенном на рис. 13.5. Ограничимся с самого начала малыми отклонениями от положения равновесия (а,5 « 1). Тогда, приняв во внимание, что (й! —— (сов з!и р, О, соасозф), Нд — — [А(а+ сов з(пф) + Н5, В5 — На, Н1 получим из равенства Н,+и, ЯНд=М уравнения движения Аа + (Н вЂ” Всов соз ф) 5 + Нсов соз ф а = Мп (13.7) В5 — (Н вЂ” Асов сов ф) (а+ сова(пф) + Нсов сов ф6 = Мь В этих уравнениях можно сначала без всякого сомнения пренебречь членами Агоксозф и В!овсов ф, так как они на много порядков меньше, чем Н. Далее можно сделать приближения, которые допустимы прн достаточно больших значениях кинетического момента и после которых нутационное и прецессионное движение могут быть рассчитаны раздельно.
Для расчета интересующего нас в первую очередь прецессионного движения можно опустить инерционные члены Аа и В6. Наконец, нужно указать значения моментов М! и Мь Большей частью можно положить, что (13.8) М,= — ф, !3. Гирокомпасы 42В Составляющая Ма обусловлена смещением центра тяжести, а М5 в данном виде служит демпфирующим моментом коррекции. Практически он реализуется самыми различными способами. Обозначив сокращенно (13.9) //Н = Ь, с/Н = можно, основываясь на уравнениях (13.7), написать ве созфа+ !)+ 6)5 = О, — а+(в'+ ввсоз р) (3=ввз!пф. (13.10) Решение этой системы дифференциальных уравнений определяет колебания около положения равновесия, в котором углы а и имеют значения ао= и, Ро= с 05кф в 5!0 сР (!3.1!) В + В С05 ф В + В С05 ф Из (13.10) следует, что характеристическое уравнение имеет вид /55+ /сб+ весов р(в'+ ввсозср) =О, а его решение таково; Х= — —.ь ! )/Яасозф(ва созф+в) — бо/4= — — -~- !Я».
(13.12) 2 2 (13.13) Для истолкования этого результата рассмотрим сначала случай, когда демпфирование отсутствует (б = 0), и примем во внимание, что у применяемых в практике приборов всегда и/Н = в' ~ оР. Тогда получаем приближенно Е ао=О Ров с 3!Пф Т» — — —, ю, (13.14) В В С05ф в» = )/в'ввсозф, а.",, // //вв ф а в Это незатухающие колебания с периодом Т» около положения равновесия, смещенного вдоль оси !1. Так как отношение (!"/а" — мнимая величина, то колебания вокруг осей рам сдвинуты по фазе Для отношения в общем случае комплексных амплитуд и" н р' колебаний вокруг осей обеих рам получаем из (13.10/1) равенство [алвв соз ф + !3-4 (/с + б) ) еы = О, откуда В С05ф а" 0/2 В рв» 13.2. Гироскопический компас на неподвижном основании 429 Рис.
1З.а. Эллипсы, описываемые незадемпфировакиыи гирокомпасом. Рис. 1а.к Кривая, описываемая задемпфированным гирокомпасом. на 90'. В плоскости а-13 фазовые траектории имеют форму вытянутых эллипсов. На рис. 13.6 показаны эти эллипсы для осуществленного практически прибора, причем масштаб по 6 увеличен в 10 раз.
Гироскоп кореблется при этом около направления на север (а = О), но ось ротора отклонена от плоскости горизонта на некоторый угол бо (угол возвышения). В северном полушарии (з1п Чз ) О) конец оси, указывающий на север, несколько приподнят над горизонтом. При наличии демпфирования (6 ~ О) кривые превращаются в спирали (рис. 13.7), сходящиеся к точке (сха, ба). Следовательно, принятый здесь способ демпфирования порождает некоторую, в общем незначительную ошибку в определении направления на север, которая может быть вычислена по формуле (13.! 1). Если учесть, что пас = с(Н, то будет ясно, что период колебаний Тк отличается от значения (13.6) прежде всего различным влиянием, оказываемым на его величину кинетическим моментом Н. Чтобы лучше выяснить это различие, рассмотрим вопрос в приближенной постановке, позволяющей осуществить для деклинационного гироскопа предельный переход при с-+ оо.
Когда связь внутренней рамы с вертикалью является сильной (большое с) и одновременно кинетический момент достаточно велик, уравнение движения (13.7/2) можно, принимая во внимание (13.8), преобразовать в уравнение прецессионного движения — На м — ср. !3.
Гирокомпасы 430 Исключая с помощью этого уравнения переменную р из уравнения (13.7/1) и учитывая (!3.8), получаем [А + — ) а + — а + Н сов соз ф а = О. (13.15) Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний, период которых выражается приближенной формулой =2 ~/ Нм сои ф (13.16) 13.3.
Гироскопический компас иа движущемся объекте Гирокомпас, установленный на движущемся объекте, указывает направление на север, вообще говоря, неправильно. Из погрешностей, носящих принципиальный характер, рассмотрим скоростную погрешность (с»оростную девиацию), погрешность, обусловленную ус»орениел объекта (баллистичес»ую девиацию), а также погрешность на качке. Для того чтобы выяснить здесь основные закономерности, достаточно исследовать недемпфированный компас. Подробные расчеты для различных конструкций можно найти в многочисленных публикациях, например в книгах Булгакова [2] и Мурре [86). 13.3.1.
