Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В точках√√112π2π(m + ), y =(n + )x=κ2κ2функция ψ обращается в ноль по линейному закону, какΨ ∼ x + iy = z.Из уравнений 177 следует, что магнитное поле Bz в двумерной задаче является функцией токаj = rotz0 B = −[z0 × ∇B],а поскольку в силу 179 магнитное поле линейно связано с |Ψ|2 то линии уровня параметра порядка(и магнитного поля) одновременно и являются линиями тока.
Отсюда следует, что ток циркулирует вокруг нулей параметра порядка, образуя квадратную решетку вихрей. Эти вихри в настоящеевремя называются вихрями Абрикосова. Квадратная вихревая решетка показана на Рис.33 Однакодетальный анализ, выполненный позже, показал, что предположение Абрикосова о равенстве коэффициентов Cn было ошибочным, и квадратная вихревая решетка не доставляет абсолютногоминимума свободной энергии 187 и функционалу Абрикосова βA .
А минимально воможное значениепараметра Абрикосова есть∆= 1.16βA58Рис. 33: Фазовая диаграмма сверхпроводника второго родаи соответствует оно не квадратной, а треугольной решетке вихрей. Правильный выбор коэффицентов оказывается такимiπn(n − 1).Cn = exp2Однако, за исключение формы решетки, все остальные существенные свойства решения, сохраняются. Самым важным из них является наличие решетки точек, где параметр порядка ведет себякакψ ∼ z = x + iy.Если записать это комплексное число в тригонометрической формеψ ∼ z = x + iy = eiθ ,то, нетрудно видеть, что фаза решения меняется на 2π при обходе вокруг нулей параметра порядка.Это значит, что ∇θ представляет векторное поле с завихренностью и решение, найденное Абрикосовым, представляет собой решетку вихрей.
Эти вихри в настоящее время называются вихрямиАбрикосова.8.3Структура одиночного вихря. Нижнее критическое поле.Исходя из анализа, проведенного в предыдущем разделе, естественно предположить, что по мереуменьшения магнитного поля расстояние между соседними вихрями Абрикосова будет возрастатьи при приближении к нижнему критическому полю вихри будут настолько редки, что их можнобудет рассматривать как независимые. Попробуем найти решения уравнений Гинзбурга-Ландау, соответствующие одиночному вихрю. Запишем уравнения Гинзбурга-Ландау в действительной форме117,118rotrotA = f 2 vs ,κ −2 ∆f + (1 − f 2 − vs2 )f = 0,vs = κ −1 ∇θ − A(191)(192)(193)и попытаемся найти ”цилиндрически симметричное”решение этих уравнений.
Более точно выражаясь, введем цилиндрическую систему координат ρ, ϕ, z с осью вдоль магнитного поля и будемискать не зависящее от z решение в видеA = ϕ0 A(ρ),vs = ϕ0 v(ρ),B = z0 B(ρ),59f = f (ρ) θ = mϕ(194)где m - произвольное целое число, выражающее число оборотов фазы параметра порядка при обходе вокруг вихря.
Градиент фазы параметра порядка ∇θ обладает необычным свойством, егоциркуляция по бесконечно малому контуру, охватывающему центр вихряIZ2π∇θdl =01 ∂θρdϕ = 2πm.ρ ∂ρС другой стороны, применяя формально теорему Стокса к этому интегралуIZ∇θdl = rot∇θdS,получаемrot∇θ = 2πmδ(ρ),(195)здесь ρ двумерный вектор в плоскости, перпендикулярной zИспользуя выражение для фазы напишем связь между сверхскоростью и векторным потенциаломm−Av=κρи запишем уравнения 191 в виде1 ∂ ∂fρ+ (1 − v 2 − f 2 )f = 0ρ ∂ρ ∂ρ∂B= vf 2−∂ρ2πm1 ∂ρv +δ(ρ).B = (rotA)z = −ρ ∂ρκκ −2(196)(197)(198)Граничные условия для этой системы - это отсутствие особенности у магнитного поля и параметрапорядка при ρ → 0 и выход на однородные значения B → 0, f → 1 при ρ.
Обсудим сначалаасимптотическое поведение решения при малых ρ. Поскольку магнитное поле конечно при малых ρего векторный потенциал Aϕ = A ∼ ρ и основной вклад в сверхскорость вносит ∇θ, поэтомуv=mκρпри κρ 1.Уравнение для параметра порядка, справедливое вблизи оси вихря∂ ∂fm2− 2 f + f − f 3 = 0,κ ρ−1 ρ∂ρ ∂ρρкак нетрудно проверить, имеет асимптотическое решениеf = Cκρm ,где коэффициент C должен быть определен путем удовлетворения граничных условий на ∞. Заметим, что асимптотика комплексного параметра порядка ψ = f eiθ может быть записана в видеψ = f eiθ ∼ ρm eimϕ = (ρeiθ )m = (x + iy)m = z m ,явно подчеркивающим аналитичность параметра порядка при |z| → 0 Уравнение для магнитногополя B в окрестности оси вихряm∂B∼ −C 2 κ 2 ρ2m∂ρκρ60имеет решениеC 2 κ 2mρ ,2зависящее еще от одной постоянной B0 .
