Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Считая, что взаимодействие сверхпроводников мало, мы сразу можем написать действительные билинейные формы для однородныхпо поверхности ψ(213)FJ = S(gψ1 ψ2∗ + g ∗ ψ1∗ ψ2 ) = 2S|g|f1 f2 cos(θ1 − θ2 + α)и для неоднородных сверхпроводниковZZFJ = (gψ1 (r⊥ )ψ2∗ (r⊥ ) + g ∗ ψ1∗ (r⊥ )ψ2 (r⊥ ))d2 r⊥ = 2 |g|f1 f2 cos(θ1 − θ2 + α)d2 r⊥ ,(214)выражающие свободную энергию взаимодействия сверхпроводников. Здесь g = |g|eiα - коэффициентсвязи. Она представляет собой первый неисчезающий член разложения, возможные члены высших степеней ψ и члены с градиентами вдоль поверхности раздела ∇⊥ представляют величиныследующего порядка малости. Постоянную c, определяемую вероятностью туннелирования можносчитать не зависящей от температуры.
Теперь, действуя аналогично 6 нам необходимо обобщитьвыражения 213 или 214 на случай конечного магнитного поля, пользуясь требованием калибровочной инвариантности свободной энергии. Итак, выражения для свободной энергии должны остатьсяинвариантными при преобразовании 92. Для этого необходимо заменить калибровочно неинвариантную разность фаз θ1 − θ2 = θ(r1 ) − θ(r2 ) выражениемθ1 − θ2 → θ1 − θ2 −2e~cZ1Adl,2получающегося путем интегрирования от точки 2 до точки 1 калибровочно инвариантного выражения 106ZZ r2 2e r22eAdl∇θ − A dl = θ(2) − θ(1) −~c~c r1r1Таким образом для свободной энергии взаимодействия окончательно получаемZ2e εAx dx − α =FJ = 2S|g|f1 f2 cos θ2 − θ1 −~c −ε Z εZ2e2e ε∗∗ ∗Ax dx + g ψ1 ψ2 exp −Ax dxS gψ1 ψ2 exp~c −ε~c −ε(215)(216)Это выражение может быть несколько упрощено, если мы предположим что контакт междусверхпроводниками не обладает магнитной структурой и система обладает симметрией относительно обращения времени.
В этом случае выражение для свободной энергии должно быть симметрично относительно замены 1 2, откуда следует действительность коэффициента связи c иравенство нулю его фазы α. В дальнейшем мы будем рассматривать только такой случай и использовать следующее выражение для поверхностной свободной энергииZZ2e ε2Ax dx =(217)FJ = 2|g| d r⊥ f1 f2 cos θ2 − θ1 −~c −ε Z εZ εZ2e2eAx dx + ψ1∗ ψ2 exp −Ax dx(218)d2 r⊥ g ψ1 ψ2∗ exp~c −ε~c −εТеперь, используя это выражение для поверхностной свободной энергии, получим выражение дляэлектрического тока через поверхность раздела двух сверхпроводников.
Для этого вспомним, чтоэлектрический ток определяется выражением 100j = −cδFmatter.δA65(219)Используя в качестве Fmatter выражение для джозефсоновской энергии FJ 217 получим для вариацииZZ4e2e 1Ax δAx dxd2 r⊥(220)δFJ = g f1 f2 sin θ1 − θ2 −~c~c 2откуда для плотности тока через границу получаемjx = j1→2 = jc sin χ,гдеjc =критическая плотность тока, а4e|g|f1 f2~2eχ = θ 1 − θ2 −~cZ(221)(222)1Ax dx,(223)2так называемая джозефсоновская разность фаз. Таким образом мы получили, что через туннельный контакт между двумя сверхпроводниками может течь сверхпроводящий ток, определяемыйразностью фаз параметров порядка по разные стороны перехода. Наличие такого тока было предсказано Джозефсоном и в честь него называется эффектом Джозефсона. Как видно из выражения221 джозефсоновский ток не может превышать критического тока, определяемого 222, поскольку| sin χ| < 19.2Нестационарный эффект ДжозефсонаЗададим себе вопрос: а что будет, если ток через джозефсоновский контакт превысит критическоезначение? Совершенно очевидно, что на переходе Джозефсона при этом появится напряжение икроме сверхпроводящего появится нормальный ток.
