Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 54
Текст из файла (страница 54)
При таком выбореk1 , xиз задач при uk = uk xuk распределение x удовлетворяет всем ограничениям каждойиз задач и невозможно найти распределение, которое бытакже удовлетворяло ограничениям задач, а значение целевойфункции было бы больше, так как это противоречило быПарето-оптимальности распределения x. (г) Да. (д) Если распределениеxявляетсявнутреннимрешениемлюбой из задач, то A A B BA xB x2 = MRS122 . Подсказка: воспользуйтесь1 , x1 , xMRS12для решения задачи теоремой Куна–Таккера. (е) Подсказка:рассмотрите экономику обмена, в которой предпочтения хотя быодного из потребителей не удовлетворяют свойству выпуклости.Например, пусть предпочтения потребителя А представимыA = xA + xA , а потребителя В —,xфункцией полезности uA xA2 1 2 2 12(предпочтения не являфункцией uB xB1 , xB2 = xB1 + xB2ются выпуклыми).
И пусть, для определенности, каждого благаAв экономике имеется по 10 ед. Распределение (xA1 = 5, x2 = 5,A xB B , xBAAxB1 = 5, xB2 = 5) удовлетворяет MRS121, x2 = MRS12 x1 2 .Однако для такого распределения существует улучшениеAпо Парето — допустимое распределение (xA1 = 0, x2 = 10,BBx1 = 10, x2 = 0), в котором благосостояние потребителя А неизменилось, а благосостояние В выше. 3.7. Утверждение верно.Для доказательства предположите обратное.
3.8. Утверждениеневерно. Подсказка: в качестве примера можно рассмотреть ситуацию, когда оба потребителя имеют одинаковые предпочтения3.7. Ответы и подсказки309и считают блага совершенными субститутами. 3.9. (а) Верно.(б) В качестве контрпримера можно рассмотреть экономику,в которой имеется по 10 ед. каждого блага, а предпочтения 2 2представимы функциями полезности uk xk1 , xk2 = xk1 + xk2 ,k = {A, B}. 3.10. Утверждение неверно. Подсказка: дляконтрпримера рассмотрите такой случай, когда во внутреннейточке первоначальных запасов наклоны кривых безразличияпотребителей будут различными.
3.11. Утверждение верно.Подсказка: в качестве примера можно рассмотреть экономикуобмена, где оба потребителя имеют одинаковые предпочтения,описываемые функцией полезности Кобба–Дугласа. В этомслучае множество Парето-оптимальных распределений совпадаетс диагональю ящика Эджворта. Тогда можно, например,сопоставить уровень полезности потребителя А во внутреннейПарето-оптимальной точке и в точке начала координатABAABпотребителя В, (xA1 = ω1 + ω1 , x2 = ω2 + ω2 ), которая такжеявляется Парето-оптимальной. 3.13.
Нет. 3.14. Распределение xне является Парето-оптимальным. Пример Парето-улучшения —распределение, где каждый потребитель получает по двеединицы каждого блага. 3.15. Распределение D не является Парето-оптимальным. Парето-улучшением для него является любойнабор из области, расположенной выше точки D, ограниченнойкривыми безразличия потребителя А и В, проходящими через этуточку, и «стенками» ящика Эджворта. Распределение C являетсяПарето-оптимальным: множество наборов, которые не хуженабора C для одного потребителя, не пересекается с множествомнаборов, которые лучше набора C для другого потребителя.3.16. Точка первоначального запаса лежит на диагоналив центре ящика Эджворта и не является Парето-оптимальной.3.17. (а) Распределение x не является Парето-оптимальным.AAПример Парето-улучшения — распределение x = (x1 = 0, x2 = 5,BBx1 = 9, x2 = 7). (б) Равенство предельных норм замещенияхарактеризует Парето-оптимум, поскольку распределение внутреннее, предпочтения потребителей выпуклы, строго монотоннына внутренних наборах и функции полезности дифференцируемы.
