Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Таким образом мы получили, что магнитное поле (и плотность магнитного потока на единицу длины) выражается через пространственную производнуюот джозефсоновской фазы. Используя джозефсоновское соотношение 229 и определение напряженияV = dEy можно выразить электрическое поле через временную производную от джозефсоновскойфазы и вместе с 241 записатьEx =~ 1 ∂χ;2|e| d ∂tBy =1 ∂χc~.2|e| d + 2λ ∂z(242)Можно также определить поток на единицу длины Φ = By (d+2λ) и получить для него соотношение,очень похожее на джозефсоновское и являющееся его ”пространственным”аналогомΦ=~c ∂χ.2|e| ∂zДля того, чтобы получить уравнение для джозефсоновской фазы воспользуемся уравнениемМаксвелла1 ∂E4πj+rotB =cc ∂t70в которое подставим выражения 242 для полей в зазоре джозефсоновского контакта By и Ex , атакже выражение для плотности тока j = jn + js через джозефсоновскую разность фазj=~ ∂χ+ jc sin χ,2|e|r ∂tгде r есть сопротивление единицы площади контакта.В результате придем к уравнению ∂ 2 χ 1 ∂χc2∂2χ~−++ jc sin χ = 0,2|e| 4πd ∂t2r ∂t4π(d + 2λ) ∂z 2(243)описывающему динамику джозефсоновской фазы в длинном джозефсоновском переходе.
Это уравнение в отсутствие члена 1r ∂χ∂t называется уравнением Синус Гордона, а при учете χ̇- возмущеннымуравнением Синус Гордона. Это уравнение в частных производных описывает нелинейные волныв джозефсоновском контакте. Оно должно быть дополнено граничными условиями, выражающимиравенство внутреннего магнитного поля B на краях перехода z = 0, L внешнему полю Be .
Используя связь магнитного поля с фазой 242 получаем граничное условие в виде1 ∂χ c~(244)Be |0, L =2|e| d + 2λ ∂z 0, LУравнение 243 для фазы χ фактически представляет собой уравнение непрерывности, что изме∂Iравнонение тока (на единицу ширины контакта), текущего вдоль перехода по одному из берегов ∂xплотности тока, стекающего поперек перехода j, или∂I= j.∂xВыражение для тока поперек перехода с учетом тока смещения или емкостного тока есть ∂ 2 χ 1 ∂χ~++ jc sin χ,j=2|e| 4πd ∂t2r ∂tа выражение для тока вдоль перехода I получается из граничного условия B = 4πI/c и связимагнитного поля с фазой1 ∂χc c~.I=4π 2|e| d + 2λ ∂zНетрудно видеть, что эти соотношения приводят нас к уравнению 243.Рассмотрим некоторые частные решения этого уравнения, описывающие простые физическиеситуации.9.4.1Экранирование слабого магнитного поля в контакте.
Джозефсоновская длинаРассмотрим стационарные решения уравнения 243, такие, что ∂t χ. Они удовлетворяют статическому уравнению, впервые полученному Феррелом и Прейнджем в 1964 году. Это уравнение, получающееся из 243 делением на jc и пренебрежением временными переменными, мы представим ввиде∂2χ(245)−λ2J 2 + sin χ = 0,∂zгде λJ , - так называемая джозефсоновская длина, равная~c2λJ =8π|e|jc (d + 2λ)711/2(246)Рассмотрим случай, когда имеется внешнее магнитное поле Be = H, величина которого достаточномала, так, что sin χ ≈ χ и контакт занимает область 0, L. Мы придем к линейному уравнению дляфазы∂2χ(247)−λ2J 2 + χ = 0,∂zи, поскольку, B ∼ ∂z χ, к точно такому же уравнению для магнитного поля, решение которого,удовлетворяющее граничным условиям 244 B|0,L = H естьB=Hcosh z−L/2λJcosh 2λLJ.Это решение описывает экранирование слабого магнитного поля с масштабом λJ и его графикприведен на Рис.39 При условии, что λJ L, а также |z| L и |z − L| L это решение переходитвHe−z/λJ(248)B=He(z−L)/λJописывающее экранирование вблизи концов джозефсоновского контакта.
Видно, что экранированиев джозефсоновском контакте происходит с характерной длиной λJ , которая значительно превышаетдлину экранирования в сплошном сверхпроводнике λ. На Рис.39 изображено экранирование магнитного поля (показаны линии тока) в сверхпроводящем образце, ”разрезанным”джозефсоновским контактом. Ток, текущий в объемном сверхпроводнике в слое λ, в окрестности контакта проникает наглубину λJ . Решив эту задачу, сейчас мы можем сказать, что описание джозефсоновского контактакак сосредоточенного возможно при L λJ , при этом экранировки внешнего поля не происходит.Таким образом, длинный джозефсоновский контакт является как бы двумерным сверхпроводником, магнитное поле проникает в который только вдоль его плоскости. Как мы увидим, этааналогия простирается еще дальше и в джозефсоновский переход могут проникать вихри, во многом аналогичные вихрям Абрикосова в объемном сверхпроводнике.
Идея о существовании такихвихрей была высказана Джозефсоном.9.4.2Джозефсоновские вихриВ предыдущем параграфе мы считали поле слабым и линеаризовывали уравнение 245. В случаесильного поля этого делать нельзя и мы должны суметь получить точные нелинейные решенияэтого уравнения. Уравнения такого типа интегрируются следующим образом. Умножая уравнение245 на χz запишем его в виде"#2∂χ∂λJ+ 2 cos χ = 0,∂z∂zоткуда находим первый интеграл2∂χ+ 2 cos χ = C,λJ∂zгде C произвольная постоянная, значение которой должно быть выбрано исходя из граничныхусловий.
