Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 46
Текст из файла (страница 46)
3. Равновесиебителя А:xA1 (p1 , p2 ) =2 mA2(9 p1 + 3 p2 )18 p1 + 6 p2p2===6+2 ,3 p13 p13 p1p1mA9 p1 + 3 p2p1==1+3 .3 p23 p2p2⎧ ⎨ xB 1/2 · xB 1/2 → max ,12xB1 0,xB2 0Задача потребителя B :⎩BBp1 x1 + p2 x2 = 12 p1 + 5 p2 .xA2 (p1 , p2 ) =Функции спроса потребителя В:xB1 (p1 , p2 ) =mB12 p1 + 5 p25 p2==6+ · ,2 p12 p12 p1xB2 (p1 , p2 ) =p1mB12 p1 + 5 p25== +6 .2 p22 p22p2Следует заметить, что спрос потребителей на каждое благо,а значит, и избыточный спрос в рассматриваемой экономикеопределен только для положительных цен.Теперь найдем избыточный спрос на каждое благо:BABz1 (p1 , p2 ) = xA1 (p1 , p2 ) + x1 (p1 , p2 ) − ω1 − ω1 =5 p29 p2p2− 21 = ·− 9,=6+2 +6+ ·p12 p12 p1BABz2 (p1 , p2 ) = xA2 (p1 , p2 ) + x2 (p1 , p2 ) − ω2 − ω2 =p1p1 9p1 5=1+3 + +6 −8=9 − .p2 2p2p2 2Вычислим стоимость совокупного избыточного спроса:p1 z1 (p1 , p2 ) + p2 z2 (p1 , p2 ) =999 p2p1 9·= p2 − 9 p1 + 9 p1 − p2 = 0− 9 + p2 9 −= p12 p1p2 222для всех цен, при которых определен избыточный спрос. Следовательно, как мы и ожидали, закон Вальраса в данной экономикевыполнен.(ж) Приведем определение равновесия по Вальрасу для рассматриваемой экономики:3.6.
Решения задач261Набор (p1 , p2 , xAAB1 , xB2 ) является равновесием по Валь1, x2, xрасу в даннойесли Aэкономике,Aявляетсярешением задачи потребителя А:1) набор x1 , x22/3 · (xA )1/3 →max ,(xA1)2p1 xA1+AxA1 0,x2 0p2 xA2 9 p1 + 3 p2 ,при равновесныхp1 , p2 ); B B ценах (2 является решением задачи потребителя В:2) набор x1 , x⎧ ⎨ xB 1/2 · xB 1/2 → max ,12⎩p1 xB1+xB1 0,xB2 0p2 xB2 12 p1 + 5 p2 ,при равновесных ценах (p1 , p2 );3) все рынки уравновешены:B1 = 21,xA1 +xxAB2 = 8.2 +xЗамечание. Пункт 1) определенияможет быть A равновесияAявляетсярешениемзаписан следующим образом. Набор x1 , x2задачи потребителя А: A 2/31/3 →max ,(x1 ) · (xA2)p1 xA1+p2 xA2AxA1 0,x2 0 9 p1 + 3 p2 .Главное, чтобы из определения было понятно, что потребитель решает задачу при равновесных ценах. Аналогичное замечание верно и для п.
2).(з) Следуя определению, найдем равновесие по Вальрасу,уравновесив рынок первого блага (как следствие закона Вальраса, цены, уравновешивающие спрос и предложение на рынкепервого блага, автоматически приведут в равновесие и второйрынок):5 p22 p2+6+ ·= 21,1 , p2 + xB1 p1 , p2 = 21, т. е. 6 +xA1 pp12 p1 xA1xB2p1 = 2. Теперь, подставляя равновесные ценыоткуда находим p2 /в функции спроса потребителей, найдем объемы спроса на оба262Гл. 3. Равновесиеблага для каждого потребителя в равновесии:p25 p25= 6 + 2 · 2 = 10, xB1 = 6 + ·= 6 + · 2 = 11,p12 p121 5p11p1 5B2 = 6 + = 5 · + = 5,5.+ 1 = 3 · + 1 = 2,5, xxA2 =3p22p2 22 2xA1 =6+2Замечание.