Попробуем вывести уравнения, описывающиединамику Джозефсоновского перехода. Рассмотрим случай нулевого внешнего магнитного поля изаметим, что при j < jc выражение для тока 221I = Ic sin χ,гдеχ = θ1 − θ 2может быть дополнено уравнением, выражающим стационарность фазы χ∂θ1 − θ2∂θ1∂θ2∂χ=~= 0 или ~=~(224)∂t∂t∂t∂tОднако, это уравнение не инвариантно относительно калибровочного преобразования. Как мызнаем, см. 93 для восстановления калибровочной инвариантности мы должны заменить временныепроизводные на удлиненные∂∂(225)~ ψ → ~ + 2ieϕ ψ,∂t∂t∂θ∂θ→~+ 2eϕ,(226)~∂t∂t~где ϕ- скалярный потенциал электромагнитного поля. Проделывая эту процедуру с условием стационарности фазы 224 мы придем к так называемому джозефсоновскому соотношению~∂θ2∂θ1+ 2eϕ1 = ~+ 2eϕ2 .∂t∂t(227)Это соотношение может быть переписано в виде, связывающим скорость изменения фазы и напряжение на переходе∂χ+ 2eV = 0,(228)~∂t66где V = ϕ1 − ϕ2 - напряжение на контакте.
Очень часто джозефсоновское соотношение записываютв виде∂χ= 2|e|V.(229)~∂tТеперь мы можем записать уравнение для полного тока через джозефсоновский переход, справедливое как при I < Ic , так и при I > Ic . Ток через джозефсоновский переход складывается изсверхпроводящего тока Is = Ic sin χ и тока нормальных электронов, который будем считать равнымIN = V /R.
Для полного тока имеемIN + Is =V+ Ic sin χ = IRВыражая напряжение на переходе через χ̇ с помощью джозефсоновского соотношения 229 получаемуравнение, описывающее динамику джозефсоновской фазы~ ∂χ+ Ic sin χ = I.2|e|R ∂t(230)Уравнение первого порядка 230, описывающее джозефсоновский переход с малой емкостью может быть легко решено.
Но сначала запишем его в безразмерных переменных. Вводя безразмерныйток z = I/Ic и безразмерное время τ = Ωt, где~Ω = 2|e|RIc ,(231)запишем 230 какχ̇ + sin χ = zЭто уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, что очевидно если мы перепишем его в видеdχ= dt(232)z − sin χВычисляя интеграл по времени от обеих частей этого уравнения (интеграл в левой части беретсяс помощью введения переменной u = tg(χ/2) получаем решение для χ)(√p2−11τz+(233)1 − z −2 tgχ = 2arctg2zДифференцируя это решение по времени получим мгновенное безразмерное напряжение χ̇ = v =V /RIc , выражение для которого при токе, превышающем критический z > 1 имеет видv(t) = χ̇ =z(z 2 − 1)√z 2 + cos τ + z 2 − 1 sin τили, в эквивалентной формеv=z2 − 1,z + cos(τ − χ1 )где1χ1 = arccos .zУсреднение формулы для напряжения по периоду дает вольт-амперную характеристику контактаv=12πZ2πv(τ )dτ =012πZ2π0график которой приведен на Рис.3667pz2 − 1dτ = z 2 − 1,z + cos τv=V/(RIc)-11z=I/IcРис.
36: Вольт-амперная характеристика джозефсоновского контакта с малой емкостьюПри выводе уравнения 230 мы пренебрегли током смещения или током заряда конденсатора,образованного сверхпроводящими электродами. Он может быть учтен простым добавлением емкостного тока~ ∂2χ∂V=Icap = C∂t2|e|R ∂t2к левой части уравнения 230. В результате получим~ ∂χ~ C ∂2χ+ Ic sin χ = I.+2 |e| ∂t22|e|R ∂t(234)Переходя к безразмерным переменным, использованным при получении 232 мы получимβ∂ 2 χ ∂χ+ sin χ = z,+∂τ 2∂τ(235)где β -безразмерный параметр, так называемый параметр Мак-Камбера, определенный какβ = RCΩ.(236)Из такой записи уравнения нетрудно видеть, что пренебрежение емкостным током в резистивномсостоянии справедливо при β 19.3Влияние магнитного поля на критический ток контактаПредположим теперь, что на джозефсоновский переход наложено однородное магнитное поле Bвдоль оси y, как показано на Рис.37.
