Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(в).(д) Приведите пример ситуации, когда одна предпосылкаутверждения п. (в) нарушена и точка первоначального запасане является единственным равновесным распределением (т. е.утверждение не верно). Обоснуйте свой ответ!3.3. Экономика с производством: Парето-оптимальныераспределения3.60.* Рассмотрите экономику с одним потребителем А,предпочтениякоторого представимы функцией полезностиA , и одной технологией, позволяющей производить вто,xuA xA12рое благо из первого, y2 = f (x1 ), где f (x1 ) — производственнаяAфункция. Начальные запасы благ в экономике ωA = ωA1 , ω2 .(а) Приведите определение допустимого распределения.(б) Приведите определение распределения оптимального поПарето.3.61.
Рассмотрите экономику с одним потребителем А иодной технологией. В экономике два потребительских блага.Технология позволяет произвести из первого блага второе согласно технологическому процессу, который может быть опи-3.3. Экономика с производством: Парето-оптимальные распределения225сан дифференцируемой возрастающей производственной функдифцией y2 = f (x1 ). Предпочтения потребителя представимыA , для которой,xференцируемой функцией полезности uA xA121чтодлявнутреннего∂uA /∂xAi > 0, где i = 1, 2. Покажите, A AПарето-оптимальногораспределения x1 , x2 , x1 , y2 выполнено A AA (x=f,xx).MRS1,12123.62.* Рассмотрите экономику с одним потребителем и однойтехнологией. Предпочтения потребителя представимы функцией полезности, такой, что ∂uA /∂xAi > 0, i = 1, 2. Технологияпозволяет произвести из первого блага второе.
Технологическийпроцесс задается производственной функцией A y2 A= f (x1 ). Известно, что во внутреннемраспределении x1 , x2 , x1 , y 2 вы A AAx,x=6.Покажите, что распределение неполнено MRS1,212является Парето-оптимальным, построив Парето улучшение, если (а) f (x1 ) = 9; (б) f (x1 ) = 2. Как изменится Ваш ответ, еслипредположить, что не известно, является ли рассматриваемоераспределение внутренним?3.63.
Рассмотрите двухтоварную экономику с одной технологией, позволяющей произвести второе благо из первого, иодним потребителем, предпочтения которого представимы функцией полезности Кобба–Дугласа. Начальные запасы обоих благAв экономике положительны, ωA1 > 0, ω2 > 0, и пусть f (0) = 0.Может ли в такой экономике существовать Парето-оптимальноераспределение, в котором(а) потребление хотя бы одного блага потребителем нулевое?(б) величины затрат блага x1 и выпуска блага y2 равны нулю?3.64. Рассмотрите экономику в которой предпочтенияпотребителяпредставимыфункциейполезности A A A 1/5 A 1/5A. Начальные запасы благ ωAx2u x1 , x2 = x11 = 12,Aω2 = α, где α > 0.
Технология позволяет из каждой единицыпервого блага произвести 3 единицы второго блага. Пустьв пунктах (а) и (б) значение параметра α = 72.1Обычно распределение называется внутренним, если в нем потреблениепотребителем обоих благ ненулевое. Поэтому точка, в которой xA1 = ωA1 > 0,xA2 = ωA2 > 0, вообще говоря, является внутренней. Однако в этом разделебудем называть все точки распределения, в которых хотя бы одна компонентаравна нулю, краевыми или граничными, например, точку (xA1 = ωA1, xA2 = ωA2 ,x1 = 0, y2 = 0).226Гл. 3.
РавновесиеA(а) Является ли распределение (xA1 = 2, x2 = 102, x1 = 10,y2 = 30) допустимым?(б) Найдите все Парето-оптимальные распределения.(в) Найдите все значения параметра α > 0, при которых Парето-оптимальное распределение граничное. Какое это распределение? A 2 A 2A+ x2 . Технология позво3.65.
