Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Тогда из равенства предельной нормы замещения отношению цен,2 2получим, что во внутреннем решении xA2 = p1 /p2 . Максимальное количество второго блага, которое может себе позволитьпотребитель, равно величине дохода, деленной на цену второго блага. Тогда для того, чтобы решение было внутрен2 2ним, должно быть выполнено xA2 = p1 /p2 < 16 p1 /p2 , откудаA22p1 /p2 < 16. Подставляя x2 = p1 /p2 в бюджетное ограничение,2получим p1 xA1 + p1 /p2 = 16 p1 , откуда найдем, что во внутреннемAрешении x1 = (16 p1 − p21 /p2 )/p1 .
Если же p21 /p2 16 p1 , а значит, p1 /p2 16, то решение будет граничным, как показано нарис. 3.31.Таким образом, спрос потребителя А задается следующимобразом:16 − p1 /p2 , p1 /p2 < 16,xA1 (p1 , p2 ) =0,p1 /p2 16; 2 2p1 /p2 ,p1 /p2 < 16,xA2 (p1 , p2 ) =16 p1 /p2 , p1 /p2 16.Заметим также, что при нулевой цене как первого, так и второго товаров задача потребителя А не имеет решения, посколькупредпочтения этого потребителя строго монотонны. При этихценах спрос на оба товара со стороны потребителя А был быбесконечно большим, а следовательно, уравновешенность рынковпри нулевой цене любого блага не могла бы быть реализованав силу ограниченности запасов товаров в экономике. Поэтому274Гл.
3. РавновесиеРис. 3.31. При p21 /p2 16 p1 максимальное значение полезности потребителя А достигается в точке (0, 16 p1 /p2 )далее при поиске равновесия мы исключим нулевые цены израссмотрения, несмотря на то, что при нулевой цене как первого,так и второго товаров задача потребителяВ имеет решение.⎧ ⎨ xB − xB 2 /4 → max ,11xB1 , xB2 0Решим задачу потребителя В:⎩BBp1 x1 + p2 x2 17 p2 .МаксимальнуюполезностьпотребительВ достигает на набоBрах 2, x2 для любого неотрицательного значения xB2 . Следовательно, потребитель В купит две единицы первого блага, если2 17 p2 /p1 , так как 17 p2 /p1 — это максимальное количествопервого блага, которое может позволить себе потребитель. ТогдаxB2 можно найти из бюджетного ограничения: 2 p1 + p2 xB2 17 p2 ,откуда xB2 ∈ [0, (17 − 2 p1 /p2 )].
Если 2 > 17 p2 /p1 , то потребитель В купит столько первого блага, насколько хватит его дохода, а второе благо покупать не будет. Таким образом, функцияспроса потребителя В:2,p2 /p1 2/17,Bx1 (p1 , p2 ) =17 p2 /p1 , p2 /p1 < 2/17;⎧0, (17 − 2 p1 /p2 ) , p2 /p1 2/17,⎪⎪⎨0,p2 /p1 < 2/17,Bx2 (p1 , p2 ) =любоеколичество,p⎪2 /p1 = 0,⎪⎩p1 /p2 = 0.0, 17 p2 /p2 ,3.6. Решения задач275Рис.
3.32. Решения задач потребителей в различных интервалах ценНа рис. 3.32 указаны решения задач потребителей в различных интервалах цен.Рассмотрим p2 /p1 2/17. Условие сбалансированности рын2 = 16 выполнено при отнока первого блага 16 − p1 /p2 + xA1BωA1 +ω1xB1шении цен p2 /p1 = 1/2 2/17. В этой задаче необходимо проверить уравновешенность обоих рынков, так как предпочтенияпотребителя В не являются монотонными, поэтому нет гарантиивыполнения закона Вальраса, и его выполнение не было проверено выше. Проверим, уравновешен ли при этих ценах рыноквторого блага.
Объем спроса потребителя А на второе благопри ценах p2 /p1 = 1/2 составляет xA2 = 4. Для того чтобы быBло выполнено условие сбалансированности xA2 + x2 = 17, объемспроса на второе благо потребителя В должен быть xB2 = 13. Принайденных ценах в решении задачи потребителя В выполненоxB2 ∈ [0, 13]. Таким образом, набор (xB1 = 2, xB2 = 13) принадлежитмножеству решений задачи потребителя В при найденных ценах.p1 = 1/2,Следовательно, равновесием является набор (p2 /A = 4, xB = 2, xB = 13).=14,xxA1212Рассмотрим интервал отношения цен p2 /p1 ∈ (1/16, 2/17).
Изусловия сбалансированности рынка первого блага:16 − p /p + 17p2 /p1 = 16, 1 2 xA1xB1276Гл. 3. Равновесие√найдем p2 /p1 = 1/ 17 . Однако найденное отношение цен не принадлежит интервалу (1/16, 2/17). Таким образом, не существуетравновесия при p2 /p1 ∈ (1/16, 2/17).Осталось рассмотреть интервал отношения цен p2 /p1 ∈∈ (0, 1/16]. В этом случае условие сбалансированности рынкапервого блага записывается как 0 + 17p2 /p1 = 16, откуда xA1xB1/ (0, 1/16]. Следовательно, при p2 /p1 ∈ (0, 1/16]p2 /p1 = 16/17 ∈равновесие в задаче не существует.Подводя итог, можем сказать, что в экономике существуетBp1 = 1/2, xAAединственное равновесие (p2 /1 = 14, x2 = 4, x1 = 2,Bx2 = 13).BBAРавновесное распределение (xA1 = 14, x2 = 4, x1 = 2, x2 = 13)не является Парето-оптимальным, так как для него существуют Парето-улучшения.
