Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Действительно, еслицена одного из благ равна нулю (по предпосылкам модели обецены не могут быть равны нулю одновременно), то увеличениепотребления этого блага не нарушит бюджетного ограничения.Однако поскольку предпочтения потребителя В строго монотонны, то увеличение хотя бы одного блага в наборе потребителя Вприводит к росту его полезности. Таким образом, если цена3.6. Решения задач285одного из благ будет равна нулю, то спрос на него со стороныпотребителя В будет неограничен, другими словами, решениезадачи потребителя В не существует.(б) Вспоминая из теории потребителя вид функций спросав случаях, когда предпочтения описываются функцией полезности Кобба–Дугласа (для потребителя А) и когда блага являютсясубститутами (для потребителя В), запишем решения задач потребителей при ценах p1 > 0, p2 > 0.Решение задачи потребителя А:10 p1 + 3 p23 p2p1 , p2 , 10 p1 + 3 p2 ) ==5+,xA1 (2 p12 p110 p1 + 3 p2p1 3p1 , p2 , 10 p1 + 3 p2 ) ==5 + .xA2 (2 p2p2 2Решение задачи потребителя В:⎧0,p1 /p2 > 3,⎪⎪⎨8 p1 + 6 p2p1 , p2 , 8 p1 + 6 p2 ) =xB1 (, p1 /p2 < 3,⎪p1⎪⎩p2 = 3,[0, 10] ,p1 /⎧0,p1 /p2 < 3,⎪⎪⎨8 p1 + 6 p2p1 , p2 , 8 p1 + 6 p2 ) =xB2 (, p1 /p2 > 3,⎪p2⎪⎩p1 /p2 = 3.30 − 3xB1p2 = 3, то потребитель А предъявляет спрос наЕсли p1 /1 + 3 p2 )/2p2 = 5 p1 /p2 + 3/2 =второе благо в объеме xA2 = (10 p= 5 · 3 + 3/2 = 16,5, что превышает совокупный запас второгоBблага, равный ωA2 + ω2 = 3 + 6 = 9.
Таким образом, при данныхценах равновесие в экономике не существует.p2 > 3, то спрос потребителя В на второе благоЕсли p1 /превышает начальный запас этого блага в экономике: xB2 =p2 = 8 p1 /p2 + 6 > 9 при p1 /p2 > 3, т. е. при ценах= (8p1 + 6 p2 )/p2 > 3 равновесия в рассматриваемой экономике нет.p1 /p2 < 3, то объем спроса потребитеАналогично, если p1 /ля В на второе благо равен нулю.
Чтобы рынок второго блага1 + 3 p2 )/2 p2 = 9, откуда найдембыл уравновешен xA2 = (10 pp2 = 3/2. Так как предпочтения потребителей монотонны, тоp1 /в экономике выполнен закон Вальраса (см. решение задачи 3.23).В силу выполнения закона Вальраса, если уравновешен рынок286Гл.
3. Равновесиеодного блага (в нашем случае второго), то автоматически уравновешен и рынок другого блага (первого). При равновесных ценахp2 = 3/2 равновесное распределение (xAAB1 = 12,p1 /1 = 6, x2 = 9, xxB2 = 0). A A2 , x1 , y2 называется допусти3.60. (а) Распределение x1 , xA1 = ωAA2 ,мым, если выполнены условия: xA1 +x1, x2 = ω2 + yx1 ).y2 = f (распределение (состояние экономики) A(б)AДопустимое2 , x1 , y2 называется Парето-оптимальным,x1 , x A Aесли неx,x,x,y,существует другогодопустимогораспределения1212 A AA > uA x,x,x.такого что uA xA12123.62. (а) Поскольку распределение внутреннее, то можно какуменьшить, так и увеличить потребление благ, изменив соответствующим образом затраты фактораВ рассматривае и выпуск.AAAмом распределении MRS12 x1 , x2 < f (x1 ).
Если потребительоткажется от малой единицы первого блага, то, чтобы его полезность не уменьшилась,увеличить потребление необходимоA xA , xA = 6 малых единиц. Увеличениевторого блага на MRS1212же использования первого блага в производстве приведет к увеx1 ) = 9 малых единиц.личению выпуска второго блага на f (Таким образом, отняв у потребителя малую единицу первогоблага, можно увеличить потребление второго на 9 малых единицвторого блага. Это приведет к увеличению полезности потребителя, так как ∂uA /∂xAi > 0, и чтобы компенсировать потерю малойединицы первого блага, было достаточно увеличить потреблениевторого блага на 6 малых единиц.