Из условий допустимости и равенства предельных нормAB1 = 6, xB2 = 6).замещения находим x = (xA1 = 3, x2 = 6, xРаспределение x является Парето-оптимальным. 3.18. (а) Точкапервоначального запаса не является Парето-оптимальной.310Гл. 3. Равновесие AНапример, распределение x= x = (4, 5), xB = (8, 7) являетсяПарето-улучшением для точки первоначального запаса. (б) Данное распределение не будет Парето-улучшением для точкипервоначального запаса, поскольку положение потребителя Вухудшится: uB (xB ) = min{1, 8} = 1 < uB (ωB ) = min{8, 2} = 2.(в) Множество Парето-оптимальных распределений совпадаетAAс диагональю ящика Эджворта: xA2 = x1 , где 0 x1 12.3.19. (а) Множество Парето-оптимальных распределений — весьящик Эджворта. (б) Множество Парето-оптимальных распредеABAлений состоит только из одной точки (xA1 = ω1 + ω1 , x2 = 0).3.20. (а) Нет.
(б) Да. (в) Нет. 3.21. (а) Распределениеx Парето-оптимально, распределение x не является Парето-оптимальным. (б) y A = 2xA при 0 xA 2. (в) Обараспределения оптимальны по Парето. 3.22. (а) МножествоAAПарето-оптимальных распределений: xA2 = x1 , где 0 x1 1,т. е. контрактная кривая совпадает с диагональю ящикаЭджворта. (б) Множество Парето-оптимальных распределений:AAAxA2 = 2x1 /(1 + x1 ), где 0 x1 1. Контрактная кривая являетсявозрастающей и строго вогнутой (т.
е. лежит выше диагоналиящика Эджворта, где начало координат потребителя А — нижнийлевый угол). 3.24. Закон Вальраса выполнен. Подсказка: длявсех потребителей решение задачи максимизации полезностиудовлетворяет ограничению как равенству. 3.25. (а) p3 = 3.(б) Избыточный спрос на второе благо равен (–4).
Указанное распределение не может быть равновесным, посколькуизбыточный спрос на каждое благо в равновесии долженp2 = 1/7, xAбыть равен нулю. 3.26. Равновесие: p1 /1 = 6,ABB1 = 4, x2 = 8/7. 3.27. Утверждение верно, точкаx2 = 6/7, xпервоначального запаса является равновесной при любыхположительных ценах. 3.28. (а) Данное распределение неявляется Парето-оптимальным. (б) Данное распределениеявляется Парето-оптимальным.
(в) Нет, данная ситуацияне будет равновесной, поскольку не выполнены условияp2 = 1, xA = (3, 3),сбалансированности рынков. 3.29. (а) p1 /AAAxB = (1, 2). (б) xA2 = 5x1 /(8 − x1 ), где 0 x1 4. Равновесноераспределение Парето-оптимально. 3.30. Равновесная ценапервого блага равна p1 = 2/(δ + 1), т.
е. равновесная ценапервого блага тем ниже, чем больше этого блага в экономике.p1 = α, xA = (1 + α, 0), xB = (0, 2). (б) Возрастет.3.31. (а) p2 /3.7. Ответы и подсказки3113.32. (а) p1 /p2 = 4, xAAB1 = 5/4, xB2 = 5.1 = 11/4, x2 = 3, xРавновесное распределение в ящике Эджворта характеризуетсякасанием кривых безразличия потребителей А и В, причембюджетная линия совпадает с данной кривой безразличияпотребителя А. (б) Увеличение числа потребителей типа Ав 10 раз и увеличение числа потребителей типа В в такойже пропорции никак не изменит условия сбалансированностирынков обоих благ, а значит, никак не повлияет на равновесныецены (отношение цен). (в) Равновесное распределение Паретооптимально в силу первой теоремы благосостояния. 3.35.