Например, в допустимом распределеAB1 = 2, xB2 = 0) полезностьнии (xA1 = 14, x2 = 17, x√ потребителя А выше,√ чем в равновесном: uA (14, 4) = 4 + 14 >> uA (14, 17) = 17 + 14, а полезность потребителя В — такаяже uB (2, 13) = uB (2, 0) = 1.Одним из наиболее известных утверждений в микроэкономике является первая теорема благосостояния, в соответствии с которой равновесное распределение является Парето-оптимальнымпри довольно слабых предпосылках.
В задачнике рассматривается формулировка, в которой требуется монотонность предпочтений. Однако предпочтения потребителя В не являются монотонными. В этом случае невозможно сослаться на первую теоремублагосостояния — равновесное распределение может оказатьсякак Парето-оптимальным, так и не Парето-оптимальным.AB1 = 0, xB2 = 17) и(в) Распределения (xA1 = 16, x2 = 0, xABB= 14, x2 = 9, x1 = 2, x2 = 8) не являются Парето-оптимальными (см. п. (а)). Однако нельзя сослаться на первую теоремублагосостояния, чтобы отклонить возможность реализации этихраспределений как равновесных, поскольку предпочтения потребителя В не являются монотонными.
Как было показано в п. (а),ABBраспределение (xA1 = 15, x2 = 17, x1 = 1, x2 = 0) Парето-оптимально, но в экономике нарушены предпосылки второй теоремыблагосостояния о монотонности предпочтений потребителя В,поэтому Парето-оптимальное распределение — граничное. Это(xA13.6. Решения задач277означает, что нет никаких гарантий относительно реализацииэтого распределения как равновесного.Рассмотрим первое из заданных распределений. Не существует положительных цен, при которых потребитель А приположительном доходе выберет набор, в котором отсутствуетAвторое благо, а значит, и набор (xA1 = 16, x2 = 0).
Если доходпотребителя А — нулевой, то он, при положительных ценах, несможет приобрести набор, в котором содержится положительноеколичество первого блага. Таким образом, соответствующее распределение нельзя реализовать как равновесное.AПопытаемся реализовать распределение (xA1 = 14, x2 = 9,BBx1 = 2, x2 ⎧= 8) какравновесное. Рассмотрим задачу потре⎨ xA + 2 xA → max ,12AxAВнутреннее решениебителя А:1 , x2 0⎩AAAp1 x1 + p2 x2 16 p1 + T .A = p /p , котороеэтой задачи удовлетворяет условию MRS121 2в рассматриваемой задаче является не только необходимым,2 2но и достаточным, и xA2 = p1 /p2 .
В заданном распределенииAx2 = 9. Такой выбор потребитель А будет делать при ценахp2 = 3. Из бюджетного ограничения, выполненного в решеp1 /нии как равенство, в силу монотонности предпочтений найA2Aдем xA1 = (16 p1 + T − p1 /p2 )/p1 . Подставив x1 = 14, найдемAp2 = 3. Следовательно, набор (xAAT = p1 при p1 /1 = 14, x2 =9)p2 = 3 иявляется решением задачи потребителя А при ценах p1 /трансферте T A = p1 .Заметим, что для того, чтобы было выполнено T A + T B = 0,p1 .трансферт потребителю В должен составить T B = −Рассмотрим решение задачи потребителя В:⎧ ⎨ xB − 0,25 xB 2 → max ,11xB , xB 0⎩ p xB + p xB 17 p 1+ 2T B .1 12 22Для того чтобы потребитель мог позволить купить xB1 = 2, должBp1но быть выполнено условие 2 p1 17 p2 + T .
При T B = −и p1 /p2 = 3 это условие выполнено. Оставшийся от покупкипервого блага доход потребитель В может потратить на покупкувторого блага, что означает xB2 ∈ 0, (17 p2 + T B − 2 p1 )/p2 . Приp1 и p1 /p2 = 3 выполнено (17 p2 + T B − 2 p1 )/p2 = 8. СлеT B = −278Гл. 3. Равновесиедовательно, набор (xB1 = 2, xB2 = 8) является решением задачиBp1 и p1 /p2 = 3.потребителя В при T = −Для заданного распределения выполнены условия сбалансиBABрованности рынков: xA1 + x1 = 16 и x2 + x2 = 17.AAB1 = 2, xB2 =Таким образом, распределение (x1 = 14, x2 = 9, x= 8) является равновесным при ценах p1 /p2 = 3 и трансфертахp1 .T A = p1 и T B = −ABПерейдем к анализу распределения (xA1 = 15, x2 = 17, x1 = 1,xB2 = 0). Как было показано в п.
(б) (и этот факт уже исполь2 2зазовался выше в п. (в)), xA2 = p1 /p2 во внутреннем решении√Aдачи потребителя А. При x2 = 17 найдем p1 /p2 = 17 . Количество первого блага, потребляемого А, находитсяиз условия√AAx1 = (16 p1 + T − 17 p2 )/p1 . При p1 /p2 = 17 выбор√ потребиA = ( 17 − 1)p .=15притрансфертеTтеля А составляет xA11AрешениемТаким образом, набор (xA1 = 15, x√2 = 17) Aявляется√задачи потребителя А при p1 /p2 = 17 и T = ( 17 − 1)p1 .T B = 0, трансДля того чтобы было выполнено условие T A +√Bферт потребителю В должен составить T = (1 − 17 )p1 .Потребитель В выбирает xB1 = 1 в случае, если его доход позволяет купить ровно одну единицу первого блага (если бы доходбыл больше, то потребитель В√ выбрал бы бо́льшее√ количествопервого блага).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