Если распределение не является внутренним, то, возможно, оно является оптимальным поПарето. Например, в задаче 3.68 (в).(б) Так как распределение внутреннее, то можно как уменьшить, так и увеличить потребление благ, изменив соответствующим образом затраты фактора и выпуск (как и в предыдущемA xA , xA >пункте).
В рассматриваемом распределении MRS1212> f (x1 ). Уменьшение использования первого блага в производстве на малую единицу приведет к уменьшению выпускавторого блага на f (x1 ) = 2 малые единицы. При увеличениипотребления первого блага на малую единицу благосостояниепотребителя не изменится при уменьшении потребления второгоA xA , xA = 6 малых единиц. Но так как поблага на MRS12123.6. Решения задач287требителю придется отказаться только от 2 малых единиц, тоего благосостояние увеличится, а значит, новое распределениеявляется Парето-улучшением. Если распределение не являетсявнутренним, то, возможно, оно является оптимальным по Парето.
Например, в задаче 3.64 (в).AA1 , y2 — равновесие и пусть со3.72. Пусть p1 , p2 , x1, x2, xA1 , y2 не являетсястояние экономики xA1, x2, x A A Парето-опти2 , x1 , y2 являмальным. Заметим, что распределение x1 , xется допустимым, так как в равновесии выполнены условияA A = ωA + y2 , И так как решение задачи фирмыxA1 + x1 = ω1 , x22x1 ).удовлетворяет ограничению этой задачи, то y2 = f (AA2 , x1 , y2 не является ПаТогда то, что распределение x1 , xрето-оптимальным,означает,чтосуществуетдопустимое A A состоA , x , y , отличное от x,x2 , x1 , y2 ,1 , xяние экономики xA1212 A AAA xA2 .
Так как uA xA1 , xтакое, что uA xA1 , x2 > u1 , x2 >A и при равновесных ценах потребитель выбралA , x> uA x A A 1 22 , то потребителю не хватило дохода, чтобыx1 , x приобрести A AAAAA1 .набор x1 , x2 , т. е. p1 x1 + p2 x2 > p1 ω1 + p2 ω2 + p2 y2 − p1 xπ(p, p2 )Так как в равновесии производитель максимизирует прибыльпри равновесных ценах и (x1 , y2 ) — выбор производителя, то1 p2 y 2 − p1 x1 .
Тогдаp2 y2 − p1 x2 xA1 ωA2 ωAp2 y2 − p1 x1 ) p1 xA1 +p2 >p1 +p2 + (2 ωAp2 y 2 − p1 x1 ) , p1 ωA1 +p2 + (откуда2 xA1 ωA2 ωAp2 y2 − p1 x1 ) .p1 xA1 +p2 >p1 +p2 + ( A AС другой стороны, поскольку x1 , x2 , x1 , y 2 — допустимоеA и xA = ωA + y .состояние экономики, то xA21 + x1 = ω122Домножим каждое условие на соответствующую цену, получим1 x1 = p1 ωA2 xA2 ωA2 y 2 .
Просуммировавp1 xA1 + p1 и p2 = p2 + pAAAp2 y 2 − p1 x1 ).условия, получим p1 x1 + p2 x2 = p1 ω1 + p2 ωA2 + (Пришликпротиворечию.Значит,предположениео том, что A Ax1 , x2 , x1 , y 2 — Парето-улучшение, оказалось неверным. A A2 , x1 , y2 — Парето-оптимальное распределение.x1 , x288Гл. 3. Равновесие3.73.
