Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При T B = (1 − 17 )p1 и p1 /p2 = 17 количествопервого блага, которое может купить потребитель В, составляет(17 p2 + T B )/p1 = 1, при этом выбор второго блага xB2 = 0. Этозадачиозначает, что набор (xB1 = 1, x√B2 = 0) является решением√потребителя В при T B = (1 − 17 )p1 и p1 /p2 = 17 .Осталось убедиться в выполнении условий сбалансированноBABсти рынков: xA1 + x1 = 16 и x2 + x2 = 17.ABB = 0)Итак, распределение (xA1 = 15, x2 = 17, x1 = 1, x2 √может √быть реализовано как √равновесное при p1 /p2 = 17 ,T A = ( 17 − 1)p1 и T B = (1 − 17 )p1 .3.47.
а) В рассматриваемой игре последний ход принадлежитпотребителю В, который решаетзадачуполез максимизацииuB xB1 , xB2 → max ,BxAности при предложенных ценах:1 , x2 BBp1 x1 + p2 x2 p1 ωB1 + p2 ωB2 .Решение этой задачи при p1 , p2 > 0 записываются следующим8 p + 4 p28 p1 + 4 p2, xB2 (p1 , p2 ) =. Приобразом: xB1 (p1 , p2 ) = β 1β p1 + p2β p1 + p23.6. Решения задач279β = 2 выбор потребителя В не зависит от цен: xB1 = 8, xB2 = 4.Таким образом, какие бы цены не предложил потребитель А,Aего потребление составит xA1 = 16, x2 = 4, а полезность соответственно uA (16, 4) = 20.При p1 = 0, p2 > 0 решение задачи потребителя В — этоxB1 ∈ [8, ∞), xB2 = 4. Так как, по предположению, потребитель Ввыбирает наиболее предпочтительный для потребителя А исход,то ответ совпадает со случаем положительных цен.Аналогично, при p1 > 0, p2 = 0 решение задачи потребителя В — это xB1 = 8, xB2 ∈ [4, ∞), и при беневолентном поведениипотребителя В его выбор xB1 = 8, xB2 = 4.Кривая цена–потребление — это множество наборов, соответствующих оптимальным точкам при всех возможных ценах.Пересечение бюджетной линии и кривой цена–потребление потребителем В соответствует точке оптимального выбора.
Такимобразом, если индивид A ищет цены, при которых благосостояние А было бы максимальным из возможных, А должен найтиточку на кривой цена–потребление потребителя B, в которойполезность A была бы максимальной. При каких ценах В выберетэту точку? Чтобы ответить на этот вопрос, в общем случаенужно провести бюджетную линию через найденную точку иточку начальных запасов.
Именно при соответствующих ценах Впредпочтет выбрать желаемое потребителем А распределение(см. рис. 3.33). В рассматриваемой задаче точка начальных запасов совпадает с оптимальной для А. В итоге, какие бы цены АРис. 3.33. Монополия в ящике Эджворта280Гл. 3. Равновесиене предложил, В выберет точку, в которой благосостояние Амаксимально.Заметим, что в рассматриваемом случае финальное распределение благ оптимально по Парето, в отличие от финальногораспределения в п.
(л) задачи 3.38.(б) При β = 1/2 получим xB1 (p1 , p2 ) ==8 p1 + 4 p2 B, x2 (p1 , p2 ) =p1 + 2 p216 p1 + 8 p2. Тогда потребление благ индивидом А составитp1 + 2 p28 p1 + 4 p216 p1 + 8 p2, xA,2 =8−p1 + 2 p2p1 + 2 p2а полезность, соответственно, примет значениеxA1 = 24 −24 −16 p1 + 8 p28 p1 /p2 + 528 p1 + 4 p2.+8−=p1 + 2 p2p1 + 2 p2p1 /p2 + 2Обозначим p1 /p2 = t. Тогда, чтобы выбрать цены, максимизирующие его полезность, потребитель А должен решить задачу8t + 52→ max. Однако максимизируемая функция убывает (перt+2t0вая производная равна −36/(t + 2)2 < 0).
Это означает, что приположительных ценах не достигается максимум.Изобразим ситуацию графически (см. рис. 3.34).Финальное распределение будет достигнуто при ценах p1 = 0,p2 > 0. Оно является оптимальным по Парето, как и в п.
(а).Отметим, что в п. (л) задачи 3.38 в аналогичной ситуации, нопри других функциях полезности, финальное распределение неявляется оптимальным по Парето.3.48. В формулировке задачи не указано, что x — внутреннееПарето-оптимальное распределение и что предпочтения выпуклые. Это дает основание предполагать, что утверждение можетбыть неверно.Действительно, рассмотрим экономику обмена, в которойначальные запасы обоих благ одинаковы и равны 10.
Предпочтения потребителейВ представимы функциями полез А и A AAB xB , xB = xB . ПредпоAности u x1 , x2 = x1 + xA1212 и uчтения, представимые указанными функциями полезности, являются монотонными, так как увеличение потребления обоихблаг ведет к росту полезности. Предпочтения также являютсявыпуклыми (но не строго выпуклыми для агента В). Распределе-3.6. Решения задач281Рис. 3.34.
Монополия в ящике Эджворта приводит к оптимальному поПарето распределениюние xA = (0, 10) , xB = (10, 0) является Парето-оптимальным(невозможно увеличить допустимым образом благосостояние хотя бы одного из потребителей, не уменьшая благосостояниедругого). Однако это распределение невозможно реализовать какравновесное, поскольку ни при каких ценах агент А не выберетнабор, содержащий нулевое количество любого товара. Убедитесь в этом самостоятельно, вычислив полезность при нулевомколичестве одного из товаров и при предположении, что оба блага покупаются в ненулевом количестве. В последнем случае прилюбых положительных ценах и доходе найдется набор, в которомполезность выше.
