Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 51
Текст из файла (страница 51)
3. Равновесие(3) рынки сбалансированы:1 = ωAxA1 +x1,xA2 + ωA2 =y2.(г) Так как в экономике выполнен закон Вальраса, достаточно уравновесить один рынок. Поскольку начальный запас второго блага равен нулю, то удобнорынок второго уравновешивать1 p1 Ap2pAблага:ω1 + ω2 + p2 /p1 = 2 . Отсюда найдем 2 = 1.2 p2p1p1Подставив отношение цен в функции спроса потребителя, функцию спроса и функцию предложения фирмы, получим xA1 = 2,Ax2 = 2, x1 = 1, y2 = 2.(д) В рассматриваемой экономике имеется единственное Парето-оптимальное распределение.
Согласно первой теореме благосостояния равновесным в экономике с одним потребителемможет быть только Парето-оптимальное распределение. Такимобразом, альтернативный способ поиска равновесия — реализация Парето-оптимального распределения как равновесного. Еслиэто удастся, то равновесие найдено. Если нет, то равновесиев рассматриваемой экономике не существует.3.77. Воспользовавшись условиями допустимости, найдемA(xA1 = 2, x2 = 2, x1 = 1, y2 = 1).Теперь реализуем найденное распределение как равновесное. Поскольку прибыль фирмы входит в доход потребителя,p2 y2 − p1 x1 → max ,x1 , y2 0то начнем с решения задачи фирмы:√x,y2 =1√которая может быть преобразована к виду p2 x1 − p1 x1 → max.2x1 0Тогда спрос фирмы x1 (p1 , p2 ) = (p2 /(2 p1 )) , предложение фирмыy2 (p1 , p2 ) = p2 /(2 p1 ) и функция прибыли π (p1 , p2 ) = p22 /(4 p1 ).Тогда, так как при равновесных ценах фирма выбирает y2 = 1,p1 = 2.
Подставив это соотношението из 1 = p2 /(2 p1 ) найдем p2 /1 = 1. Такимцен в функцию x1 (p1 , p2 ) = p22 /(4 p21 ), получим xобразом, набор x1 = 1, y2 = 1 является решением задачи фирмыp1 = 2.при p2 /Теперь рассмотрим задачу потребителя. Обозначимp22 /(4p1 ) = π(p1 , p2 ). Функции спроса потребителя являются3.6. Решения задач291решением задачи максимизации полезности:⎧ A 2⎪x2 → max ,xA⎪1⎨xA , xA 0122AAAAp ),⎪ p1 x1 + p2 x2 p1 ω1 + p2 ω2 + p2 /(4⎪ 1⎩π(p1 , p2 )то естьp22p2 A+ ω2 +,p14 p21A2p1 ωA2 p1 Ap2AA1 + p2 ω2 + p2 /(4 p1 )=ω + ω2 +.x2 (p1 , p2 ) = 23 p23 p2 14 p1xA1 (p1 ,A2p1 ωA11 + p2 ω2 + p2 /(4 p1 )p2 ) ==3 p13ωA1Подставив в функции спроса потребителя найденное соотношеp1 = 2, найдем xAAAAние цен p2 /1=x2 = 2.
То есть, набор x1=x2=2p1 = 2.является решением задачи потребителя при p2 /Рассматриваемое распределение удовлетворяет условиямA+x1 = ωAA2 , а значит, условия сбалансированxA11 и x2 = ω2 + yности рынков выполнены.p1 = 2, xAA1 = y2 = 1)Таким образом, набор (p2 /1 = x2 = 2, xудовлетворяет всем условиям равновесия.Обсудим полученный результат. По первой теореме благосостояния равновесным может быть только Парето-оптимальноераспределение. Это означает, что если удалось реализовать заданное распределение, как равновесное, то оно Парето-оптимальAAAно.
Поскольку 0 < xA1 < ω1 , 0 < x2 < ω2 , то заданное распределение внутреннее. По второй теореме благосостояния, если предпочтения потребителя выпуклы и монотонны, производственнаяфункция вогнута, то внутреннее Парето-оптимальное распределение может быть реализовано, как равновесное.p2 y2 − p1 x1 → max ,x1 , y2 03.78. Рассмотрим задачу фирмы:y2 = 6x1 .Исходная задача преобразовывается к следующему виду:x1 (6 p2 − p1 ) → max. Решение задачи не определено приx1 06 p2 > p1 , так как в этом случае увеличение x1 приводитк увеличению прибыли.
Такимобразом, решение задачи фирмыy2 (p1 , p2 )0,6 p2 < p1 ,=Прибыль фирмыx1 (p1 , p2 ) =[0,∞),6p2 = p1 .62 > 0. Поэтомуравна нулю. В заданном распределении x1 > 0, x292Гл. 3. Равновесиенабор x1 = 2, y2 = 12 является решением задачи только приp2 = 6.соотношении цен p1 /Рассмотрим задачу потребителя.спроса потребителя являются решением задачи⎧ Функции3 AA⎪,⎪⎨ x1 x2 → xAmax, xA 012AAAπ (p1 , p2 ) :p1 xA⎪1 + p2 x2 p1 ω1 + p2 ω1 + ⎪ ⎩0p2 Ap2 ) = 3+ ω2 ,4 p1p1A1 p1 ωA1 p1 AA1 + p2 ω2xA(p,p)==ω+ω1222 .43 p24 p2 1Подставив в функции спроса потребителя найденное соотношеp1 = 6, найдем xAAние цен p2 /1 = 22 и x2 = 44.
