Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 45
Текст из файла (страница 45)
задачу 3.1).(г) Пусть предпочтения потребителей монотонны. Если наборAAB1 , xB2 ) — равновесие, то равновесное распреде(p1 , p2 , x1, x2, xAAB2 , x1 , xB2 ) является Парето-оптимальным.ление (x1 , xЗаметим, что вывод теоремы верен и при более слабом свойстве локальной ненасыщаемости (т. е. если предпочтения потребителя таковы, что для любого набора в любой его окрестностинайдется лучший набор).(д) Существуют различные формулировки второй теоремыблагосостояния. В задачнике будем придерживаться следующейформулировки.Пусть предпочтения потребителей монотонны и выпуклы.AB1 , xB2 )Тогда внутреннее равновесное распределение (xA1, x2, xможно реализовать как равновесное в экономике с трансфертами T k = p1 xk1 + p2 xk2 − p1 ωk1 − p2 ωk2 , k = {A, B}.3.33.
(а) Найдем множество Парето-оптимальных распределений графически.Сначала изобразим в ящике Эджворта любое распределениеи множество наборов, которые не хуже, чем рассматриваемыйнабор для каждого потребителя. Для этого изобразим кривыебезразличия, на которых лежит данный набор (рис. 3.14).Построим Парето-улучшение для данного распределения: неизменяя благосостояние агента В, повысим благосостояние агента А. Таким образом, можно получить некоторые Парето-оптимальные распределения (рис. 3.15).Найдем теперь множество всех Парето-оптимальных распределений (рис.
3.16).252Гл. 3. РавновесиеРис. 3.14. Распределение x не является оптимальным по ПаретоРис. 3.15. Парето-оптимальные распределенияРис. 3.16. Множество всех оптимальных по Парето-распределенийВ любом распределении, находящемся в закрашенной области, невозможно повысить благосостояние ни одного из агентов,не снижая благосостояние другого. Следовательно, все распределения из закрашенной области являются Парето-оптимальными.3.6. Решения задач253(б) Кривая цена–потребление представляет собой совокупность оптимальных наборов потребителя при различных относительных ценах.
Так как в данной экономике потребитель имеетнеизменный начальный запас, то стоимость начального запаса будет меняться с изменением относительных цен. Изобразим графически на одном рисунке в ящике Эджворта кривыецена–потребление для потребителей А и В (см. рис. 3.17).Рис. 3.17. Кривые цена–потребление для обоих потребителейРавновесные распределения могут быть только в точках, гдекривые цена–потребление для агентов пересекаются, посколькув этом случае данные распределения являются решением задачи каждого потребителя при некоторых ценах (по определениюкривой цена–потребление).
Найдем цены, при которых в указанных точках будет решена задача максимизации полезностикаждого агента. Находим, что в данном случае распределенияAB B{(xA1 , x2 ) = (6 − a, 2), (x1 , x2 ) = (a, 4)}, a ∈ [0, 5], являются равp2 = 0.новесными при ценах p1 /Заметим, что в п. (а) было получено множество Парето-оптимальных распределений для данной экономики. Равновесныераспределения, полученные в этой экономике, являются Паретооптимальными, что согласуется с первой теоремой благосостояния.3.34. (а) Ответы на задания пункта основаны на графическом анализе (см. рис.
3.18).254Гл. 3. РавновесиеРис. 3.18(i) Распределение не оптимально по Парето, так как можноулучшить положение В, не ухудшая положения А, забирая у Анекоторое (до 7,5) количество первого товара и отдавая егоагенту В.(ii) Распределение оптимально по Парето, поскольку множество не худших наборов для А и множество лучших для В непересекаются, как и множества наборов, лучших для А и нехудших для В.(iii) Заметим, что в распределении выполнено неравенство+xB2 > 5, т. е.
оно недопустимо и, следовательно, не можетxA2быть оптимальным по Парето.(iv) Нет, неверно, поскольку в распределении x положениеагента В хуже, чем в распределении x: uB (8, 1) = 9 < uB (7, 3) == 10.Можно привести и графическое пояснение, что распределениеAx = (2, 4), x B = (8, 1) не лежит в области Парето-улучшениядля распределения x A = (3, 2), x B = (7, 3).(б) Множество оптимальных по Парето распределений изображено на рис. 3.19.(в) Точка начальных запасов не может быть равновесием,поскольку выбиралась бы различными агентами при различныхценах. На рис. 3.20 графически изображено равновесие. Указаныцены и распределение: p∗1 /p∗2 = 2/3, x∗ A = (2,5; 5), x∗ B = (7,5; 0).B3.38.