Пусть uA xA1 , x2 = x1ляет из каждых двух единиц первого блага произвести однуAединицу второго блага. Начальные запасы благ ωA1 = 25, ω2 = 0.A(а) Рассмотрите распределение (xA1 = 6, x2 = 12, x1 = 24,y2 = 12). Является ли оно Парето-оптимальным? Аргументируйтесвой ответ.A(б) Рассмотрите распределение (xA1 = 5, x2 = 10, x1 = 20,y2 = 10). Является ли оно Парето-оптимальным? Аргументируйтесвой ответ.3.66. Рассмотрите экономику с одним потребителем и однимA xA , xA =производителем.Функцияполезностипотребителяu12AAA 0. Тех= min 2xA1 , x2 .
Начальные запасы благ ω1 = 5, ω2 √нология задается производственной функцией f (x1 ) = x1 .(а) Пусть ωA2 = 0. Найдите Парето-оптимальные распределения. Приведите графическую иллюстрацию.(б) Существуют ли в модели значения ωA2 , при которых в Парето-оптимальном распределении x1 = 0 и y2 = 0?3.67. Рассмотрите экономикус одним потребителем, функA = α xA + xA , где параметр,xция полезности которого uA xA1212Aα > 0. Начальные запасы благ ω1 = 9, ωA2 = 1.(а) Технология позволяет из каждых трех затраченных единиц первого блага произвести единицу второго блага. Укажите,при каких значениях α > 0 Парето-оптимальные распределения являются угловыми/внутренними. Найдите соответствующие распределения.
Приведите графические иллюстрации.(б) Пусть α = 2, а технология задается производственнойфункцией f (x1 ) = x21 . Найдите все Парето-оптимальные распределения. Приведите графическую иллюстрацию.(в) Выполните задание пункта (а), если технология можетбыть описана производственной функцией f (x1 ) = x21 . Проиллюстрируйте свой ответ.3.4. Экономика с производством: равновесие по Вальрасу2273.68. Рассмотрите экономику, в которой предпочтения потреA = xA +,xбителя представимы функцией полезности uA xA121A+ α xA2 , где параметр α > 0.
Начальные запасы благ ω1 = 16,ωAблага (y2 ) задается2 = 1. Технология производства второго√производственной функцией f (x1 ) = 2 x1 .A(а) Будет ли распределение (xA1 = 12, x2 = 6, x1 = 4, y 2 = 4)допустимым? Существуют ли значения параметра α, при которыхраспределение Парето-оптимально?(б) Пусть α = 3. Найдите все Парето-оптимальные распределения. Приведите графическую иллюстрацию.(в) Пусть α = 5. Найдите все Парето-оптимальные распределения. Приведите графическую иллюстрацию.(г) Укажите все значения параметра α > 0, при которых Парето-оптимальное распределение будет внутренним.3.69. Рассмотрите экономику с одной технологией, позволяющей из каждой единицы первого блага производить четыреединицы второго, и одним потребителем, функция полезностикоторого⎧AAxA ⎨ xA1 x2 ,1 x2 < 2,AAAAu x1 , x2 =2,2 xA1 x2 5,⎩ A AAx1 x2 − 3, xA1 x2 > 5.AНачальные запасы ωA1 = 2, ω2 = 0.
Изобразите все Парето-оптимальные распределения на рисунке. Аргументируйте свой ответ.3.4. Экономика с производством:равновесие по Вальрасу, закон Вальраса,равновесие и оптимальность3.70. Рассмотрите экономику с одним потребителем и однойтехнологией, позволяющей произвести второе благо из первого.Верно ли, что равновесное распределение будет допустимым?3.71.
Рассмотрите двухтоварную экономику с двумя потребителями А и В, предпочтения которых представимы функциямиAAABBBполезности u x1 , x2 и u x1 , x2 . В экономике также естьодна технология, позволяющая производить из первого благавторое по технологии, задаваемой производственной функцией228Гл. 3.
Равновесиеy2 = f (x1 ). Покажите, что если предпочтения потребителей монотонны, то выполнен закон Вальраса:BAp1 xA1 (p1 , p2 ) + x1 (p1 , p2 ) + x1 (p1 , p2 ) − ω1 +BA+ p2 xA2 (p1 , p2 ) + x2 (p1 , p2 ) − x2 (p1 , p2 ) − ω2 = 0для всех цен, при которых определен спрос.AA1 , y2 равновесие в экономике3.72.* Пусть p1 , p2 , x1, x2, xс производством (технология позволяет производить из первогоблага второе) потребителем А. Покажите, что распреде A A и одним2 , x1 , y2 Парето-оптимально.ление x1 , xЗамечание: условие задачи является формулировкой первойтеоремы благосостояния для экономики с одним потребителем.Обратите внимание, что, в отличие от экономики обмена, рассмотренной выше (см.
