Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Введем нормировку: p1 = 4, тогдаоткуда получаем p2 /p2 = 7. При таких ценах трансферт потребителя А составляет (из(3.4)) TA = 21 p1 − 9 p1 − 3 p2 = 27. Убедимся, что и из соотношения (3.5) получаем тот же трансферт потребителя: TA = 27.Таким образом, набор xA = (14, 4) является решением задачипотребителя А при ценах p1 = 4, p2 = 7 и трансферте TA = 27.3.6. Решения задач267Рассмотрим задачу потребителя В: набор xB = (7, 4) долженявляться решением задачи потребителя В при некоторых ценахp1 , p2 и трансферте TB , т. е. при данных ценах и трансфертедолжен удовлетворять функциям спроса, полученным в п.
(а):xB1 (p1 , p2 ) =mB12 p1 + 5 p2 + T B=,2 p12 p1xB2 (p1 , p2 ) =mB12 p1 + 5 p2 + T B=.2 p22 p2B2 = 4, получим следующие соотношения:Подставив xB1 = 7 и x7 = (21 p1 + 5 p2 + TB )/(2 p1 ),(3.6)4 = (12 p1 + 5 p2 + TB )/(2 p2 ).(3.7)Теперь разделим (3.6) на (3.7):(21 p1 + 5 p2 + TB )/(2 p1 )7,=4(12 p1 + 5 p2 + TB )/(2 p2 )p1 = 7/4, что согласуется с результатом,откуда получаем p2 /полученным выше при анализе решения задачи потребителя А.При таких ценах трансферт потребителя В составляет (из (3.6))TB = 14 p1 − 12 p1 − 5 p2 = 2 p1 − 5 p2 = −27. При таком значениитрансферта соотношение (3.7) выполнено.AB1 = 7,Таким образом, распределение x = (xA1 = 14, x2 = 4, xBx2 = 4) можно реализовать как равновесное при ценах p1 = 4,p2 = 7 и трансфертах TA = 27, TB = −27.
Действительно,1) набор xA = (14, 4) является решением задачи потребителя Апри ценах p1 = 4, p2 = 7 и трансферте TA = 27; 2) наборxB = (7, 4) является решением задачи потребителя В при ценахp1 = 4, p2 = 7 и трансферте TB = −27; 3) рынки уравновешены:B1 = 21 и xAB2 = 8; 4) выполнен финансовый баланс:xA1 +x2 +xTA + TB = 0.Замечание. Для решения задачи нет необходимости вводитьнормировку цен. Из (3.4) имеем TA = 12 p1 − 3 p2 , откуда с учеp1 = 7/4 получим TA = 12 p1 − 3 p2 =том соотношения цен p2 /= 27/4 p1 = 27/7 p2 . Из соотношения (3.5) TA = 9 p2 − 9 p1 и приp1 = 7/4 получаем тот же самый результат: TA = (27/4) p1 =p2 /= (27/7) p2 .268Гл.
3. РавновесиеАналогично находится трансферт для потребителя В. Выражение (3.6) может быть представлено в виде 7 = 6 + 5/2 ×·p1 + TB /(2 p1 ), откуда с учетом p2 /p1 = 7/4 получаем× p2 /T B = −(27/4) p1 или T B = −(27/7) p2 . Из соотношения (3.7)находим T B = 3 p2 − 12 p1 , откуда следует T B = −(27/4) p1 == −(27/7) p2 , что согласуется с результатом полученным из выражения (3.6).(л) В рассматриваемой игре последний ход принадлежитпотребителю А, который решает задачу максимизации полезности при предложенных ценах.
Решение задачи потребителя Апри положительных ценах записываются следующим обраAзом: xA1 (p1 , p2 ) = (6 p1 + 2 p2 )/p1 , x2 (p1 , p2 ) = (3 p1 + p2 )/p2 .Тогда потребление благ индивидом В составит xB1 = 21 −− (6 p1 + 2 p2 )/p1 = (15 p1 − 2 p2 )/p1 , xB2 = 8 − (3 p1 + p2 )/p2 == (7 p2 − 3 p1 )/p2 , а полезность потребителя В, соответствен1/2 1/2.(7 p2 − 3 p1 )/p2но, примет значение (15 p1 − 2 p2 )/p1Обозначим t = p1 /p2 . Тогда, чтобы выбрать цены, максимизирующие его полезность, потребитель В должен решитьзадачу (15 − 2/t)1/2 (7 − 3 t)1/2 → max. Поскольку значениеt0объема потребления агентами не может быть отрицательнойи нулевой величиной, а положительное монотонное преобразование не изменяет ранжирование наборов, то логарифмирование целевой функции не изменит решения поставленнойзадачимаксимизации,т.
е. задача сведется к следующей:ln (15 t − 2)/t + ln(7 − 3 t) → max. Первая производнаяt0вогнутой целевой функции будет равна нулю при положительном t = 14/45 , т. е. предлагаемые цены p1 /p2 = 14/45 .Соответствующие распределения можно получить, подставляяцены в функцию спроса для агента А, а затем воспользовавшисьусловиями допустимости распределения.Приведем графическую иллюстрацию. Как уже было сказано в решении к п.