(а) В допустимом распределении xA1 + x1 = ω1 иBA+ x2 = ω2 . Первое условие выполнено при x1 =11, однаковторое условие для заданных значений не выполнено и, следо-xA23.6. Решения задач255Рис. 3.19. Множество оптимальных по Парето (эффективных) распределенийРис. 3.20. Равновесное распределение соответствует точке пересечения кривых цена–потребление256Гл. 3. Равновесиевательно, не существует значений xA1 , при которых указанноераспределение допустимо.(б) Заданное распределение допустимо.
Дифференциальнаяхарактеристика внутренних оптимальных по Парето распредеA = MRS B . Так как предпочтения, представимыелений MRS1212функциями полезности Кобба–Дугласа, выпуклы и строго монотонны на внутренних наборах, то это условие является не тольконеобходимым для оптимальных по Парето распределений, нои достаточным. Подставив компоненты распределения в условиеABB2 xA2 /x1 = x2 /x1 , убедимся, что распределение оптимально поПарето.(в) В рассматриваемой задаче достаточное условие для внутA = MRS B .ренних оптимальных по Парето распределений MRS1212A = xB /xB ./xДля заданных предпочтений это означает 2xA2121Так как оптимальное по Парето распределение допустимо, тоBABxA1 + x1 = 21 и x2 + x2 = 8.
Из системы трех уравнений с тремя неизвестными найдем недостающие компоненты внутреннегоABоптимального по Парето распределения xA1 = 18, x2 = 6, x2 = 2.(г) Начнем с рассмотрения внутренних Парето-оптимальныхраспределений. По определению Парето оптимальные распредеBABления должны быть допустимыми: xA1 + x1 = 21, x2 + x2 = 8.Кроме того, если функции полезности дифференцируемы, дляA =внутренних точек должно быть выполнено условие: MRS12B= MRS12 .
В данном случаеA=MRS12∂uA /∂xA2xA12=,∂uA /∂xAxA21BMRS12=∂uB /∂xB1xB2=.∂uB /∂xB2xB1В случае выпуклых и строго монотонных предпочтений этоусловие является необходимым и достаточным. В данной задачепредпочтения потребителей, описываемые функциями полезности Кобба–Дугласа, являются выпуклыми и строго монотоннымина внутренних наборах.
Таким образом, для того, чтобы найтивнутренние Парето-оптимальные распределения, нам нужно решить следующую систему уравнений:⎧AABB⎪⎨ 2x2 /x1 = x2 /x1 ,B(3.1)xA1 + x1 = 2,⎪⎩ ABx2 + x2 = 8.3.6. Решения задач257Выразим из условий допустимости (т. е. из второго и третьегоBAуравнений системы (3.1)) xB1 = 21 − xA1 и x2 = 8 − x2 и подставимв условие равенства предельных норм замещения (т. е. в первоеуравнение системы). В итоге получим следующее уравнение контрактной кривой, описывающей внутренние Парето-оптимальныераспределения:AAxA2 = 8 x1 /(42 − x1 ),где 0 < xA1 < 21.(3.2)Будут ли в данной экономике граничные Парето-оптимальные распределения? Рассмотрим распределение AABBABBABAx1 = 0, 0 < xA2 < ω2 + ω2 , x1 = ω1 + ω1 , x2 = ω2 + ω2 − x2 .Это распределение допустимо. Полезности потребителей при таком распределении:uA 0, xA2 = 0, A A1/2BABAB 1/2.ω2 + ωB2 − xAuB ωA1 + ω1 , ω2 + ω2 − x2 = ω1 + ω12Рассматриваемое распределение не Парето-оптимально, поскольку существует допустимое распределение ABABBABx1 = 0, xA2 = 0, x1 = ω1 + ω1 , x2 = ω2 + ω2 ,в котором полезность потребителя А не меньше uA (0, 0) = 0,а полезность потребителя В выше:BABuB ωA1 + ω1 , ω2 + ω2 = A1/2 A1/2 A1/2B 1/2> ω1 + ωB1,ω2 + ωB2ω2 + ωB2 − xA= ωA1 + ω12чем в рассматриваемом.Аналогичным образом, в экономике, в которой предпочтенияпотребителей представимы функциями полезности Кобба–Дугласа, можно построить Парето-улучшения для всех распределений,в которых хотя бы у одного из потребителей в наборе в положительном количестве только одно благо.Рассмотрим распределение, в котором один из потребителей обладает совокупными запасами обоих благ, а у другогопотребителя,соответственно, оба блага в нулевомколичестве: AB = ωA + ωB , xB = ωA + ωB .