решение задачи 3.23 (г)), в предпосылкахтеоремы отсутствует монотонность предпочтений.3.73.* Рассмотрите экономику с одним потребителем и однимпроизводителем.Функция полезности потребителя имеет вид:A = xA xA . Начальные запасы благ ωA = 3, ωA = 0.,xuA xA121 212√Технология задается производственной функцией f (x1 ) = 2 x1 .(а) Найдите все Парето-оптимальные распределения.(б) Проверьте выполнение закона Вальраса в рассматриваемой экономике.(в) Запишите определение равновесия по Вальрасу.(г) Найдите равновесие, следуя определению равновесия.(д) Существует ли альтернативный способ поиска равновесия?3.74.
Рассмотрите экономику с одним потребителем и одним, xA=производителем. Функция полезности потребителя uA xA12 A 2AAA= x1 x2 . Начальные запасы благ ω1 = 5, ω2 = 9. Технологияпозволяет из каждой единицы первого блага произвести триединицы второго блага.(а) Проверьте выполнение закона Вальраса в рассматриваемой экономике.(б) Найдите равновесие, следуя определению равновесия. Будет ли равновесное распределение Парето-оптимальным?(в) Предположим, правительство ввело 30% налог на прибыль фирмы. Доходы от сбора налога передаются потребите-3.4. Экономика с производством: равновесие по Вальрасу229лю. Не выполняя расчетов, ответьте, как изменятся равновесноераспределение и цены? Зависит ли Ваш ответ от предпочтенийпотребителя? Технологии?3.75.
Рассмотрите экономику с одним потребителем и однимA xA , xA =производителем.Функцияполезностипотребителяu12AAA = 10.= min 2xA1 , x2 . Начальные запасы благ ω1 = 10, ω2 √Технология задается производственной функцией f (x1 ) = x1 .(а) Проверьте выполнение закона Вальраса в рассматриваемой экономике.(б) Найдите равновесие, следуя определению равновесия. Будет ли равновесное распределение Парето-оптимальным?3.76. Рассмотрите экономику, в которой предпочтенияAпотребителя представимы функцией полезности uA xA1 , x2 =AAA= xA2 − 4x1 . Начальные запасы благ ω1 = 10, ω2 = 0. Технологияпозволяет из каждой единицы первого блага произвести 5 ед.второго блага.(а) Выполнен ли в рассматриваемой экономике закон Вальраса?(б) Найдите все равновесия по Вальрасу.
Приведите графические иллюстрации.3.77.* Рассмотрите экономику с потребителем, предпочте, xA=ния которого представимы функцией полезности uA xA12 A 2AAA= x1 x2 . Начальные запасы благ ω1 = 3, ω2 = 1. Производ√ственная функция f (x1 ) = x1 . В некотором допустимом внутреннем распределении xA1 = 2. Найдите остальные компонентыраспределения. Можно ли реализовать это распределение какравновесное? Если да, то реализуйте. Если нет, то объяснитепочему.3.78.* Рассмотрите экономику с потребителем, предпочте, xA=ния которого представимы функцией полезности uA xA12 A 3 AAA= x1 x2 . Начальные запасы благ ω1 = 24, ω2 = 32.
Технология позволяет из каждой единицы первого блага произвести шесть единиц второго блага. Рассмотрите распределениеA(xA1 = 22, x2 = 44, x1 = 2, y2 = 12). Можно ли реализовать этораспределение как равновесное? Если да, то реализуйте. Еслинет, то объясните почему.230Гл. 3. Равновесие3.79. Предпочтения потребителей представимы функцией по A 2 A 2A+ x2 . Для производства каждойлезности uA xA1 , x2 = x1единицы второго блага требуется затратить две единицы первогоAблага.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
