Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для решенияэтой задачи нарисуем график f (x) = (n − x)2 при различных n, который показан на Рис.224(n-x)2321-5/2 -3/2-½½3/25/27/2 x=Φe/Φ0Рис. 22: Свободная энергия сверхпроводникового цилиндра с отверстием, в зависимости от безразмерного внешнего магнитного поля x = SH/Φ0Он представляет собой набор парабол с вершинами при x = n, откуда очевидно, что для минимальности свободной энергии целое число n должно быть выбрано ближайшим к x и зависимостьмагнитного потока от внешнего магнитного поля будет иметь ступенчатый вид, как показано наРис.237.2Критическое поле тонкой пленкиРассмотрим задачу о сверхпроводящей пленке толщины d, помещенное в однородное магнитноеполе, как показано на Рис.24.
Пленку будем считать тонкой в масштабе обеих характерных длинd λ, ξ или, в безразмерных переменных d 1, κ −1 .Плоскость пленки - плоскость y, z, все переменные будут зависеть только от координаты x,нормальной к границе. В данной задаче имеется y компоненты тока j и векторного потенциала A,а также z компонента магнитного поля Bz = B Параметр порядка может быть выбран действительным и уравнения Гинзбурга-Ландау, записанные в безразмерных переменных, приобретают424n=Φ/Φ0321-5/2 -3/2-½½-13/25/27/2 x=Φe/Φ0-2-3Рис.
23: Зависимость магнитного потока в отверстии сверхпроводящей трубы от безразмерноговнешнего магнитного поля x = SH/Φ0вид.κ −2∂2A− ψ2 A = 0∂x2(132)∂2ψ+ (1 − A2 − ψ 2 )ψ = 0.∂x2(133)Они должны быть дополнены граничными условиямиψx (x = ±d/2) = 0, Ax (x = ±d/2) = H(134)где H - внешнее магнитное поле. Наша задача - определить максимальное поле H при которомсистема 132 133 имеет нетривиальное, сверхпроводящее решение. Поскольку κd 1 будем строитьрешение уравнения для параметра порядка 133 в виде разложения по этому параметруψ = ψ0 (x) + ψ1 (x) + . .
. .BzyxРис. 24: Тонкая пленка в магнитном поле43Для этого запишем уравнение 133 в виде∂2ψ= −κ 2 (1 − A2 − ψ 2 )ψ,∂x2откуда видно, что в нулевом порядке по κd уравнение имеет вид∂2ψ= 0,∂x2решение которого, удовлетворяющее граничным условиям есть некоторая постоянная ψ0 . Посколькуψ постоянная в нулевом приближении, мы можем решить уравнение для векторного потенциала инайти общее решениеA = a sinh ψx + b cosh ψx,где a, b - произвольные постоянные. Теперь, удовлетворяя граничным условиям для поля B = Ax ,находимH sinh ψx.A=ψ cosh(ψd/2)Используя условия тонкости пленки в масштабе λ мы можем разложить sinh ψx и ψ cosh(ψd/2) вряд Тейлора и записатьA = Hx.Теперь запишем уравнение для первой поправки ψ 1∂ 2 ψ1= −κ 2 (1 − A2 − ψ02 )ψ0 .(135)∂x2Для того, чтобы это уравнение для поправки было разрешимо, необходимо чтобы интегралR d/2от правой части −d/2 R.H.S.
dx равнялся нулю. Действительно, проинтегрировав уравнение 139и учтя граничные условия, мы придем к этому условию. Это условие является частным случаемтеоремы Фредгольма, утверждающей, что вырожденная неоднородная задача имеет решение толькотогда, когда вектор правой части ортогонален собственному вектору сопряженной задачи. В нашемслучае задача∂2y=f∂x2с нашими граничными условиями самосопряжена и её собственный вектор const. Условие разрешимости есть условие ортогональности правой части и const. Запишем условие разрешимостиZ(1 − ψ02 )d = H 2d/2x2 dx−d/2и из него найдем уравнение для параметра порядка(1 − ψ02 ) =2H 2 d2,24и из условия ψ 2 > 0 найдем критическое поле тонкой пленки√√2 62 3или в размерных переменных H = Hc λ.H=ddГлавным результатом этой задачи является утверждение, что для тонкой пленки d λ критическое поле пленки значительно превышает термодинамическое критическое поле.44BzyxРис.