(и), кривая цена–потребление А — этомножество наборов, соответствующих оптимальным точкам привсех возможных ценах. Потребитель В выберет такие цены, прикоторых его собственное благосостояние будет максимальнымиз возможных. Максимальное благосостояние, с учетом выборапотребителя А, потребитель В сможет достичь в точке, где егокривая безразличия касается кривой цена–потребления потребителя А (см. рис. 3.24).3.6.
Решения задач269Рис. 3.24. Потребитель В выберет точку, в которой кривая безразличия В касается кривой цена–потребление АРис. 3.25. Распределение в п. (л) не является оптимальным по ПаретоТочку, в которой кривая безразличия В касается кривойцена–потребленияА, потребитель А выберет при ценах p1 /p2 == 14/45 (кривая безразличия А касается бюджетной линиив точке на кривой цена–потребления, являющейся точкой пересечения бюджетной линии и кривой цена–потребление). Однаков этой точке кривая безразличия В не касается бюджетной линиии пересекает кривую безразличия потребителя А. Таким образом,итоговое распределение не является оптимальным по Парето(см. рис.
3.25). Заметим, что не всегда такая схема приводитк неоптимальному по Парето распределению (см. задачу 3.47).270Гл. 3. Равновесие3.41. (б)Рис. 3.26. Множество Парето-оптимальных распределений3.42. (б)Рис. 3.27. Множество Парето-оптимальных распределений3.46. (а) Уравнение произвольной кривой безразличия потреAAбителя А записывается, как x1 + 2 xA2 = u . Типичные кривыебезразличия изображены на рис.
3.28.3.6. Решения задачРис. 3.28. Кривые безразличияпотребителя А271Рис. 3.29. Кривые безразличияпотребителя ВУравнение кривой безразличия потребителя В задается как1− (xB1 )2 = uB . Заметим, что полезность потребителя В4не зависит от потребления второго блага. Это означает, чтокривые безразличия — вертикальные линии. Кроме того, поскольку ∂uB /∂xB1 > 0 на участке xB1 ∈ (0, 2), ∂uB /∂xB1 = 0и ∂ 2 uB /∂(xB1 )2 = −1/2 < 0 при xB1 = 2 и ∂uB /∂xB1 < 0 при xB1 > 2,то полезность возрастает на участке, где xB1 ∈ (0, 2), достигаетмаксимума при xB1 = 2 и убывает с ростом xB1 .
Кривые безразличия потребителя В изображены на рис. 3.29.Таким образом, анализируя предпочтения потребителей, можно сделать несколько выводов относительно Парето-оптимальных распределений.Во-первых, в Парето-оптимальных распределениях весь запас второго блага достается потребителю А. Действительно,для любого допустимого распределения, в котором потребление второго блага индивидом В ненулевое, можно построитьПарето-улучшение, уменьшив в наборе В количество второгоблага (полезность В не изменится) и передав его потребителю А(полезность А возрастет).Во-вторых, в Парето-оптимальных распределениях у потребителя В не может быть больше двух единиц первого блага.
Еслив потребительском наборе В больше двух единиц первого блага,то потребитель В может передать А разницу между имеющимсяу него количеством первого блага и двумя единицами, что приведет к росту полезности обоих потребителей.xB1272Гл. 3. РавновесиеПокажем, что распределения (14 xAA1 16, x2 = 17, 0 BBAB2 = 0), такие что x1 + x1 = 16, являются Паретоx1 2, xоптимальными. Заданные распределения являются допустимыми.В этих распределениях индивид А потребляет весь имеющийсяв экономике запас второго блага.
Следовательно, увеличениеблагосостояния возможно только при увеличении потребленияпервого блага. Но это либо приведет к уменьшению благосостоB1 = 0, тояния потребителя В (если 0 < xB1 2), либо, если xэто невозможно, так как А потребляет весь запас первого блага.Если xB1 = 2, то В достигает максимального возможного длянего уровня благосостояния, а значит, невозможно увеличитьего полезность. Если 0 xB1 < 2, то увеличить благосостояние Ввозможно только путем увеличения потребления первого блага,но это приведет к уменьшению благосостояния потребителя А.Таким образом, заданные распределения допустимы, и для каждого из них не существует допустимого распределения, в которомблагосостояние хотя бы одного из потребителей было бы выше,а другого не ниже, чем в рассматриваемом распределении.
Следовательно, эти распределения Парето-оптимальны. МножествоПарето-оптимальных распределений изображено на рис. 3.30.Рис. 3.30. Множество Парето-оптимальных распределений(б) Для того чтобы найти равновесие, решим задачи потребителей.3.6. Решения задач273Задача потребителя А записывается следующим образом:⎧⎨ xA + 2 xA → max ,12AxA1 , x2 0⎩AAp1 x1 + p2 x2 16 p1 .Оставляем читателям в качестве упражнения показать, что в решении не может быть xA2 = 0. Поскольку предпочтения А выпукA = p /p для внутлые и строго монотонные, то условие MRS121 2реннего решения является не только необходимым, но и достаточным. Кроме того, так как предпочтения строго монотонные,то решение (не обязательно внутреннее) должно удовлетворятьA = 16 p .бюджетному ограничению как равенству: p1 xA11 + p2 x2A =xAВычислим предельную норму замещения: MRS122 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
