Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Найдем работу электромагнитного окружения, внешнего тока je , текущего17по катушке, над нашей термодинамической системой. Эта работа δAem , входит в приращениевнутренней энергииδE = T δS − pδV + δAem + µδN,Выражение для работы(39)ZδAem = −δt(je • E)dV,(40)преобразуем с помощью квазистатических уравнений Максвелла 11, считая процессы включениямагнитного поля медленнымиrotE = −ТогдаδAemc= − δt4πZ1 ∂B,c ∂trotH =4πjextcZc(rotH • E)dV = − δt {HrotE − div [E × H]} dV =4πZZc1H δBdV +[E × H] dS.=4π4πПоследнее слагаемое, представляющее поток энергии через бесконечно удаленную замкнутую поверхность, в квазистатическом приближении равно нулю. Окончательно, для приращения внутренней энергии, будем иметь следующее выражениеZ1H δ BdV.δE = T δS − pδV +4πДля того, чтобы описать сверхпроводник, необходимо знать какой либо термодинамическийпотенциал S(E, V, B) или F (T, V, B)Z1HδBdV.(41)δF = −SδT − pδV +4πНапример, для внутренней энергии магнитного поля в пустоте (B = H) из приведенного соотношения легко получить известное выражениеZZZ1112(42)HδBdV = δB dV E =B 2 dVδE =4π8π8πПриведенные соотношения определяют термодинамические потенциалы как функционалы от индукции магнитного поля B.
Нетрудно определить потенциалы как функционалы отH=δEδB. Соответствующие потенциалы будем обозначать волной над буквой, напримерZZ11B HdV ; δ F̃ = −SδT − P δV + µδ −BδHdVF̃ (T, V, H, N ) = F −4pi4πЭти потенциалы в переменных H особенно удобны для описания сверхпроводников, поскольку вМейсснеровском состоянии B = 0. Напишем свободную энергию F̃ Так как внутри сверхпроводникаB = 0, тоZ1H 2 dV,F˜s = F0s −8π V¯s18где F0s есть свободная энергия сверхпроводника в отсутствие магнитного поля, интегрированиепроизводится по объему вне сверхпроводника.
Добавив и вычтя интеграл по Vs и учитывая чтополе H внутри тонкого и длинного цилиндрического образца невозмущено и однородно, найдемZ11Vs H 2 −H 2 dV,F˜s = F0s +8π8πПоследнее слагаемое, представляемое интегралом по всему пространству не зависит от состояниясверхпроводника и может быть в дальнейшем опущено. Теперь можем написать свободную энергиювсего образца, который состоит из нормальной (N) и сверхпроводящей (S) фазF̃ = F0s (T, Vs , Ns ) + Fn (T, Vn , Nn ) +1Vs H 2 ,8πТребуя экстремальности этого выражения по отношению к вариации объема δVs = −δVn найдемусловие механического равновесия∂F0s∂Fn1 21 2∂FH = 0; ⇒ ps = pn +H=−+∂Vs∂Vs∂Vn8π8π(43)и, тем самым уже известное нам магнитное давление на сверхпроводящую фазу, смотри уравнение1Точно также, дифференцируя по δNs = −δNn найдем условие химического равновесия, равновесия по отношению к обмену частиц между фазами∂F0s∂Fn∂F=−=∂Ns∂Ns∂NnVsVn∂f0s∂fn− Vn=(ps + f0s ) −(pn + fn ).= Vs∂Ns∂NnNsNn(44)Здесь мы ввели объемные плотности свободных энергий сверхпроводящей и нормальной фазF0s (T, Ns , Vs ) = Vs f0s (T,NsNn) и Fn = Vn fn (T,)VsVn– и учли, что числа частиц входят в эти функции только в комбинации Ns /Vs и Nn /Vn , чтопозволяет выразить производные по числу частиц через производные по объемуVs,n∂∂= −Ns,n,∂Vs,n∂Ns,n∂Vs f0s= −ps∂Vs∂Vn fn= −pn∂Vn.
Если мы пренебрежем сжимаемостью сверхпроводника при действии магнитного давления и примем что концентрации частиц в нормальной и сверхпроводящей фазах совпадают Ns /Vs = Nn /Vn ,условие равновесия фаз примет простой видf0s +Hc2= fn .8π(45)Если бы плотности свободных энергий были бы известны, это равенство определило бы зависимостькритического поля от параметров.
Если же считать Hc (T ) известной, например, в результате экспериментальных измерений, то можно найти разности термодинамических величин в N и S фазахпо разные стороны перехода. определяющее кривую химического равновесия двух фаз.Будем считать, что зависимость Hc (T ) нам известна из эксперимента и имеет вид, показанныйна Рис.14Продифференцируем условие равновесия 45 по температуре вдоль кривой равновесия, и учи0sтывая, что энтропия единицы объема ss = − ∂f∂T мы получим выражение для скачка плотностиэнтропии1 ∂H 2∂fn∂f+=,∂T8π ∂T∂Tss = s n +191 ∂H 28π ∂T(46)HHc(T)TcsS-sNTcTTcS-cNTcTРис.