Это означает, чтоAA2 = 44 является решением задачи потребителянабор x1 = 22 и xp1 = 6.при p2 /Рассматриваемое распределение удовлетворяет условиямA1 = ωAA2 , а значит, условия сбалансированxA1 +x1 и x2 = ω2 + yности рынков выполнены.p2 = 6, xAA1 = 2,Таким образом, набор (p1 /1 = 22, x2 = 44, xy2 = 12) является равновесием.Заданное распределение является внутренним Парето-оптимальным.
В рассматриваемой задаче выполнены все предпосылкивторой теоремы благосостояния, следовательно, полученный результат закономерен.xA1 (p1 ,p1 ωA1+ p2 ωA23=4ωA13.84. (а) Предпочтения Робинзона не являются выпуклыми,R = f (L) является только необходимымпоэтому условие MRSlcдля Парето-оптимального распределения, все компоненты которого положительны.
Для рассматриваемой экономики это условие записывается как lR /cR = 1/2. Так как Парето-оптимальноераспределение допустимо, то lR + L = 15, cR = c, c = L/2, гдес — количество собранных бананов, тогда как cR — количествосъеденных бананов. Выразив lR и cR через L, получим уравнение15 − L1= , откуда L = 12, а следовательно, lR = 3, cR = c = 6.L/22Полезность в таком распределение uR (3, 6) = 45.Полезность потребителя в граничных точках (cR = c = 7,5,Rl = 0, L = 15) и (cR = c = 0, lR = 15, L = 0) соответственно3.6. Решения задач293равна uR (0, 7,5) = 56,25 иuR (15, 0) = 225. Таким образом, Парето-оптимальным является граничное распределение (cR = c = 0, lR = 15, L = 0)(см. рис.
3.39).(б) Нарушены следующиепредпосылки второй теоремы благосостояния: предпосылка о выпуклости предпочтений, предпосылка о внутренности Парето-оптимального распределения. Таким об- Рис. 3.39. Парето-оптимальным(cR = c =разом, нет никакой гарантии, является распределениеR= 0, l = 15, L = 0)что найденное Парето-оптимальное распределение реализуемо как равновесное, однако нельзя утверждать, что оно неможет быть реализуемо.Существуют ли такие цены, что набор (c = 0, L = 0)являетсярешением задачи фирмы? Решение задачи фирpc c − pL L → max ,c, L0существует только при ценахмыc = L/2,pc 2 pL и может быть записано следующим образом:L (pc , pL )0,pc < 2 pL ,=Заметим, чтоc (pc , pL ) =[0,∞),pc = 2 pL .2прибыль в любом решении равна нулю (это важно, так какприбыль входит в доход потребителя).
Набор (c = 0, L = 0)фирма выберет и при pL /pc = 1/2, и при pL /pc > 1/2, где pL —цена труда (досуга), pc — цена бананов.Являетсянабор (cR = 0, lR = 15) решением задачи Ро⎧ ли R 2 + cR 2 → max ,⎪⎪⎨ llR , cR 0бинзонаR + p cR p L + π (p , p ), где L = 15 при ценахlpLcLcL⎪⎪ ⎩=0pL /pc = 1/2 или pL /pc > 1/2?Рассмотрим сначала случай pL /pc > 1/2. Робинзон выберетнабор, в котором отсутствуют бананы, если pL pc . Следовательно, при 1 pL /pc > 1/2 оптимальный выбор Робинзона —это (cR = 0, lR = 15). Аналогичные рассуждения верны и для294Гл.
3. Равновесиеслучая pL /pc = 1/2. На бананы Робинзон тратит весь доход,а значит, L = (pL L)/pL = 15. Следовательно, Робинзон выберет(cR = 0, lR = 15) при 1 pL /pc 1/2.Последнее условие — сбалансированность рынков — выполнено. Во-первых, это можно проверить, подставив значения распределения в условия сбалансированности lR + L = 15, cR = c.Во-вторых, так как рассматриваемое распределение Парето-оптимально, то оно допустимо, а значит, для него выполнены соответствующие условия.Итак, распределение (cR = c = 0, lR = 15, L = 0) являетсяравновесным при ценах 1 pL /pc 1/2.3.88.
(а) По условию все компоненты равновесного распределения положительны. Внутреннее решение задачи потреAAAбителя удовлетворяет условию MRS12 x1 , x2 = p1 /p2 . Внутреннее решение задачи производителя удовлетворяет условиюf (x1 ) = p1 /(p2 − t). Это означает, что в равновесном распределении не выполнено условие равенства предельной полезностипредельному продукту. В рассматриваемой экономике это условие является необходимым для внутреннего Парето-оптимального распределения (см. задачу 3.61). Следовательно, равновесноераспределение не является Парето-оптимальным. В экономикес одним потребителем в Парето-оптимальном распределении благосостояние потребителя максимально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