Это уравнение c разделяющимися переменными, оно легко решается в квадратурах какZ χdθz − z0√(249)=λJC − 2 cos θπИнтеграл в правой части есть эллиптический интеграл и поэтому общее решение уравнения выражается245 через эллиптические функции. Мы, однако, не будем искать общее решение, а найдемлишь его солитонное или уединенное решение, магнитное поле и ток в котором локализованы, или,выражаясь более строго, спадают при z → ±∞.
Нетрудно видеть, что для решений такого типа72BzλJРис. 39: Экранирование слабого магнитного поля в джозефсоновском контактенеобходимо выбрать C = 2. Интеграл в 249 тогда вычисляется в элементарных функциях путем73следующих преобразованийZ χZ χZ χdθdθd tgθ/4z − z0√== ln tgχ/4,==λJtgθ/42 − 2 cos θππ 2 sin θ/2π(250)откуда находим в явном виде решение, описывающее одиночный джозефсоновский вихрьχ = 4arctg e(z−z0 )/λJ .(251)Распределение фазы, магнитного поля и тока в котором изображено на Рис.40 Поскольку вихрь2ππBzzjzРис.
40: Распределение фазы, магнитного поля и тока в джозефсоновском вихресоответствует перевороту джозефсоновской фазы на 2π нетрудно показать, что он несет один квантмагнитного потока, как и обычный вихрь Абрикосова. ДействительноZ ∞Z ∞Φ0∂χ(d + 2λ))d z = Φ0 .B dz =Φ = (d + 2λ)2π(d+2λ)−∞−∞ ∂zИтак, мы приходим к выводу, что джозефсоновский контакт во многом аналогичен сверхпроводникувторого рода, т.е. достаточно большое магнитное поле проникает в него в виде вихрей. На Рис.4174с помощью линий тока показано как проникает в переход достаточно сильное магнитное поле.При увеличении поля концентрация вихрей увеличивается, но из-за того, что у джозефсоновскихzBzλJРис. 41: Проникновение магнитного поля в джозефсоновский переходвихрей нет нормальной сердцевины, перехода в нормальное состояние, в отличие от вихревогоабрикосовского состояния не происходит ни при каком магнитном поле.
Естественно, это магнитноеполе не должно разрушать сверхпроводимость в берегах контакта.9.4.3Волны в длинном джозефсоновском контактеУравнение 243 представляет собой нелинейное волновое уравнение, описывающее распространениевозмущений фазы вдоль контакта. Прежде чем начинать рассмотрение свойств этих волн, приведем это уравнение к безразмерному виду. Поделив всё уравнение на jc можно заметить, что всечлены стали безразмерными, и следовательно, коэффициент при ∂ 2 /∂t2 приобретает размерностьквадрата времени, или квадрата обратной частоты, обозначаемой ωJ , и называемой джозефсоновской плазменной частотой. Коэффициент при ∂ 2 /∂x2 приобретает размерность квадрата длины,уже известной нам λJ .
Произведение ωJ λJ имеет размерность скорости и носит название скоростиСвихарта vs . Джозефсоновская плазменная частота, джозефсоновская глубина и скорости Свихартавыражаются через параметры контакта следующим образомrr1/2~c2c8πedjcd, λJ =.(252), vs = √ωJ =~ε8π|e|jc (d + 2λ)ε d + 2λ75Выбрав в качестве масштабов времени и координаты ωJ−1 и λJ соответственно, приведем уравнение243 к безразмерному виду∂χ ∂ 2 χ∂2χ− 2 + sin χ = 0.+γ(253)∂t2∂t∂zЗдесь γ - безразмерный коэффициент затуханияsr~4πd~=.γ = ωJ2|e|rεr2|e|rjcДля волн малой амплитуды мы можем линеаризовать уравнение 243 приближенно положивsin χ ≈ χ и прийти к линейному уравнению Клейна - Гордона∂χ ∂ 2 χ∂2χ− 2 + χ = 0.+γ(254)2∂t∂t∂zPОтыскивая его решение в форме χ ∼ ω,k χω,k e−iωt+ikz и требуя нетривиальность решения дляχω,k получим дисперсионное уравнения для электромагнитных или свихартовских волн в джозефсоновском контакте(255)ω(ω + iγ) = k2 + 1.График реальной части частоты которого при γ < 1/2 приведен на Рис.42.
Спектр этих свихар-Re ωkРис. 42: Дисперсия электромагнитных волн в джозефсоновском контактетовских волн очень похоже на спектр плазменных волн. Из-за этой аналогии свихартовкие волныназывают плазменными джозефсоновскими волнами, а частоту ωJ - плазменной частотой джозефсоновского перехода. Волны с частотой меньше плазменнойне могут распространяться в контакте,pим соответствует комплексное волновое число k = ω(ω + iγ) − 1. Эту экранировку для ω = 0мы уже обсуждали в предыдущем разделе. Очень высокочастотные волны практически не имеютдисперсии и распространяются со скоростью Свихарта.9.5Квантовая интерференция и квантовые интерферометрыВ разделе 9.3 мы показали, что критический ток джозефсоновского перехода очень сильно зависитот магнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
