Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Заметим, что в рассматриваемой задаче отонком кольце поток не квантован, величина x = Φ/Φ0 может принимать любые значения. Запишемтеперь свободную энергию кольца, выразив её через модуль параметра порядка и сверхскорость.Здесь, по причинам которые станут понятны позже, мы работаем с размерными переменными.Z 2~bf 4(∇f )2 + f 2 mvs2 + a(T )f 2 +d V.(141)F [f, vs ] =4m2Здесь мы не написали энергию магнитного поля, поскольку она, для нашего случая тонкого неэкранирующего кольца, не зависит от состояния сверхпроводника. Нетрудно видеть, что член с кинетической энергией сверхпроводящих электронов, входит в свободную энергию также как член с a(T )и мы можем ввести эффективный коэффициент aef f (T ) какaef f (T ) = a(T ) + mvs2 = a(T ) +~2(n − x)2 .4m2 R2Число накруток фазы n определяется из минимума свободной энергии, точно также как в задаче о2квантовании потока в 7.1 и следовательно, график зависимости кинетической энергии 4m~2 R2 (n − x)2от безразмерного потока x = Φ/Φ0 будет иметь вид, показанный на Рис.27-a).
Эта же величинас обратным знаком будет давать сдвиг критической температуры сверхпроводящего колечка отмагнитного поля. Такой эксперимент по измерению критической температуры тонких сверхпрово2(n-x)2@mvs @-DTc-5/2 -3/2-½½3/25/27/2 x=Φe/Φ0Рис. 27: Свободная энергия сверхпроводникового цилиндра с отверстием, в зависимости от безразмерного внешнего магнитного поля x = SH/Φ0дящих колечек в магнитном поле был проведен Литтлом и Парксом.7.5Поверхностное натяжение равновесной N-S границыРассмотрим цилиндрический образец сверхпроводящего материала, помещенный в однородное магнитное поле, направленное вдоль z, и величина которого равна критическому значению Hc . Притакой напряженности N и S фазы находятся в равновесии и мы предположим, что внутри образцаимеется плоская фазовая граница, лежащая в плоскости y, z, как показано на Рис.28. Будем считать, что нормальная фаза лежит слева, при x < 0, а областью границы называть окрестностьточки x = 0, где параметр порядка и магнитное поле меняются.
Качественное распределение параметра порядка и магнитного поля приведено на Рис.28. Область границы имеет ширину порядкаmaxλ, ξВдалеке от краев образца все переменные будут зависеть только от координаты x, - нормальнойк границе. В данной задаче имеется y компоненты тока j и векторного потенциала A, а также z48zyBxNSB2-1/21ΨxРис. 28: Цилиндрический образец с нормальной и сверхпроводящей фазойкомпонента магнитного поля Bz = B Параметр порядка может быть выбран действительным иуравнения Гинзбурга-Ландау, записанные в безразмерных переменных, приобретают вид.κ −2∂2A− ψ2 A = 0∂x2(142)∂2ψ+ (1 − A2 − ψ 2 )ψ = 0.∂x2(143)Наша задача состоит в нахождении решений, удовлетворяющих граничным условиям в нормальной области√(144)ψ → 0, B → Hc = 1/ 2 при x → −∞и сверхпроводящей областиψ → 1, B → 0 при x → ∞(145)и нахождении поверхностного вклада в свободную энергию.
Выбор фазы параметра порядка соответствует определенному выбору калибровки, который, как видно из уравнения для параметрапорядка соответствует требованию A → 0, x → ∞. Обозначим объемы сверхпроводящей и нормальной фаз как Vs и Vn , а площадь поверхности, разделяющей N и S фазы, как - Σ. Тогда мыможем записать свободную энергию всего образца, какF = fs Vs + fn Vn + σΣ(146)где σ - есть поверхностная плотность свободной энергии, называемая также коэффициентом поверхностного натяжения.
Чтобы получить для него выражение мы должны выделить поверхностныйвклад из общего выражения для свободной энергии 104. Запишем выражение для F̃ нашего образца,49как это мы уже делали при вычислении свободной энергии дляформула 129ZZ11H 2d V +(B − H)2 −F̃ = F0 −8π8π{z}|сверхпроводящей трубы в п. 7.1,b 4|Ψ| d V.2(147)F̃nHПоскольку равновесие фаз возможно только при магнитном поле равном критическому, то мыдолжны положить в этой формуле H = Hc и получить выражениеZZ11b2H dV +(B − Hc )2 − |Ψ|4 d V,(148)F̃ = F0 −8π8π2{z}|F̃nHиз которого следует, что последний интеграл и представляет собой искомый поверхностный вкладв свободную энергию.