25: Тонкая пленка в магнитном поле7.3Критический ток тонких пленок и проволок. Ток распариванияРассмотрим задачу о сверхпроводящей пленке толщины d, по которой протекает ток c плотностьюI на единицу длины вдоль z. Картина магнитного поля и геометрия задачи показана на Рис.25.Как и в предыдущем разделе, пленку будем считать тонкой в масштабе обеих характерных длинd λ, ξ или, в безразмерных переменных d 1, κ −1 .Плоскость пленки - плоскость y, z, все переменные будут зависеть только от координаты x,нормальной к границе. В данной задаче имеется y компоненты тока j и векторного потенциала A,а также z компонента магнитного поля Bz = B Параметр порядка может быть выбран действительным и уравнения Гинзбурга-Ландау, записанные в безразмерных переменных, приобретаютвид.∂2A− ψ2 A = 0∂x2∂2ψ+ (1 − A2 − ψ 2 )ψ = 0.∂x2Они должны быть дополнены граничными условиями, несколько отличающимся от 134κ −2ψx (x = ±d/2) = 0, Ax (x = ±d/2) = ±HI(136)(137)(138)где HI - магнитное поле, создаваемое током, текущим по пленке.
В безразмерных переменных2HI = IНаша задача - определить максимальное поле HI или ток I при котором система 136 137 имеетнетривиальное, сверхпроводящее решение. Поскольку κd 1 будем строить решение уравнениядля параметра порядка 137 в виде разложения по этому параметруψ = ψ0 (x) + ψ1 (x) + . .
. .Для этого запишем уравнение 137 в виде∂2ψ= −κ 2 (1 − A2 − ψ 2 )ψ,∂x245откуда видно, что в нулевом порядке по κd уравнение имеет вид∂2ψ= 0,∂x2решение которого, удовлетворяющее граничным условиям есть некоторая постоянная ψ0 .Поскольку ψ постоянная в нулевом приближении, мы можем решить уравнение для векторногопотенциала и найти общее решениеA = a sinh ψx + b cosh ψx,где a, b - произвольные постоянные. Теперь, удовлетворяя граничным условиям для поля B =Ax (±d/2) = ±HI находимHI cosh ψx.A=ψ sinh(ψd/2)Используя условия тонкости пленки в масштабе λ мы можем разложить cosh ψx и ψ sinh(ψd/2) вряд Тейлора и записатьj2HI= 2.A=dψ 2ψЗдесь мы ввели плотность тока j, учтя, что в этом приближении ток распределен равномерно потолщине. Теперь запишем уравнение для первой поправки ψ 1∂ 2 ψ1= −κ 2 (1 − A2 − ψ02 )ψ0 .(139)∂x2Как и в предыдущем разделе, для того, чтобы это уравнение для поправки было разрешимо,R d/2необходимо чтобы интеграл от правой части −d/2 R.H.S.
dx равнялся нулю. Запишем условие разрешимостиZ d/222dx(1 − ψ0 )d = A−d/2и из него найдем уравнение для параметра порядка(1 − ψ02 ) −j2= 0,ψ4(140)и из условия существования решения ψ 2 > 0 найдем критический ток I. Для этого выразим токчерез параметр порядкаj 2 = ψ4 − ψ6и построим график зависимости j 2 (ψ 2 ), который приведен на Рис.26 откуда видно, что отличноеот нуля решение для ψ возможно только для токовpj < 4/27.Это максимальное значение тока называется током распаривания. Значение плотности тока распаривания в размерных переменных естьpjdp = (1j) 4/27,где 1j -единица плотности тока в естественной системе единиц Гинзбурга-Ландау.
Соответствующее значение магнитного поля на поверхности пленки HI = jd/2 в безразмерных переменных,и√2dH I = √ Hc3 3 λ46223J =x -x4/2712x=ψРис. 26: Тонкая пленка в магнитном поле- в размерных В отличие от результата предыдущего раздела, критическое поле HI для тонких пленок d λ значительно меньше, чем критическое магнитное поле и убывает с убыванием толщины,в противоположность результату предыдущего раздела.Обратим внимание, что уравнение для параметра порядка 140 может быть легко полученотакже из уравнений Гинзбурга-Ландау в действительной форме 118. Действительно, предположивчто f = const из 118 мы найдем(1 − f 2 − vs2 )f = 0.Выражая сверхскорость через плотность тока j из условия постоянства токаj = f 2 vsпридем к уже рассмотренному уравнению 1401 − f2 −j2= 0.f4Единственным условием применимости этого решения условие постоянства параметра порядка итока по поперечному сечению сверхпроводника.
Оно будет выполнено для тонких проволочек сразмерами удовлетворяющими условиям d λ, ξ7.4Эксперимент Литтла-ПарксаРассмотрим задачу о тоненьком колечке из сверхпроводника, помещенном в магнитное поле. Толщина колечка мала d λ, так что магнитное поле не экранируется, в отличие от задачи о квантовании потока, рассмотренной в 7.1. Предположим, также, что параметр порядка однороден потолщине проволочки. Напишем выражение для сверхскорости2mvs = ~∇θ −2eAcи проинтегрируем это выражение по контуру, идущему внутри кольца. Мы получим следующее~(n − ΦΦ0 ), где R радиус кольца, n выражение для скорости сверхпроводящих электронов vs = 2mR47произвольное целое числоn=12πI∇θdl,Φ -поток магнитного поля через кольцо, Φ0 -квант потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