Найдя объем спроса потребителя А на первое благо, объем спроса потребителя В на первое благо можно найти из условия сбалансированности рынка первого блаBB1 = ωAга, xA1 +x1 + ω1 = 21. Аналогичным образом можно найти объем спроса потребителя В на второе благо из условияBB2 = ωAxA2 +x2 + ω2 = 8.Таким образом, равновесие в данной экономике будет следуp1 = 2, xAAB1 = 11, xB2 = 5,5.ющим: p2 /1 = 10, x2 = 2,5, x(и) Выведем уравнение кривых цена–потребление.
Решениезадачи потребителя А,2/3 · (xA )1/3 →max ,(xA1)2p1 xA1+ p2 xA2AxA1 0,x2 0= 9 p1 + 3 p2 ,при положительных ценах, записывается следующим образом:6 p1 + 2 p2p≡ 6 + 2 2,p1p13p+pp12≡ 3 1 + 1.xA2 (p1 , p2 ) =p2p2xA1 (p1 , p2 ) =Выразив отношение ценp2xA − 6= 1из выражения для спросаp12на первое благо и подставив в функцию спроса на второе благо,получим уравнение кривой цена–потребление потребителя А: AxA1A. Заметим, что только при xAx=xA211 > 6 значения x2Ax1 − 6положительные. Исследование функции показывает, что функ 6A =−<0и при xAxция убываетxA211 > 6 выпукA2(x−6)1 12A =>0 .лаxA2 x1A3(x1 − 6)Аналогично можно вывести уравнение кривой цена потребле 5 xB1.ние для потребителя В: xB2 xB1 =B2(x1 − 6)3.6. Решения задачВ точке пересечения263xA5 xB11= 8−.
Воспользовав−62(xB1 − 6)xA1шись условием допустимости xB1 = 21 − xA1 , получим уравнениеxA5(21 − xA11)=8−. Уравнению удовлетворяют два корня:Ax1 − 62(15 − xA1)AxA1 = 10 и x1 = 9. Подставив полученные корни в уравнениеAкривой цена–потребление для А, получим xA2 = 2,5 и x2 = 3 соответственно. Из условий допустимости найдем xB1 = 11, xB2 = 5,5ABBAпри xA1 = 10 и x2 = 2,5, а также x1 = 12, x2 = 5 при x1 = 9 иxA2 = 3.ABBКак видим, распределение (xA1 = 9, x2 = 3, x1 = 12, x2 = 5) —это точка начальных запасов.
Однако является ли это распредеAление равновесным? В равновесии набор xA1 = 9, x2 = 3 и наборBBx1 = 12, x2 = 5 должны быть выбраны потребителями А и В соответственно, при одинаковых ценах. Во внутреннем решении заk = p /p .дачи потребителя k = {A, B} выполнено условие MRS121 2ABОднако в точке начальных запасов MRS12 = MRS12. Таким образом, точка начальных запасов не является равновесным распределением.AВ другом найденном распределении, (xA1 = 10, x2 = 2,5,BBABx1 = 11, x2 = 5,5), имеем MRS12 = MRS12 = 1/2.
Так какпредпочтения, представимые функциями Кобба–Дугласа, выпуклы и строго монотонны на внутренних наборах, то условиеk = p /p , k = {А, В}, является не только необходимым, ноMRS121 2и достаточным для внутренних решений.ABТаким образом, распределение (xA1 = 10, x2 = 2,5, x1 = 11,Bx2 = 5,5) — равновесное при ценах p1 /p2 = 1/2.Изобразим пересечение кривых цена–потребление в ящикеЭджворта (см. рис. 3.22).Кривая цена–потребление — это множество наборов, соответствующих оптимальным точкам при всех возможных отношенияхцен.
Таким образом, пересечение бюджетной линии и кривойцена–потребление — это точка оптимального выбора. В этойточке бюджетная линия является касательной кривой безразличия для функции Кобба–Дугласа. Равновесные наборы являютсярешением задач потребителей при равновесных ценах. Такимобразом, в равновесном распределении кривые безразличия потребителей соприкасаются, как показано на рис. 3.23.264Гл.
3. РавновесиеРис. 3.22. Равновесное распределение соответствует точке пересечения кривых цена–потреблениеРис. 3.23. Равновесное распределение соответствует точке пересечения кривых цена–потребление, где кривые безразличия потребителейкасаютсяВ точке начальных запасов кривые цена–потребление пересекаются, но эта точка является оптимальным выбором потребителей при разных ценах.(к) 1-й вариант решения.Заметим, что в рассматриваемом распределении выполненыB1 = 21 и xAB2 = 8.условия сбалансированности рынков: xA1 +x2 +xТак как предпочтения потребителя А выпуклы и строго монотонны на внутренних наборах, функция полезности дифферен-3.6.
