Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Из уравнения 96 что это возможно при слабом магнитном поле иоднородных a, b. Запишем уравнение Максвелла 99 с током в форме 1052e4π e2|Ψ| ~∇θ − A ,(107)rotrotA =c mcи обратим внимание на его схожесть с уравнением Лондонов. Поэтому, часто приближение однородного параметра порядка называют лондоновским приближением. Если мы введем Лондоновскуюдлину обычным соотношением4πe2 ns8πe2 |Ψ|2=(108)λ−2 =mc2mc2то это уравнение запишется в виде~c1rotrotA + 2 A − ∇θ .λ2eОтсюда следует еще одно часто применяемое в лондоновском приближении выражение для тока~cc∇θ−A.j=4πλ2 2eНайдем зависимость Лондоновской глубины проникновения от параметров теории a, b и, следовательно, от температуры.
Поскольку однородное решение уравнения ГЛ 96 есть|Ψ|2 = −a/b, то λ−2 =8πe2 |a|.bmc2Температурная зависимость лондоновской глубины показана на Рис.20.Обратим внимание, что лондоновская глубина и длина когерентности имеют одинаковую температурную зависимость в рассматриваемой теории и, поэтому, их отношение λ/ξ называемое параметром Гинзбурга-Ландау κ = λ/ξ от температуры не зависит.6.6Система единиц Гинзбурга-Ландау. Обезразмеривание уравнений.Обычно бывает удобным ввести безразмерные переменные, чтобы избавиться от несущественныхпараметров задачи и привести интересующие нас уравнения к безразмерному виду.
Проведем процедуру обезразмеривания уравнений Гинзбурга-Ландау. Начнем с уравнения для параметра порядка 96, которое запишем в виде2e~2(−i∇ − A)2 Ψ + aΨ + b|Ψ|2 Ψ = 0.4m~c36(109)λTcTРис. 20: Зависимость Лондоновской глубины проникновения когерентности от температурыqВ качестве единицы параметра порядка удобно ввести величину Ψ0 = −ab Поделим это уравнениена −|a| и тогда для безразмерного параметра порядка ψ = Ψdl = Ψ/Ψ0 получим(−iξ∇ −2eξ 2A) ψ + aψ + b|ψ|2 ψ = 0.~c(110)Безразмерный векторный потенциал естественно ввести как Adl = 2eξ/(~c)A, выбрав в качествеединицы измерение векторного потенциала ~c/(2eξ) = Φ0 /(2πξ). Выбор единицы длины неоднозначен, поскольку мы имеем две характерные длины λ и ξ.
В соответствии с традицией, мы выберемв качестве единицы длины λ введя безразмерную координату xdl соотношением xdl = x/λ. Отношение двух характерных длин теории κ = λ/ξ - называется параметром Гинзбурга-Ландау ипредставляет фундаментальный параметр теории. Уравнение для параметра порядка приобретаетпростой вид(−iκ −1 ∇ − A)2 Ψ − Ψ + |Ψ|2 Ψ = 0,содержащее единственный параметр κ. Нетрудно проверить, что и в уравнении для магнитного поля не останется никаких параметров, кроме параметра Гинзбурга-Ландау и в безразмерныхпеременных оно приобретет видrotrotA = −i(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) − |Ψ|2 A.2κИтак, вводя следующие основные единицы измерения•r1Ψ = Ψ0 =•1L = λ37−ab•1A =• и параметрκ=Φ02πξλξмы приводим систему уравнений Гинзбурга-Ландау к безразмерному виду(−iκ −1 ∇ − A)2 Ψ − Ψ + |Ψ|2 Ψ = 0,irotrotA = − (Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) − |Ψ|2 A.2κ(111)(112)Используя основные единицы, можно построить все остальные.