13: a-Фазовая диаграмма сверхпроводника 1 рода, b)-разность энтропий сверхпроводящей инормальной фаз, c)- разность теплоемкостей S и N фаз.график зависимости от температуры которой приведен на Рис.14 b) Зная скачок энтропии, можнолегко вычислить теплоту перехода по формуле δQ = T ∆s или QS→N = T (ss − sn ). Из следуетQN →S => 0, т.е. при сверхпроводящем переходе N → S при H 6= 0 выделяется конечное количествотепла и, следовательно NS переход в конечном магнитном поле - это фазовый переход первого рода.При нулевом магнитном поле теплота перехода равна нулю и фазовый переход является переходомвторого рода. Мы покажем, что при этом теплоемкость будет испытывать скачок.Чтобы сосчитать удельную теплоемкость фаз по обе стороны перехода продифференцируем∂Sравенство 46 по температуре и воспользуемся определением теплоемкости c = ∂Q∂T = T ∂T . Мынайдем следующее соотношениеc s = cn +T ∂ 2 Hc2,8π ∂T 2(47)демонстрирующее существование скачка теплоемкости при фазовом переходе в сверхпроводящеесостояние.
График зависимости теплоемкости от температуры показан на Рис.14 -c)4.3Промежуточное состояние сверхпроводникаКак мы теперь знаем, при поле равном критическому сверхпроводящая и нормальная фазы сверхпроводника первого рода, с фазовой диаграммой типа Рис.3-a) сосуществуют, или, другими словами, находятся в равновесии. Причем, количество той и другой фазы может быть любым, лишьбы выполнялось условие Vs + Vn = V и границы раздела фаз были параллельны магнитному полю.
Ситуация аналогична фазовому переходу лед-вода, что при нуле градусов любые количестваводы и льда находятся в равновесии. Поэтому естественно предположить, что при H = Hc возможно макроскопически однородное расслоенное состояние, состоящее из чередующихся нормальныхи сверхпроводящих слоев. Магнитная индукция в этом состоянии произвольна, как показано на20BÏðîìåæóòî÷íîåñîñòîÿíèåHcHРис.
14: Связь магнитной индукции с напряженностью в промежуточном состоянии сверхпроводникаРис.?? Действительно, поскольку в сверхпроводящих слоях B = 0 а в нормальных B = H = Hc , тоусредненное значение индукции B = ηHc , где η -объемная доля нормальной фазы, она может бытьлюбой при H = Hc2155.1Уравнение Лондонов и двухжидкостная гидродинамикасверхпроводниковВариационный вывод уравнения ЛондоновДо сих пор мы предполагали, что поле внутри сверхпроводника описывается простым утверждением, что Bi = 0. Совершенно очевидно, что оно может быть правильным только в макроскопических сверхпроводниках и только вдали от поверхностей, вблизи которых течет экранирующийток. Для более продвинутого описания, нам необходимо иметь уравнение, описывающее распределение электромагнитного поля внутри сверхпроводника. Рассмотрим для начала статическийслучай и применим для нахождения уравнения термодинамический принцип убывания свободнойэнергии.
Естественно предположить, что энергия сверхпроводника складывается из энергии магнитного поля и энергии электронов, которые двигаются без трения. Эти электроны будем называтьсверхпроводящими, их концентрацию обозначим ns , а скорость vs , обе величины являются функциями радиус-вектора r точки в пространстве и температуры. Тогда мы можем сразу же написатьвыражение для свободной энергии как сумму магнитной энергии и кинетической энергии сверхпроводящих электроновZmns vs2B2+d V.(48)F =2V 8πИнтегрирование в этом выражении осуществляется по объему сверхпроводника.
Затем, выражаяскорость vs через плотность тока сверхпроводящих электронов js = ens vs и используя уравнениеМаксвелла c rotB = 4πjs , нетрудно преобразовать выражение для свободной энергии к видуZ4πns e21,(49)B2 + λ2 (rotB)2 d V, где λ−2 =F =8πmc2Здесь λ- параметр, называемый Лондоновской длиной или глубиной. Этот параметр, как мы увидимвпоследствии, будет определять глубину проникновения магнитного поля в сверхпроводник.Чтобы получить уравнение для магнитного поля, в соответствии с принципом убывания свободной энергии потребуем, чтобы вариационная производная от свободной энергии по магнитномуполю равнялась нулю, именноδF= 0.(50)δBНапомним определение вариационной производной, являющейся обобщение понятия обычной производной.
Для нахождения производной функционала G[f (x)] необходимо записать его вариациюδG[f ] = G[f + δf ] − G[f ] в формеZδGδf dx,(51)δG =δfт.е. ядро интегрального оператора функционала вариации является функциональной производной.Вычислим вариацию свободной энергии 49 в соответствии с этим правиломZ1(52)(BδB) + λ2 (rotBrotδB) dV,δF =4πвариация независимой функции в это выражение входит не только как δB но и как rotδB. Длятого чтобы в выражение для вариации входило только δB преобразуем последний член c помощью”интегрирования по частям”, выделив из него полную дивергенцию. Используя формулу div[a×b] =brota − brotb с a = rotB и b = δB получим следующее тождествоdiv[rotB × δB] = δBrot rot • B − rotδB • rotB,используя которое преобразуем интеграл к видуZI112[rotB × δB]dSB + λ (rot rotB δB dV −δF =4π V4π S22(53)BzBzVaczjyySxxРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
