Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 5
Текст из файла (страница 5)
15: Проникновение статического магнитного поля в сверхпроводникполагая, что на границе области интегрирования вариация поля δB|S = 0 и требуя, чтобы вариациясвободной энергии обращалась в ноль при произвольной δB внутри области V , мы придем к, такназываемому, уравнению Лондонов(54)B + λ2 rot rotB = 0,описывающему распределение магнитного поля внутри сверхпроводника.Применим полученное уравнение для решения простой задачи о проникновении поля в сверхпроводник, занимающий полупространство x > 0, см.
Рис.15. Пусть магнитное поле направлено поz, B = z0 B, тогда электрический ток направлен по y- j = y0 j,.Уравнение Лондонов 54 в этом случае становится одномерным и приобретает вид∂2B− λ−2 B = 0.∂x2(55)Его решение, удовлетворяющее условию ограниченности при x → ∞ и непрерывности при x = 0имеет видxB = B0 exp − ,λоткуда видно, что λ есть характерная глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник.5.2Двухжидкостная гидродинамика сверхпроводников.
Динамическийвывод уравнения ЛондоновСделаем естественные предположения о динамике электронов в сверхпроводнике. Предположим,что сверхпроводник состоит из электронов двух сортов, нормальных и сверхпроводящих, и неподвижных ионов, формирующих кристаллическую решетку. Будем считать, что сверхпроводящиеэлектроны не испытывают трения со стороны кристаллической решетки, в отличие от нормальныхэлектронов. Будем описывать эти две электронные жидкости гидродинамическими уравнениямиṅs + divns vs = 01mns [v̇s + (vs ∇)vs ] + ∇ps = ns e{E + [vs × B]}cṅn + divnn vn = 01mns [v̇s + (vs ∇)vs ] + ∇pn = f + nn e{E + [vs × B]}c(56)(57)(58)(59)Рассмотрим с помощью этих уравнений динамику электронов в поле поперечной электромагнитнойволны, такой, что divE = 0.
Считая амплитуду волны не слишком большой, так что скоростиэлектронов малы по сравнению со скоростью света vs,n c мы сможем пренебречь в уравнениях 56 членами (v∇)vs и 1c [v × B]. Из условия поперечности поля divE = 0 следует divv = 0,что, в свою очередь приводит к утверждению, что возмущения плотности и давления равны нулюṅ = 0, ∇p(n) = 0 и концентрации электронов ns , nn постоянны. В данной теории они являются феноменологическими функциями температуры, которые должны быть определены из условия23достаточно хорошего совпадения с экспериментом. Уравнения 56 резко упрощаются и принимаютвидv̇s =eE,mv̇n + νvn =eE,m(60)где мы приняли следующее приближение для силы трения нормальных электронов об ионы f =−mnn νvn .
Параметр ν называется эффективной частотой столкновений.Найдем с помощью этих уравнений материальную связь для сверхпроводника, связь междутокомj = js + jn , js = ens vs , jn = ens vnи электрическим полем, которая дается оператором проводимости j = σ̂E. Перепишем уравнения60 в видеω2∂js= s E,∂t4π∂jnω2+ νjn = n E,∂t4π2ωs,n=4πe2 ns,n,m(61)где ωs,n - плазменные частоты сверхпроводящих и нормальных электронов, и, отыскивая решенияв виде ∼ e−iωt найдем выражение для проводимостиσ(ω) = σs + σn = −ωn2ωs2−,4πiω 4πi(ω + iν)(62)состоящее из двух вкладов, сверхпроводящего и нормального.
При частотах электромагнитногополя, удовлетворяющих условию ω ν нормальная часть проводимости постоянна и дается выражением Друде σn = ωn2 /4πν. Часто, при описании электромагнитного поля в веществе, вместо проводимости используют другую функцию отклика, диэлектрическую проницаемость ε, вводя векторэлектрической индукции D = E + 4πP = εE и записывая электрический ток j как ток поляризации4πσj = ∂P∂t . Cвязь между ε и σ дается простым выражением ε = 1 − iω откуда для диэлектрическойпроницаемости сверхпроводника имеем(ω) = 1 −ωn2ωs2.−ω2ω(ω + iν)(63)Записывая уравнения Максвелла в видеrotE =rotB =ωi Bcω−i εE,c(64)(65)и исключая электрическое поле, получим уравнениеrot rotB −ω2ω2ε(ω)B=0,или∆B+ε(ω)B = 0.c2c2(66)Нетрудно видеть, что в статическом пределе, т.е.
при ω → 0, это уравнение переходит в уравнениеЛондонов 54 с λ = c/ωs , полученное ранее с помощью вариационного метода. В этом пределе удобнозаписывать материальное соотношение 62 для сверхпроводника в виде связи тока и векторногопотенциала E = −(1/c)∂A/∂t. Предполагая, что для потенциала выбрана кулоновская калибровка,мы получимc 1ω2A.(67)j=− s A=−4πc4π λ2Зная материальную связь, можно решать любые задачи о распределении поля в сверхпроводниках.
В качестве примера рассмотрим задачу об отражении плоской электромагнитной волны отсверхпроводника.245.3Поверхностный импеданс сверхпроводника и глубина скин-слояРешим с помощью выведенных уравнений 66 задачу о нормальном падении электромагнитной волнаиз вакуума на сверхпроводник с диэлектрической проницаемостью 67, заполняющий полупространство x > 0. Пусть есть Ey = E, Bz = B компоненты электромагнитной волны. Для полей при слеваи справа соответственно имеемE = E0 (eikx + Re−ikx ), B = E0 (eikx − Re−ikx ), k2 = ω 2 /c2 , x < 0,cks iks x 2e, k = ε(ω)ω 2 /c2 , x > 0E = T E0 eiks x , B = T E0ω(68)(69)Отношение тангенциальных компонент полей на поверхности называется поверхностным импедан1,сом Z = Et au/Bτ и для поверхностного импеданса из 68 имеем простое выражение Z(ω) = √ε(ω)где ε - диэлектрической проницаемость сверхпроводника.