Например единица измерения магнитного поля находится из уравнения rotA = B, тока - из c rotB = 4πj,•1B =√Φ01A== 2Hc ,1L2πξλ•1j =cΦ0c1B=,4π 1L8π 2 ξλ2Кроме характерного магнитного поля 1B у нас уже было введено другое поле -критическое магнитное поле Hc определенное соотношениемa2Hc2= .8π2b√Очевидно, что эти два поля связаны и оказывается, что 1B = 2Hc . Действительно,rpp~ 4m|a| 8πe2 |a|a2 √Φ0√= 2 · 8π== 2Hc .1B =2πξλ2e~2bc mbПриведем еще выражение для безразмерного кванта потокаΦdl0 =Φ02πΦ0 λξ2π,==1B · 1L2Φ0 · λ 2κи для единицы объемной плотности свободной энергии и свободной энергии1f = 1F/1V =H21B 2= c,8π2π1F = λ3Hc2.4πВыражение для свободной энергии через безразмерные переменные имеет видZ|Ψ|4H2|(−iκ −1 ∇ − A)Ψ|2 − |Ψ|2 ++ (rotA)2 d V.F [Ψ] = F0 + λ3 c4π238(113)6.7Действительная форма уравнений Гинзбурга-ЛандауПредставим параметр порядка в формеΨ = f eiθ(114)и получим уравнения для модуля и фазы параметра порядка.
Будем работать в безразмерныхпеременных, так что уравнения Гинзбурга-Ландау имеют вид 111(−iκ −1 ∇ − A)2 Ψ − Ψ + |Ψ|2 Ψ = 0,irotrotA = − (Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) − |Ψ|2 A.2κ(115)(116)Уравнение для векторного потенциала при подстановке 114 приобретает видrotrotA = f 2 vs ,где(117)vs = κ −1 ∇θ − A,безразмерная сверхскорость 106. Чтобы записать уравнение для параметра порядка в переменныхмодуль-фаза, воспользуемся для простоты следующим приемом. Из калибровочной инвариантностиочевидно, что векторный потенциал войдет в окончательный ответ только в калибровочно инвариантной форме, т.е. в виде vs .
Поэтому при выводе уравнений мы можем положить A = 0 и выразитьответ через vs = κ −1 ∇θ. Вычислим производные∇ψ = eiθ (∇f + if ∇θ)∆ψ = ∇∇ψ = eiθ (∆f + 2i∇f ∇θ + if ∆theta − f (∇θ)2 )и подставив в уравнение для параметра порядка, разделим действительную и мнимую часть. Действительная часть дает уравнение для модуля параметра порядкаκ −2 ∆f + (1 − f 2 − vs2 )f = 0,а мнимая(118)2∇f ∇θ + f ∆θ = 0домножением на f 6= 0 может быть сведена к видуdivf 2 vs = 0,(119)представляющему уравнение непрерывности для сверхтока. Заметим, что это уравнение такжеможет быть получено взятием операции div от уравнения Максвелла 117. В заключение приведемвыражение для свободной энергии сверхпроводника в переменных модуль-сверхскорость.Zf4+ (rotA)2 d V.(120)F [f, vs ] = κ −2 (∇f )2 + f 2 vs2 − f 2 +23977.1Простейшиие приложения теории Гинзбурга-ЛандауКвантование потокаРассмотрим задачу о распределении магнитного поля в неодносвязном сверхпроводнике, представляющем собой длинную узкую трубу, как показано на Рис.21-a.
Толщину стенки d = R2 − R1будем считать большой в масштабе лондоновской глубины проникновения d λ. Из уравненияR1BR2CRd>>λBxРис. 21: Сверхпроводящий цилиндр с дыркой, помещенный в магнитное поле и распределение магнитного поля.для параметра порядка 96 и граничного условия 97 в случае достаточно слабого магнитного поля, когда можно пренебречь слагаемым ∼ A2 , следует, что параметр порядка постоянен внутрисверхпроводника, Ψ = Ψ0 . Оставшееся уравнение для A 99 c током 105 запишем в видеrot rotA =2e4π2eΨ20 (~∇θ − A).cc40(121)Беря операцию rot от этого уравнения, получаем уравнение Лондонов для магнитного поляrot rotB +1B = 0,λ2(122)из которого следует, что магнитное поле Bz , и электрический ток jϕ в глубине сверхпроводника,вдалеке от внешней и внутренней поверхностей пренебрежимо малы.