Как и C она должна быть определена путем удовлетворенияусловий при ρ 1 Используя асимптотические разложения для магнитного поля и параметрапорядка как начальные условия, мы можем численно решить уравнения Гинзбурга-Ландау 191 иподобрать постоянные B0 , C, чтобы удовлетворялись условия на бесконечности. Параметр m досих пор оставался произвольным, он должен быть определен из условия минимальности свободныхэнергий на решениях с различными m. Как мы увидим, минимальной энергией обладает вихрь сm = 1, называемый одноквантовым.Покажем, что поток магнитного поля в вихре квантован и пропорционален числу накруток фазыm.
Для этого запишем выражение для сверхскорости 191B = B0 −vs = κ −1 ∇θ − A,и проинтегрируем его по удаленной окружности, проходящей в области применимости асимптотикрешения на ∞, в которой, как мы покажем, ρv → 0. Мы получимIZIΦ = Adl = BdS = ∇θdl = 2πm/κ,чему в размерных переменных соответствует m квантов потока Φ0 .Качественный вид распределения параметра порядка и магнитного поля показан на Рис.34fBρ−1κРис.
34: Распределение параметра порядка и магнитного поля в вихреДля получения оценки нижнего критического поля проанализируем более подробно структурувихрей в сверхпроводниках с κ 1. В этом случае характерные масштабы параметра порядкаLf ∼ κ −1 и магнитного поля LB ∼ 1 сильно различаются и решение уравнений 191 может бытьполучено следующим способом. Поделим обе части уравнения 191 на f 2 , возьмем двумерный rot отобеих частей и воспользуемся свойством 195.
В результате мы придем к уравнениюrot2πm1z0 δ(ρ)rotB + B =2fκ(199)Если мы не будем интересоваться областью ρ . κ −1 , считая, что эта область вносит малый вкладв свободную энергию, то для κρ 1 мы можем считать, что f уже вышла на свое асимптотическоезначение f = 1 и из уравнения 199 получить уравнение Лондонов для распределения магнитногополя в вихре B = z0 B2πmδ(ρ)(200)−∆B + B =κ61Это уравнение линейное и оно может быть легко решено. Записывая его в цилиндрической системекоординат, получим модифицированное уравнение Бесселя−1 ∂ ∂Bρ+ B = 0,ρ ∂ρ ∂ρрешение которого должно удовлетворять асимптотическому условию ∂ρ B → m/(κρ). Это асимптотическое решение находится следующим образом. При малых ρ пренебрежем членом с B в 200, алапласиан представим в виде ∆ = div∇ в результате придем к уравнению Лапласа−div∇B =2πmδ(ρ).κПрименив двумерную теорему ГауссаZZdivq dV =qdSк обеим частям этого уравнения, получим нужную асимптотику.−∂B= m/(κρ)∂ρЭта задача эквивалентна нахождению электрического поля заряженной нити.
Магнитное поле Bиграет роль потенциала электрического поля. Асимптотическое поведение магнитного поля B получается интегрированием полученного соотношенияB=m 1lnκρ(201)Полное решение уравнения 200, удовлетворяющее ему также и на больших расстояниях ρ 1функция Макдональда(202)B = mκ −1 K0 (ρ),связанная с функцией Ханкеля мнимого аргументаK0 (ρ) = H0+ (iρ).Выражение для сверхскорости получается из уравнения для магнитного поля 196v=m∂B= K1 (ρ)∂ρκ(203)Приведем асимптотики нулевой и первой функций Макдональда при больших и малых значениях аргументаln ρ1− ρ1ρ1ρ1K1 (ρ) =(204)K0 (ρ) =(πρ)−1/2 e−ρ ρ 1(πρ)−1/2 e−ρ ρ 1Теперь вычислим энергию вихря на единицу длины , которую определим как = L−1 [F (с вихрем) − F (без вихря)].В безразмерных переменных эта величина равна (сравни с 141)Zf4 − 1+ (rotA)2 2πρd ρ.
= κ −2 (∇f )2 + f 2 vs2 − f 2 +262(205)В используемом Лондоновском приближении, мы пренебрегаем вкладом области ρ . κ −1 , где модуль параметра меняется. Вне этой области f ≈ 1, ∇f ≈ 0 и свободная энергия 205 переписываетсяв видеZ ∞Z ∞(v 2 + B 2 )ρdρ2πρd ρ = 2π(K12 (ρ) + K02 (ρ))ρdρ2πρd ρ.(206)ε ≈ 2πκ −1κ −1Свободная энергия вихря в этом приближении складывается из кинетической энергии сверхпроводящих электронов и магнитной энергии. Как следует из асимптотических разложений для функцийМакдональда основной вклад в интеграл, логарифмически расходящийся на нижнем пределе приκ −1 → 0 вносит член K12 . Поэтому, если мы хотим получить только главный член, мы можемпренебречь магнитной энергией и учесть только кинетическую, кроме того можно воспользоватьсяасимптотикой K1 для малых ρ а верхний предел заменить единицей.