Если мы пренебрежем возмущениями магнитного поля, создаваемыми токами через джозефсоновский переход, что возможно при малой его площади, торезультирующее магнитное поле By (x) будет однородно в пространстве между сверхпроводникамии спадать вглубь сверхпроводников по экспоненциальному закону e−x/λ , с характерной лондоновской длиной λ. Зависимость магнитного поля от координаты x показана на Рис.37. Векторныйпотенциал такого магнитного поля может быть выбран в видеAx = By (x)z.68ÄÄÄÄÄÄzyÄBBy−ε 0 +ε−εx0+εxРис. 37: Джозефсоновский контакт с внешним магнитным полемТеперь вычислим ток через контакт, пользуясь формулами 221,223.Z2e 1Ax dx ,jx = jc sin θ1 − θ2 −~c 2(237)Выбирая точки 1 и 2 лежащими в глубине сверхпроводников, там где магнитное поле отсутствуети вычисляя интегралZ1Ax dx = dBz,для плотности тока получимj(z) =гдеd = 2 + 2λ,2Ic0sin χ(z) гдеL2|e|d Bzχ(z) = θ1 − θ2 +,c~(238)где Ic - критический ток перехода в отсутствие магнитного поля, L- длина контакта.
Из формулывидно, что плотность тока в присутствии магнитного поля зависит от координаты вдоль переходаz. Для полного тока, измеряемого в экспериментах, получим следующее выражениеI0I= cLL2|e|d Bz c~cos θ1 − θ2 +j(z)dz = −Ic =2|e|d BLc~00c~2|e|dBL0− cos θ1 − θ2 ++ cos [θ1 − θ2 ]Ic2|e|d BLc~ZLВводя обозначение BdL = Φ- поток магнитного поля через боковую поверхность контакта и вспоминая, что π~/̧|e| = Φ0 есть квант потока, мы можем переписать формулу для полного тока в виде,аналогичном 221(239)I = Ic (Φ) sin(χ0 + πΦ/Φ0 ), где χ0 = θ1 − θ2 .Здесь Ic (Φ) - критический ток контакта, зависящий от магнитного поля и определяемый выражениемπΦsin x, где x =.(240)Ic = Ic0xΦ0Зависимость критического тока показана на Рис.389.4Распределенный джозефсоновский контактВ предыдущем разделе при изучении влияния магнитного поля мы пренебрегли влиянием собственного тока на магнитное поле. Для достаточно длинного контакта такое пренебрежение будетнезаконным и мы сейчас попробуем избавиться от этого недостатка теории.
В этом случае дажев отсутствие внешнего поля распределение тока и джозефсоновской разности фаз вдоль контакта69jc-4 -3 -2 -1 01234 Φ/Φ0Рис. 38: Зависимость критического тока джозефсоновского контакта от магнитного поляможет стать неоднородным и нам необходимо учесть эту возможность. Вспомним выражение 223для джозефсоновской разности фазZ2e 1Ax dx,χ = θ1 − θ 2 −~c 2и результат предыдущего параграфа 238, что в однородном магнитном поле эта величина меняетсялинейно2|e|(d + 2λ) Bz.χ(z) = θ1 − θ2 +c~Здесь мы несколько изменили обозначения и обозначили d -ширину зазора между сверхпроводниками, которая в предыдущих разделах была обозначена как 2. Эту связь можно представить ввиде2|e|(d + 2λ) B∂χ=,(241)∂zc~и заметить, что она останется справедливой и при B = By , зависящем от z, лишь бы характерныймасштаб изменения B(z) вдоль перехода - LB был бы велик по сравнению с магнитной ширинойd + 2λ, так что изменения магнитного поля были бы плавными в этом масштабе и локально всебы выглядело, как в однородном поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