Если цена какого либо блага равна нулю, топотребитель А предъявляет неограниченный спрос на это благо.282Гл. 3. Равновесие3.49. Утверждение неверно. На рис. 3.35 изображены кривые безразличия для строго монотонных предпочтений, а такжепоказано, что внутреннее Парето-оптимальноераспределение A Bне является равноx= x ,xвесным, поскольку если набор xBявляется решением задачи потребителя В, то при соответствующихценах и доходе потребитель А выберет не xA , а xA .Отметим, что предпочтения потребителя В не являются выпуклыми, тогда как выпуклость предпочтений является одной из предРис. 3.35.
Графический при- посылок второй теоремы благомер, демонстрирующий, что состояния (см. решение задачивнутреннее Парето-оптималь- 3.23 (д)).ное распределение не всегдаможно реализовать как равновесное3.50. Утверждение неверно.Монотонность предпочтений является одной из предпосылок второйтеоремы благосостояния в формулировке, используемой в задачнике (см.
решение задачи 3.23 (д)). Однако нарушение предпосылок второй теоремы благосостояния не означает, что оптимальное по Парето распределение невозможно реализоватькак равновесное. Контрпример может быть следующим. Начальные запасы каждого блага в экономике равны 10. Пустьпредпочтения потребителя А представимы функцией полезности2 A2 AA− x2 − 6 .
Предпочтения А являютuA xA1 , x2 = − x1 − 3ся строго выпуклыми, но не являются монотонными (увеличениепотребления потребителем обоих благ не ведет к увеличению поAВ предлезности при xA1 = 3, x2 = 6). Предпочтения B B потребителяBBBставимы функцией полезности u x1 , x2 = x1 + x2 . Предпочтения В являются строго монотонными (увеличение потребленияобоих благ всегда ведет к росту полезности) и выпуклыми (ноABне строго выпуклыми). Распределение (xA1 = 3, x2 = 6, x1 = 7,Bx2 = 4) является Парето-оптимальным.
Потребитель А достигмаксимальной полезности в этом распределении, поэтому егоблагосостояние увеличить невозможно. Увеличить благосостояние потребителя В допустимым образом можно, только отняв3.6. Решения задачРис. 3.36. Нарушение предпосылок второй теоремы благосостояния не означает, чтоПарето-оптимальное распределение невозможно реализоватькак равновесное283Рис. 3.37. Равновесное распределение является Парето-оптимальным при нарушении предпосылки монотонности предпочтенийхотя бы некоторое количество одного из благ у А, что приведетк уменьшению благосостояния последнего.
Указанное распределение реализуемо как равновесное в экономике с трансфертамипри ценах p1 /p2 = 1 и доходах потребителей mA = 3 p1 + 6 p2 иmB = 7 p1 + 4 p2 (см. рис. 3.36).3.51. Утверждение неверно. Согласно первой теореме благосостояния в формулировке, принятой в этом задачнике (см.решение задачи 3.23 (г)), если предпочтения всех потребителей монотонны, то равновесное распределение оптимальнопо Парето. Однако нарушение предпосылки не означает, чтоневерен и результат.
Пусть в экономике, в которой есть по10 ед. каждого блага, предпочтения потребителя А представи2 A2 AA− x2 − 6 ,мы функцией полезности uA xA1 , x2 = − x1 − 3а предпочтения потребителя В представимы функцией полезно2 2сти uB xB1 , xB2 = − xB1 − 7 − xB2 − 4 . Предпочтения обоихпотребителей не удовлетворяют свойству монотонности и удовлеAтворяют свойству выпуклости.
Распределение (xA1 = 3, x2 = 6,BBx1 = 7, x2 = 4) является Парето-оптимальным, поскольку обапотребителя достигают максимального благосостояния, а значит,увеличить чье-либо благосостояние невозможно. Это распределение может быть реализовано как равновесное при любых ценах284Гл. 3. Равновесиеи доходах потребителей mA = 3 p1 + 6 p2 и mB = 7 p1 + 4 p2 (см.рис. 3.37).В качестве другого примера можно рассмотреть распределение, являющееся точкой касания толстых кривых безразличия(см. рис. 3.38).
Присутствиетаких кривых безразличия говорит о том, что предпочтения потребителей не являются монотонными. Читателям предоставляется возможность самостоятельно задатьвид функций и найти соответствующее распределение аналитически.A3.55. (а) Набор (xA1, x2,Bx2 , p1 , p2 ) называетсяравновесием по Вальрасу,если: A— решение(1) xA1, x2задачи потребителя А приравновесных ценах p1 , p2 : A Ax1 x2 → max ,xB1 ,Рис. 3.38. Предпочтения не удовлетворяют свойству монотонности, однако равновесное распределение Парето-оптимальноAxA1 , x2 0Ap2 x2 10 p1++ 3 p2 ; B B2 — решение задачи потребителя В при равновес(2) x1 , xных ценах p1 , p2 : B3x1 + xB2 → max ,p1 xA1p1 xB1+xB1 , xB2 0p2 xB2 8 p1 + 6 p2 ;B1 = 18 и xAB2 = 9.(3) рынки уравновешены: xA1 + x2 + xЗаметим, что если равновесие в данной экономике существует, то только при положительных ценах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