Действительно, в силу граничных условий 144,145 подынтегральное выражение локализовано около границы и интеграл пропорционален площади межфазной границы. Длякоэффициента поверхностного натяжения, мы, таким образом получаем следующее выражениеZb1(B − Hc )2 − |Ψ|4 d x =(149)σ=8π2или, переходя к безразмерным переменнымσ=λZσ=ZI dx =Hc2σdl4π11(B − √ )2 − |Ψ|4 d x.22(150)Итак, мы должны решить уравнения 142 с граничными условиями 144,145 и вычислить коэффициент поверхностного натяжения 150. Мы решим эту задачу приближенно для двух предельныхслучаев: 1) - κ 1 и 2) - κ 1.Начнем с первого случая больших каппа κ 1.В этом случае уравнение для параметра порядка 142 содержит малый параметр κ −2 при старшей производной, и следовательно зависимость параметра порядка при переходе от нормальнойобласти к сверхпроводящей будет представлять резкий скачок от нуля к единице, с масштабом∼ κ −1 (или ξ в размерных координатах.
На этом маленьком масштабе магнитное поле, как видноиз уравнения для векторного потенциала, практически не меняется, (докажите это утверждение иоцените насколько меняется магнитное поле в этом слое) и следовательно мы можем считать, чтопри x < 0 магнитное поле подчиняется уравнению√∂2A= 0, и равно Ax = B = 1/ 2,2∂xа при x > 0 уравнению1∂2A− A = 0, с решением Ax = B = √ e−x .2∂x2Качественный вид решения в этом случае и плотность свободной энергии I показаны на рис.29Подынтегральное выражение I равно нулю в нормальной области, в окрестности границы оно быстро, на масштабе κ −1 достигает значения −1/2 из-за второго члена в 150 за счет роста параметрапорядка до 1 и затем плавно, с масштабом 1, за счет убывания магнитного поля, спадает в глубьсверхпроводящей области.
Вычисление интеграла 150 дает отрицательное значение.ZZ11 ∞ −xe 4dx = −(151)σ = I dx ≈ −2 0250B21-1/2ψ2-1/2I1−1κ−1κx1xРис. 29: Зависимость магнитного поля и параметра порядка -a) и плотности свободной энергии b) от координаты в окрестности равновесной NS границы для большого κ = λ/xi 1В противоположном предельном случае κ 1 соотношение маштабов ψ и B обратное. Теперьпараметр порядка, имеющий масштаб κ −1 , является плавной функцией, а магнитное поле - резкой.Нетрудно также видеть, что экранирование магнитного поля осуществляется в области малых ψ,поскольку скорость спадания магнитного поля ∼ ψ, что видно из приближенного ВКБ решенияуравнения для магнитного поляRxA ∼ e− ψdx .Качественный вид распределений магнитного поля и параметра порядка и зависимости плотности свободной энергии для малого κ показаны на рис.29IB-1/212ψ½I1−1κx1−1κxРис. 30: Зависимость магнитного поля и параметра порядка -a) и плотности свободной энергии b) от координаты в окрестности равновесной NS границы для малого κ = λ/xi 1Подынтегральное выражение I равно нулю в нормальной области, как только магнитное полеспадет, оно быстро, на масштабе 1 достигнет значения 1/2 из-за первого члена в 150 за счетубывания B до 0 и затем плавно, с масштабом κ −1 , за счет возрастания параметра порядка, спадаетв глубь сверхпроводящей области.
Вычисление интеграла 150 в этом случае дает положительноезначениеZ1(152)σ = I dx ≈2κ51Таким образом мы нашли асимптотики зависимости σ(κ) при больших и малых κ,−1/2 κ 1σ=1/(2κ) κ 1(153)Качественный график зависимости σ(κ) приведен на Рис.31 Поскольку коэффициент поверхност-σk-1/22Рис. 31: Зависимость коэффициента поверхностного натяжения NS границы от параметраГинзбурга-Ландауного натяжения при больших и малых κ имеет разные знаки и представляет собой непрерывнуюфункцию, то где при конечном κ он должен обратиться в ноль,по крайней мере один раз. Мы√сейчас покажем, что σ = 0 при единственном значении κ = 1/ 2.Потребуем, чтобы подынтегральное выражение I в формуле для поверхностного натяжения 150обратилось в ноль при всех x.
Это возможно при выполнении одного из условийψ21B − √ = ±√ ,22из которых физически удовлетворительным является условие с отрицательным знаком, посколькуψ растет с ростом x, а B = Ax - убывает. Итак, мы имеем1Ax = √ (1 − ψ 2 ).2(154)Далее, мы должны проверить, при каких κ это условие совместно с уравнениями Гинзбурга-Ландау142. Исключив с помощью 154 ψ из уравнения для векторного потенциала 142 найдем для негозамкнутое уравнение√Axx = A(1 − 2Ax ).Необходимо еще потребовать, чтобы удовлетворялось еще не использованное уравнение для параметра порядка 142. Проще всего это сделать использовав первый интеграл системы уравнений 142.Домножая уравнение для ψ на 2ψx , а уравнение для магнитного поля - на 2Ax и складывая их,получим соотношениеψ4∂κ −2 ψx2 + ψ 2 (1 − A2 ) + A2x −= 0,∂x2интегрируя которое и выбирая постоянную интегрирования из граничных условий, получим искомый первый интеграл1ψ4= .κ −2 ψx2 + ψ 2 (1 − A2 ) + A2x −2252Процедура проверки - следующая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