Коэффициенты отражения и прохожденияследуют из условия непрерывности тангенциальных компонент полей при x = 0 и легко выражаются через поверхностный импедансR=Z −1,Z +1T =2.Z +1Наряду с поверхностным импедансом часто используют√ понятие комплексной глубины проникновения, определяемой как λ−1 = Ex /E = iks = i(ω/c) ε. Эта величина несет ту же информацию,что и поверхностный импеданс и непосредственно с ним связана Z = i(ω/c)λ. Толщиной скин-слояобычно называют величину δ = Reλ. Нетрудно видеть, что определенные таким образом величиныδ, λ в статическом пределе переходят в Лондоновскую глубину проникновения, определенную ранее49. Действительноsiωω2ωn2ωs1 − s2 −=λ−1 = limω→0 cωω(ω + iν)cРис.?? иллюстрирует зависимость толщины скин-слоя от частоты для сверхпроводника и нормального металла.Важным результатом этого параграфа является наблюдение, что сверхпроводник не обладаетпотерями только на нулевой частоте.
Нетрудно показать, что коэффициент поглощения, определенный какQ = 1 − |R|2отличен от нуля при конечных ω.256Феноменологическая теория Гинзбурга-Ландау6.1Идея общей теории фазовых переходов. Структура параметра порядка для сверхпроводника. Свободная энергия для пространственнооднородного сверхпроводникаВ теории Лондонов, рассмотренной в предыдущих лекциях, концентрация сверхпроводящих электронов ns была феноменологическим параметром, который становился не равным нулю при температуре ниже критической. Другими словами, мы должны были просто предположить наличие фазового перехода, не имея никаких средств для описания фазового перехода.
Идея феноменологическойтеории фазовых переходов базируется на теории бифуркаций, перестройки фазового пространствадинамической системы при изменении параметров. Для того, чтобы возникла аналогия с динамической системой, нам необходимо сконструировать динамическую переменную и уравнения для неё,зависящие от термодинамических параметров, например, таких как температура и давление. Тогдабифуркационная диаграмма динамического уравнения будет аналогична фазовой диаграмме теориифазовых переходов.Феноменологическая теория фазовых переходов, первый вариант которой был разработан Кюрии Вейссом в 1905 г.
для описания ферромагнитного состояния, строится следующим образом. Выбирается функция, называемая параметром порядка, которая будет представлять макроскопическуюдинамическую переменную, такую, что её равновесное значение по одну сторону фазового переходаравно нулю, а по другую - не равно. Фаза, где параметр порядка отличен от нуля, называетсяупорядоченной, фаза с нулевым параметром порядка - неупорядоченной. Приведем примеры параметров порядка для разных типов фазовых переходов, отличающих фазы с различной симметрией• Переход парамагнетик - ферромагнетик. Параметр порядка - вектор намагниченности M,возникающий при фазовом переходе.
В парамагнитной фазе M = 0, в ферромагнитной M 6= 0.Парамагнитная фаза симметрична относительно вращений в пространстве, в ферромагнитнойфазе эта симметрия будет спонтанно нарушена.• Параметр порядка отличающий жидкость и твердое тело - упругий сдвиговый модуль. Вжидкости он равен нулю, в твердом теле - нет.• За параметр порядка, отличающий кристалл от аморфного или жидкого тела, можно принятьвид спектра корреляционной функции электронной плотности hn(r)n(r + ξ)i, - в кристаллеспектр дискретный, в аморфном теле - непрерывный.В качестве параметра порядка для сверхпроводника можно было бы выбрать ns - концентрациюсверхпроводящих электронов.
Такая теория, основанная на этом выборе, была построена Гортероми Казимиром, но не имела большого успеха. Вообще, построение феноменологической теории и угадывание структуры параметра порядка, требует либо знания микроскопической природы фазовогоперехода, либо экспериментальной информации о симметрии параметра порядка, либо должно просто повезти, как Гинзбургу и Ландау.
Они разработали свою феноменологическую теорию в товремя, когда не существовало микроскопической теории.Гинзбург и Ландау предложили в качестве параметра порядка для сверхпроводника использовать комплексную функцию Ψ(r), так чтобы плотность сверхпроводящих электронов ns былапропорциональна |Ψ|2 . Я думаю, что Гинзбургом и Ландау двигала аналогия с одночастичнойквантовой механикой, в которой такими соотношениями связана волновая функция и вероятностьнахождения частицы в окрестности точки x.Если параметр порядка выбран таким образом, то в отсутствие магнитного поля, очевидно, чтовсе физические величины сверхпроводника будут функцией ns ∼ |Ψ|2 и следовательно, инвариантныотносительно фазовых вращений ψ → ψeiα .Следующий этап состоит в конструировании свободной энергии, как фунционала от параметрапорядка F [Ψ]. Для того чтобы его сконструировать, предположим что фазовый переход в сверхпроводящее состояние происходит путем фазового перехода второго рода, так что параметр порядка26в окрестности фазового перехода мал, как показано на Рис.16, так что свободная энергия разложима в ряд Тейлора по параметру порядка, точнее по ns Итак, предполагая параметр порядка не|Ψ|2TcTРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