Подсказка: в задании требуется доказать первую (п. (а)) и вторую(п. (б)) теоремы благосостояния. Дифференцируемость функцийполезности, наряду с выпуклостью и строгой монотонностьюпредпочтений (последнее следует из ∂uk /∂xki > 0 в любойточке, k = {A, B}, i = 1, 2), дает возможность воспользоватьсядифференциальными характеристиками внутренних решенийзадач потребителей и дифференциальной характеристикойвнутреннего Парето-оптимального распределения.
Строгая монотонность предпочтений гарантирует, что в решении бюджетныеограничения задач потребителей выполнены как равенства.3.36. Поскольку предпочтения потребителя А не являютсямонотонными, то предпосылки первой теоремы благосостоянияне выполнены. Поскольку предпочтения потребителя А неявляются монотонными, а предпочтения В не являютсявыпуклыми, то предпосылки второй теоремы благосостояния невыполнены. 3.37. Утверждение неверно. Подсказка: рассмотритеслучай, когда предпочтения одного из потребителей не являютсявыпуклыми (см.
рис. 3.4). 3.39. (а) Подсказка: для тогочтобы проверить выполнение закона Вальраса, вычислите спроскаждого потребителя на оба блага, затем найдите избыточныйBABспрос на каждое благо, zi (p1 , p2 ) = xAi + xi − (ωi + ωi ), i = 1, 2,затем вычислите стоимость совокупного избыточного спросаp1 z1 (p1 , p2 ) + p2 z2 (p1 , p2 ) и убедитесь, что эта величина равнанулю при любых ценах, при которых определен избыточныйp2 = 1/2, xAAB1 = 6, xB2 = 3.спрос. (б) p1 /1 = 2, x2 = 3, xAAAA(в) x2 = 9x1 /(4 + x1 ) при 0 x1 8.
Равновесное распределение Парето-оптимально. (г) Данное распределение можнореализовать как равновесное при ценах p1 = 1, p2 = 3 и трансфертах TA = 10, TB = −10. 3.40. (а) Определение равновесия312Гл. 3. Равновесиепо Вальрасу: набор (p1 , p2 , xA , xA , xB , xB ) является равновесием A A 1 2 1 2 является решением задачи потрепо Вальрасу, если 1) x ,x⎧ 1 21/43/4AA⎨ x→ max ,x2 B B1AxA2) x1 , x2 являетсябителя А:1 0,x2 0⎩A 4p+px+2p;p1 xA21212min{xB1 , xB2 /2} → max ,xB1 0,xB2 0решением задачи потребителя В:BBp1 x1 + p2 x2 1 p1 + 8 p2 ;AB1 = 5; xAB2 = 10.3) все рынки уравновешены: x1 + x2 + xAABp2 = 2, x1 = 2,5, x2 = 5, x1 = 2,5, xB2 = 5.(б) Равновесие: p1 /(в) Множество Парето-оптимальных распределений совпадаетAAс диагональю ящика Эджворта: xA2 = 2x1 , где 0 x1 5.(г) Данное распределение можно реализовать как равновесноепри ценах p1 = 2, p2 = 1 и трансфертах TA = −2, TB = 2.3.41.
(а) Множество Парето-оптимальных распределенийBABможно разделить на три участка: 1) xA2 = x2 = (ω2 + ω2 )/2,ABBAABABωB1 − xAxA1 ∈ 0, ω1 + ω1 , x1 = ω1 +1 ; 2) x1 = 0, x1 = ω1 + ω1 ,ABBABABBAxA2 ∈ 0, (ω2 + ω2 )/2 , x2 ∈ (ω2 + ω2 )/2, ω2 + ω2 , x2 = ω2 +BBABAAB+ ωB2 − xA2 ; 3) x1 = 0, x2 ∈ 0, (ω2 + ω2 )/2 , x1 = ω1 + ω1 ,ABABAABBxA2 ∈ (ω2 + ω2 )/2, ω2 + ω2 , x2 = ω2 + ω2 − x2 . (в) p1 /p2 = 8,BABxA1 = 25, x1 = 47, x2 = x2 = 16. (г) Да, p1 /p2 = 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