Скоростная девиация. Вследствие вращения Земли точки земной поверхности приобретают скорость, направленную на восток и равную ,в=(О, „»Рсозф, О), (13.17) Сложив векторно эту скорость с собственной скоростью нг объекта (корабля), получим его суммарную скорость о~ (рис. 13.8). Скорость о; можно рассматривать как результат вращения земного шара вокруг оси, образующей угол — фе с осью юг — север. Так как при движении по сфере радиуса Р вектор кн всегда образует прямой угол с оь угол ф» можно определить из соотношения „и г н +н н и!иф+со Ясозф' Отсюда при с-оно получаем выражение (13.6). И напротив, при слабой связи внутренней рамки с внешней получаем для периода Т» ту же величину, что дает формула (13.14), так как при предполагаемом большом кинетическом моменте можно принять, что Ни/с )) А.
Выражение Ни/с называют эффективным моментом инерции гироскопического компаса. 13.3. Гироскопический компас иа движуптемся объекте 431 где о~=огсозф — северная составляющая, а оо = от з)п ф — восточная составляющая собственной скорости объекта. Компас не может различить, происходит ли изменение положения объекта из-за вращения Земли или из-за его собственного движения по ней, и всегда стремится установиться по направлению вектора ем результирующей угловой скорости.
Вследствие этого показания компаса содержат погрешность т)тк, которая определяется Юосотгтт Эсчт ог и Юг Рис. !г.а. К расчету скоростиоа девиации. формулой (13.18) и называется скоростной. Эта погрешность обращается в нуль при движении в направлении восток — запад (ф = = -+и/2). Так как она однозначно зависит от скорости от объекта, курса тр и географической широты ф, ее можно вычислить и скомпенсировать. У некоторых компасов такая компенсация производится автоматически. Ввиду того что скорость пта/с =!660 км/ч намного больше возможной скорости от корабля, скоростная девиация компаса в умеренных географических широтах обычно не превышает Г. Вблизи полюса она может значительно возрасти.
На самолетах эта девиация принимает столь большие значения, что гироскопический компас не нашел здесь применения. 13.3.2. Баллистическая девиация. Для того чтобы выяснить влияние ускорения объекта, рассмотрим вопрос в приближенной постановке, основанной на упрощенных уравнениях движения, отнесенных к системе отсчета 1, 2, 3 (вертикаль, восток, север), движущейся вместе с объектом (рис. 13.9). Если компоненты скорости 13.
Гирокомпасы 432 оо и он считать возникшими вследствие дополнительных угловых скоростей Земли НсозЕ тЧсоз~р ' о о сезар Оза ту тт (13.19) то система отсчета будет вращаться с угловой скоростью Пренебрегая нутационными колебаниями, можно представить ки- сееее Рис. 13.9. Зависимость между составляющими скоа1тости оа и о~ и дополнительными утло. выми сиоростлми и О и м~н. иетический момент в виде Н; =(Нб, — На, Н). Получаем приближенные уравнения движения Нй + На,а + На, = М ь — На+ Нй~й — Нй, = М,.
(13. 21) Вследствие того что центр тяжести смещен относительно центра подвеса вниз на величину 5„ имеем й т' 0~'1 Мз = — Озр — — Зйм = — с ~й+ — ), и Ы :1 (ыв 1 оРо) 51п<р (13.20) (оз +со )созф 13.3. Гироскопический компас иа движущемся объекте 433 где с = ста — коэффициент связи 1>, а Ь" — северная составляющая ускорения объекта. Для недемпфированного компаса М1 = О. Те- перь можно, учитывая (13.9), привести уравнения (13.21) к виду р + аав« = аав ю Ь~ — й + (оул + (3~) )3 = ()~в 3 (13.
22) Из первого уравнения (13.22), положив в нем 8 = О, еще раз полу- чаем скоростную девиацию (13.!8): зза О С05 тй т и иΠ— — и — 1аф = — ф', ааз ВО с05 ф+ О 51п тй которая ранее была получена из кинематических соображений. Кроме отклонения ссо, прн движении без ускорения (Ь" О) имеется угол возвышения Ь= ..",'.„,. (13.23) Если в дальнейшем ограничиться случаем, когда движущимся объектом является корабль, то можно положить, что От « !гсов, и величина ю вы1Р (О л а ю +ю сову ааа О СОвт!т и (13. 24) 155 ттм СОВ 1Р ЯЮ СО5 1Г и одновременно ю Ьвт а= —.
3 (13. 23) Если же продифференцировать (!3.24) при сделанных ранее допу- щениях и учесть также, что географическая широта изменяется очень медленно и может считаться постоянной, то получим д сов тй О тЬ 51п ту .т т. а= Ь Кю с05 чт тсО) с05 чт '1 В советское литературе вту величину называют мватннковым моментом. — Прим. рад. оказывается независимой ни от курса, ни от скорости объекта. Это обстоятельство позволяет найти приближенное решение уравнений движения (13.22). Система уравнений (13.22) удовлетворяется, если положить в ней р = 80, р = О; 434 13. Гирокомпасы Это выражение производной угла а совпадает с (13.25) и, следовательно, удовлетворяет уравнению (13.22/2), если соблюдается соотношение с 1 (13.26) д йы сои ф Это достигается соответствующим выбором постоянной прибора а' = с/Н = Оз/Н.
Настройка прибора согласно формуле (!3.26) означает, что период Тк (13.14) компаса делается равным Т„= =2п у — =84,4 мин, 2я / 1т )/ю ы сои ф к У гирокомпаса, настроенного на период 84,4 мин, ускорения объекта вызывают такое изменение показаний, что компас всегда устанавливается в направлении, отклоненном от меридиана на угол, равный мгновенному значению скоростной девиации. Этот переход к новому положению происходит без колебаний, так что ускорения объекта не порождают погрешности компаса. В этом можно убедиться и с помощью уравнений (13.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