Для энергии m-квантовоговихря мы получим формулуZ ∞Z ∞Z ∞m2222(K1 (ρ) + K0 (ρ))ρdρ ≈ 2πK1 (ρ)ρdρ ≈ 2πρdρ ≈ (2πm2 /κ 2 ) ln κ, (207)εm ≈ 2π2 2κ −1κ −1κ −1 κ ρкоторую можно представить в видеεm = m2 ε,гдеε ≈ (2πm2 /κ 2 ) ln κ,(208)есть энергия одноквантового вихря. Из этой формулы легко понять, что m-квантовый вихрь будет неустойчив по отношению к распаду на m одноквантовых вихрей. Действительно, свободнаяэнергия m одноквантовых вихрей m, меньше энергии одного m-квантового вихря m2 и в сверхпроводнике будут существовать только одноквантовые вихри, которые и будем дальше рассматривать.В размерных переменных выражение для энергии на единицу длины вихря приобретает видε=2πξ 2Φ20 λ21B 2 λ2εdl ==2228π(2π) λ ξ (8π) λ2Φ04πλ2,(209)Теперь, зная свободную энергию вихря мы можем найти нижнее критическое поле.
Для этогозапишем свободную энергию F̃ сверхпроводника с вихремZZBBHdV = F (без вихря) + L(ε − H)dS,(210)F̃ = F −4π4πRвспоминая, что поток в вихре квантован и равен BdS = Φ0 получаемΦ0 HF̃ = F (без вихря) + L ε −,(211)4πПроникновение вихря становится термодинамически выгодным приε−Φ0 H<04πоткуда сразу находим выражение для нижнего критического поляHc1 =4πεΦ0λ≈lnΦ04πλ2ξ(212)При больших параметрах Гинзбурга-Ландау κ нижнее критическое поле Hc1 оказывается многоменьше, чем термодинамическое критическое поле Hc и фазовая диаграмма сверхпроводника второго рода, имеет вид, изображенный на Рис. 32.6399.1Эффект ДжозефсонаВывод формулы для джозефсоновского токаРассмотрим ситуацию, когда два куска сверхпроводника располагаются близко друг от друга, так,что становится возможным туннелирование электронов из одного куска в другой. Эффекты, возникающие в этой ситуации, впервые были рассмотрены теоретически Брайаном Джозефсоном в работе 1962 года и впоследствии эти эффекты были обнаружены экспериментально Гиавером (Giaver).В 1975 Джозефсон, Гиавер и Эсаки получили Нобелевскую премию за исследования туннельныхэффектов в сверхпроводниках и полупроводниках.Рассмотрим два куска сверхпроводника, расположенных при x > 0 и при x < 0 и разделенныхузким туннельным барьером, расположенным в окрестности x = 0 ± ε, как показано на Рис.35Для того, чтобы вероятность туннелирования была заметной, необходимо, чтобы толщина барьераzψ1=f1exp(iθ1)Ψ2=f2exp(iθ2)ϑ2ϕ1xX−ε 0 +εχ=θ1−θ2yV=ϕ1−ϕ2Рис.
35: Геометрия джозефсоновского контактаε была порядка нескольких атомных длин a, поэтому, с точки зрения теории Гинзбурга-Ландау,справедливой для плавных распределений параметра порядка ξ a ширину барьера можно считать бесконечно малой. Будем считать, что параметр порядка в различных кусках есть ψ1,2 еслибы сверхпроводящие куски были бы изолированы, свободная энергия всей системы складываласьбы из свободных энергий независимых кусковF [ψ1 , ψ2 ] = F1 [ψ1 ] + F [ψ2 ],где каждое из выражений дается формулой 263 для свободной энергии теории Гинзбурга-Ландау.Учет взаимодействия осуществляется путем добавления к этому выражению члена с взаимодействием Fint , так что полная свободная энергия приобретает видF [ψ1 , ψ2 ] = F1 [ψ1 ] + F [ψ2 ] + Fint [ψ1 , ψ2 ]Свободные энергии F1,2 даются обычными выражениями Гинзбурга-Ландау 95 где интегрированиеосуществляется по объемам соответствующих сверхпроводников.
Свободная энергия взаимодействия будет являться функционалом от значений ψ1 (x = 0 − ε) = ψ1 = f1 eiθ1 и ψ2 (x = 0 + ε) = ψ2 =f2 eiθ2 на поверхности соседствующих сверхпроводников. Эту энергию, ответственную за эффектДжозефсона, в дальнейшем будем называть джозефсоновской энергией и обозначать как FJ .Для её нахождения воспользуемся общими идеями феноменологической теории фазовых переходов, использованных в разделе 6 при конструировании объемной плотности свободной энергии. В64соответствии с этими идеями параметр порядка считается малым и используется разложение понему. Рассмотрим сначала случай нулевого магнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