Распределение магнитногополя показано на Рис.21-b. Выберем контур C, целиком идущий по области, где ток равен нулю, ипроинтегрируем по этому контуру выражение для тока j = ens vs . Поскольку ns 6= 0 мы получимсоотношениеIII2evs dl = 0, ⇒ ~∇θdl =Adl,(123)c CCCоткуда, используя теорему Стокса для преобразования интеграла от векторного потенциала и определение магнитного потока,IZAdl =BdS = Φ,получаем для магнитного потока через дыруΦ=~c2e(124)I∇θdl.(125)Может показаться, что интеграл по замкнутому контуру от градиента θ равен нулю, однако, этоне так. Из-за неодносвязности сверхпроводящей областии неопределенности фаза в дыре, контур CHне может быть стянут в точку, теорема Стокса для C ∇θdl неприменима, и мы должны вычислятьэтот интеграл непосредственно.
Поскольку ток имеет только ϕ - компоненту, только эту компонентуимеет и градиент фазы параметра порядка. Тогда, выбирая в качестве контура окружность радиусаR и записывая градиент в полярных координатах мы найдемZ 2πI1 ∂θRdϕ = θ(2π) − θ(0) = 2πn,(126)∇θdl =R ∂ϕC0где n- произвольное целое число. Последнее равенство - θ(2π)−θ(0) = 2πn, следует из однозначностипараметра порядка. Итак, мы получили, что поток магнитного поля в отверстии может приниматьквантованные значения(127)Φ = nΦ0 ,гдеπ~c≈ 2 · ×10−7 gs · cm2eвеличина, называемая квантом магнитного потока.Каков будет захваченный в дыре поток зависит от начальных условий.
Определим этот поток для следующего эксперимента. Пусть цилиндрический сверхпроводник с дыркой (Рис.21) притемпературе T > Tc помещают в однородное магнитное поле H ↑↑ z и затем переводят в сверхпроводящее состояние охлаждением. Такие условия эксперимента называются охлаждением в поле,по- английски: Field Cooled или FC. Захваченный магнитный поток в этих условиях определяетсяиз условия минимума свободной энергии F̃ при постоянной напряженности магнитного поля H.Запишем выражение для свободной энергии системыZ1BH(128)F̃ = F −4πΦ0 =воспользовавшись выражением для свободной энергии в форме 104.
Мы получимZZ11bH 2d V +(B − H)2 − |Ψ|4 d V.F̃ = F0 −8π8π2{z}|F̃nH41(129)Фигурной скобкой здесь обозначено выражение для свободной энергии F̃nH нормального металла.Разбив последний интеграл на интегралы по дыре 0 < r < R1 , по сверхпроводящему цилиндруR1 < r < R2 , и наружи - r > R2 , для разности ∆F = F̃ − F̃nH получимZ R2 (B − H)2(B − H)2bdS + L− |Ψ|4 dS.∆F = L 0R1(130)8π8π2R1Последний интеграл практически не зависит от B, так как магнитное поле проникает в сверхпроводник только на толщину λ R2 − R1 . От магнитного поля зависит только вклад от отверстия,который представим в виде∆F = L 0R1(Φ − Φe )2Φ2(B − H)2dS == 0 (n − x)2 ,8π8πS8πS(131)При выводе этого соотношения мы учли однородность поля в дыре, квантованность потока, и ввелиследующие переменные: поток поля B через отверстие - Φ = BS = nΦ0 , и величину Φe = HS = xΦ0 .Мы должны найти целое число n - число захваченных квантов потока при фиксированном непрерывном параметре x, так чтобы функция (n − x)2 принимала наименьшее значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