Это распределе=0,xx1 = 0, xA2111222ние допустимо. Возможно ли построить для него Парето-улучшение, а значит, увеличить благосостояние одного из потребителей,не уменьшив благосостояние другого, распоряжаясь имеющими-258Гл. 3. Равновесиеся в экономике благами? Увеличить благосостояние В невозможно, так как у него в этом распределении имеются совокупныезапасы обоих благ. Увеличить благосостояние А возможно, только уменьшая благосостояние потребителя В.
А это означает, чтопостроить Парето-улучшение невозможно, т. е. рассматриваемоераспределение Парето-оптимально.Аналогичныерассуждения можно провести для распределе AAABBBния x1 = ω1 + ωB1 , xA2 = ω2 + ω2 , x1 = 0, x2 = 0 . Поэтому граничными Парето-оптимальными точками будут только две точки:ABB(xA1 = 0, x2 = 0, x1 = 21, x2 = 8) (точка начала координат потреABBбителя А, OA ) и (xA1 = 21, x2 = 8, x1 = x2 = 0) (точка началаBкоординат потребителя В, O ).Заметим, что эти две точки описываются той же зависимостью, что и внутренние Парето-оптимальные распределения.AДействительно, подставляя xA1 = 0 в (3.2) получим x2 = 0; анаAAлогично, при x1 = 21 получаем x2 = 8.Таким образом, множество Парето-оптимальных распределений (контрактная кривая) имеет вид:AAxA2 = 8x1 /(42 − x1 ),где 0 xA1 21.(3.3)Поскольку контрактная кривая (3.3) не является линейной, дляграфической иллюстрации множества Парето-оптимальных распределений в ящике Эджворта не корректно использовать построение по точкам — необходимо исследовать поведение функAAAции xA2 (x1 ) = 8x1 /(42 − x1 ) в допустимом интервале.Рис.
3.21. Множество Парето-оптимальных распределений3.6. Решения задач259Итак, проанализируем, является ли функция (3.3) возрастающей или убывающей, вычислив ее первую производную:AdxA8(42 − xA33621 ) + 8x1==> 0. Поскольку первая проAA 22dx1(42 − x1 )(42 − xA1)изводная положительна, следовательно, данная функция является возрастающей. Теперь исследуем знак второй производной:d2 xA2 · 3362=> 0; так как вторая производная положительA 23d(x1 )(42 − xA1)на, то данная функция является выпуклой.(д) Так как предпочтения обоих потребителей монотонны,то в экономике выполнен закон Вальраса. Закон Вальраса звучит так: стоимость совокупного избыточного спроса равна нулюпри любых ценах, при которых определен избыточный спрос,т.
е. p1 z1 (p1 , p2 ) + p2 z2 (p1 , p2 ) = 0 при любых ценах, при которых определен избыточный спрос, где zi (p1 , p2 ) = xAi (p1 , p2 ) +B — функция совокупного избыточного−ω+ xBi (p1 , p2 ) − ωAiiспроса на благо i, i = 1, 2.Воспользовавшись законом Вальраса, p1 z1 + 13,5 p2 = 0, найдем z1 = −6,75.Кроме того, избыточный спрос можно вычислить по формулеBABz2 (p1 , p2 ) = xA2 (p1 , p2 ) + x2 (p1 , p2 ) − ω2 − ω2 .(е) В п. (д) приведена формулировка закона Вальраса:стоимость совокупного избыточного спроса равна нулю прилюбых ценах, при которых определен избыточный спрос.Если предпочтения потребителей монотонны (см. задачу 3.23),то закон Вальраса выполнен.
Поскольку в данном случаепредпочтения потребителей описываются функциями полезности Кобба–Дугласа, а значит, являются монотонными (приодновременном увеличении в наборе обоих благ полезностьувеличивается), то закон Вальраса в данной экономике долженбыть выполнен. Убедимся в этом. Решим задачи потребителей,чтобы найти функции спроса обоих потребителей на каждоеблаго.⎧ ⎨ xA 2/3 · xA 1/3 → max ,12AxAЗадача потребителя А :1 0,x2 0⎩AAp1 x1 + p2 x2 9 p1 + 3 p2 .Воспользовавшись известной формулой спроса для функции полезности вида Кобба–Дугласа, получим функции спроса потре-260Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