(а) Ни одно из граничных распределений не будетПарето-оптимальным. Необходимое условиевнутренних A Aдля A A∂u x1 , x2 ∂u x1 , x2=Парето-оптимальных распределенийAA∂x1∂x2x1 ). Заметим, что предпочтения, представимые функцией= f (полезности Кобба–Дугласа, выпуклы и строго монотонны на√внутренних наборах, производственная функция f (x1 ) = 2 x1вогнута, а это означает, что равенство предельной нормы замещения предельному продукту — не только необходимое условие Парето-оптимальности для внутренних распределений, A Aно и достаAAточное. Предельная норма замещения MRS12 x1 , x2 = xA2 /x1√√AAи предельный продукт f (x1 ) = 1/ x1 . Тогда x2 /x1 = 1/ x1 .Парето-оптимальное распределение допустимо, а это значит, что√AAAAxA1 = ω1 − x1 и x2 = ω2 + x2 = ω2 + 2 x1 . Таким образом,и xA через x1 , подставим полученные выражениявыразив xA√ 1 A2√A(ω2 + 2 x1 ) (ω1 − x1 ) = 1/ x1 .
Так как по условию ωA1 = 3√√Aи ω2 = 0, то (2 x1 ) (3 − x1 ) = 1/ x1 , откуда x1 = 1. ТогдаAxA1 = 2, x2 = 2, y2 = 2.(б) Закон Вальраса состоит в следующем: стоимость совокупного избыточного спроса равна нулю при всех ценах, прикоторых избыточный спрос определен:Ap1 xA1 (p1 , p2 ) + x1 (p1 , p2 ) − ω1 +z1 (p1 , p2 )A+ p1 xA2 (p1 , p2 ) − y2 (p1 , p2 ) − ω2 = 0.z2 (p1 , p2 )Для проверки выполнения закона Вальраса найдем функцииспроса потребителя, спрос и предложение фирмы при произвольных ценах.Поскольку прибыль фирмы входит в доход потребителя, тоp2 y2 − p1 x1 → max ,x1 , x2 0коначнем с решения задачи фирмы:√y2 = 2 √x1 ,торая может быть преобразована к виду 2 p2 x1 − p1 x1 → max.x1 0Покажем, что в решении задачи фирмы x1 > 0.
Если x1 = 0, топрибыль фирмы составитноль. Если же x1 = ε > 0, то прибыль√фирмы составит 2 p2 ε − p1 ε. Существуют ли такие значения ε,при которых фирме выгодней затрачивать ненулевое количе-3.6. Решения задач289ство ресурса и√производить ненулевой выпуск? Ответ да, есливыполнено 2 p2 ε − p1 ε > 0. Указанное неравенство выполненопри ε < 4 (p2 /p1 )2 . Такая величина ε существует при любыхположительных ценах.
Условие первого порядка для внутренне√го решения: p2 / x1 − p1 = 0, откуда x1 (p1 , p2 ) = p22 /p21 . Тогдапредложение фирмы y2 (p1 , p2 ) = 2 p2 /p1 и функция прибылиπ (p1 , p2 ) = p22 /p1 .Теперь рассмотрим задачу потребителя.
Функции спроса потребителя являются решением задачи максимизации полезности:⎧ A Ax x → max ,⎪⎪A⎨ 1 2xA1 , x2 0AAAp22 /p1 ,p1 xA⎪1 + p2 x2 p1 ω1 + p2 ω2 + ⎪ ⎩π(p1 , p2 )то естьxA1 (p1 ,A2p1 ωA11 + p2 ω2 + p2 /p1p2 ) ==2 p12xA2 (p1 ,A2p1 ωA11 + p2 ω2 + p2 /p1p2 ) ==2 p22ωA1p22p2+ ωA+p1 2p21p1 Ap2ω1 + ωA2 +p2p1,.Требуется убедиться, что стоимость избыточного спроса равнанулю: p22p2 A p221AAω1 + ω2 + 2 + 2 − ω1 +p12p1p1p 1p21 p1 Ap2AAω + ω2 +− 2 − ω2 = 0.+ p22 p2 1p1p1Это выполнено при всех положительных ценах.(в) Равновесие по Вальрасу в экономике с одним потребитеA, xA, x,p,x,y, гделем и одной фирмой—этонаборp121212 A A2 является решением задачи потребителя A:(1) набор x1 , x⎧ A⎨ u xA1 , x2 → max ,⎩AxA1 , x2 0p1 xA1+p2 xA2 p1 ωA2 ωAp1 , p2 ) ;1 +p2 + π ((2) набор (x1 , y2 ) является решением задачи фирмы:p2 y2 − p1 x1 → max ,y2 = f (x1 ) ;x1 , y2 0290Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