Решения задач265цируема, то внутреннее решение задачи потребителя А удовлетворяет следующим достаточным условиям:A = p /p ,MRS1,21 2AAp1 xA1 + p2 x2 = 9 p1 + 3 p2 + T .Аналогично, так как предпочтения В выпуклы и строго монотонны на внутренних наборах, функция полезности дифференцируема, то внутреннее решение задачи потребителя В удовлетворяет достаточным условиям:B = p /p ,MRS1,21 2p1 xB1 + p2 xB2 = 12 p1 + 5 p2 + T B .Вычислим предельные нормы замещения потребителей в точAB1 = 7, xB2 = 4):ке x = (xA1 = 14, x2 = 4, xA(x) = 2 xAxAMRS122 /1 = 2 · 4/14 = 4/7,B(x) = xB2 /xB1 = 4/7,MRS12т. е.
в данной точке потребители имеют одинаковые предельныенормы замещения. Следовательно, в качестве равновесного отp2 = 4/7. Положим p1 = 4, тогданошения цен можно выбрать p1 /A = (14, 4)p2 = 7. При таких ценах для приобретения набора xA2 xAпотребителю А потребуется доход, равный p1 x1 + p2 == 4 · 14 + 7 · 4 = 84, тогда как доход потребителя А при данныхценах, равный стоимости первоначального запаса, составляетAA1 + ω2 = 9 · 4 + 3 · 7 = 57. Таким образом, трансфертω1p2pпотребителю А составит TA = 27.Замечание.
Нормировку можно не вводить. Уравнение бюдAAжетной линии p1 xA1 + p2 x2 = 9 p1 + 3 p2 + T разделим на p2 , отp2 = 4/7 и xA = (14, 4), найдем TA = 27 p2 /7.куда, подставив p1 /Аналогично найдем трансферт для потребителя В: B1 + p2 ω B2 ) =B1 + p2 xB2 − (p1 ωTB = p1 x= 4 · 7 + 7 · 4 − (4 · 12 + 7 · 5) = −27.Замечание. Без введения нормировки трансферт для В составит TB = −27 p2 /7.AB1 = 7,Следовательно, распределение x = (xA1 = 14, x2 = 4, xxB2 = 4), цены p1 = 4, p2 = 7 и трансферты TA = 27, TB = −27266Гл. 3. Равновесиесоставляют равновесие с трансфертами, поскольку удовлетворяют всем его условиям: 1) набор xA = (14, 4) является решениемзадачи потребителя А при ценах p1 = 4, p2 = 7 и трансфертеB = (7, 4) является решением задачи поTA = 27; 2) набор xтребителя В при ценах p1 = 4, p2 = 7 и трансферте TB = −27;B1 = 21 и xAB2 = 8; 4) выполнен3) рынки уравновешены: xA1 +x2 +xфинансовый баланс: TA + TB = 0.Заметим, что тот факт, что нам удалось реализовать распреAB1 = 7, xB2 = 4) как равновесделение x = (xA1 = 14, x2 = 4, xное, обусловлен выполнением всех предпосылок второй теоремы благосостояния: данное распределение является внутреннимПарето-оптимальным распределением, а предпочтения потребителей выпуклы и монотонны.2-й вариант решения.По определению равновесия с трансфертами набор xA == (14, 4) должен являться решением задачи потребителя А принекоторых ценах p1 , p2 и трансферте TA , т.
е. при данных ценахи трансферте набор должен удовлетворять функциям спроса,полученным в п. (а):xA1 (p1 , p2 ) =2 mA2(9 p1 + 3 p2 + T A )=,3 p13 p1xA2 (p1 , p2 ) =mA9 p1 + 3 p2 + T A=.3 p23 p2AПодставив xA1 = 14 и x2 = 4, получим следующие соотношения:14 = 2(9 p1 + 3 p2 + TA )/(3 p1 ),(3.4)4 = (9 p1 + 3 p2 + TA )/(3 p2 ).(3.5)Теперь разделим (3.4) на (3.5):2(9 p1 + 3 p2 + TA )/(3 p1 )14,=4(9 p1 + 3 p2 + TA )/(3 p2 )p1 = 7/4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
