Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Исключим с помощью 154 вторую производную Axx из 142 иполучим соотношение1ψx = − √ Aψ,2которое, вместе с соотношением 154 подставим в выражение для первого интеграла. Мы получимравенство1−1A2 ψ 2 = 0,2κ 2которое может быть справедливым, только при1κ= √ .2Глядя на выражение для свободной энергии 146 нетрудно понять, что граница раздела N и S фазпри H = Hc будет устойчивой только при σ > 0. В этом случае увеличение площади границы будетсопровождаться увеличением свободной энергии, и следовательно, система будет релаксировать√всостояние с минимальной поверхностью раздела фаз. Такие сверхпроводники с σ > 0 и κ < 1/ 2называются сверхпроводниками первого рода и именно к ним применимо√ рассмотрение фазовогоперехода, проведенное в разделе 4.
Сверхпроводники же с σ < 0 и κ > 1/ 2 обладают неустойчивойфазовой границей, их свободная энергия не ограничена снизу при H = Hc и, следовательно, нашепредположение о наличии однородных N и S состояний, разделенных плоской границей не верно.Такие сверхпроводники называются сверхпроводниками второго рода, при H = Hc они будут находиться в неоднородном, в так называемом, смешанном состоянии, изучением которого мы займемсяв следущих разделах.5388.1Сверхпроводники второго родаВерхнее критическое полеКак мы показали в предыдущем разделе, сверхпроводники с κ > 2−1/2 , называемые сверхпроводниками второго рода, обладают отрицательным поверхностным натяжением N − S границы при термодинамическом критическом поле Hc , и, следовательно, существует какое-то поле Hc1 < Hc припревышении которого мейсснеровское однородное сверхпроводящее состояние сменяется каким-тонеоднородным, так что в окрестности Hc будет иметь место это неоднородное состояния, характеризуемое пространственными вариациями магнитного поля и параметра порядка.
При дальнейшемповышении магнитного поля это состояние будет как-то меняться и исчезнет, т.е. параметр порядка обратится в нуль, при некотором другом поле Hc2 . Критические поля Hc1 , Hc2 называютсянижним и верхним критическими полями, а состояние сверхпроводника при Hc1 < H < Hc2 промежуточным. Фазовая диаграмма такого сверхпроводника второго рода показана на Рис.32Попробуем найти эти критические поля и выяснить структуру промежуточного состояния.HHc2(T)ÑìåøàííîåñîñòîÿíèåÍîðìàëüíàÿôàçàHc1(T)ÑâåðõïðîâîäÿùàÿôàçàTcTРис.
32: Фазовая диаграмма сверхпроводника второго родаНачнем с исследования окрестности Hc2 . Будем считать, что наш образец помещен в однородноемагнитное поле с напряженностью H. Естественно предположить, что фазовый переход из нормального в промежуточное состояние будет происходить путем фазового перехода второго рода, так чтов окрестности перехода параметр порядка будет мал |ψ| 1.
В уравнениях Гинзбурга-Ландау(−iκ −1 ∇ − A)2 Ψ − Ψ + |Ψ|2 Ψ = 0,irotrotA = − (Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) − |Ψ|2 A,2κ(155)(156)в приближении малого параметра порядка |ψ| 1 мы можем пренебречь нелинейными членами инаписать(−iκ −1 ∇ − A)2 Ψ − Ψ = 0,rotrotA = 0,(157)(158)откуда следует, что в окрестности фазового перехода магнитное поле невозмущено и однородно B =H, а уравнение для параметра порядка приобретает вид уравнения Шредингера для заряженнойчастицы в магнитном поле, решенной в свое время Ландау.
Выберем магнитное поле направленнымвдоль оси z, а векторный потенциал однородного магнитного поля выберем в следующем видеA = y0 Hx.Теперь запишем уравнение для параметра порядка∂2∂∂2− Bx)2 + κ −2 2 + 1 ψ = 0,κ −2 2 − (−iκ −1∂x∂y∂z54(159)(160)Это уравнение не содержит явной зависимости от y, z и следовательно, мы можем искать решениев видеψ = eiky y+ikz z Φ(y)и для Φ получитьκ−2∂2−12−2 2− (κ ky − Bx) − κ kz + 1 ψ = 0.∂x2(161)Это уравнение напоминает уравнение квантового гармонического осциллятора. Наша задача - найти множество значений H, при котором это уравнение имеет нетривиальное интегрируемое решение. Приведем его к каноническому виду, введя новую координатуξ = α(Bx − κ −1 ky ),где α некоторый коэффициент. Выражая∂∂xчерез∂∂ξ ,как ∂x = αH∂ξ получаем∂2κ −2 α2 H 2 2 − α−2 ξ 2 − κ −2 kz2 + 1 ψ = 0.∂x(162)Разделив все члены на 2κ −1 H преобразуем это уравнение к виду −1 21κ −2 kz2 + 1κ α H ∂22ξ−−ψ = 0,(163)2∂ξ 22κ −1 α2 H2κ −1 Hpи выбрав α = κ/H из соотношения κ −1 α2 H = 1 окончательно получим задачу на собственныезначения1 21 − κ −2 kz21 ∂2ξ,(164)+ψ=Eψ,E=−2 ∂ξ 222κ −1 Hгде собственное значение определено какE=1 − κ −2 kz2.2κ −1 HЭта задача на собственные значения хорошо известна, выведенное уравнение называется уравнением Эрмита, к нему приводится также задача о квантовом гармоническом осцилляторе.
Локализованное решение существует при1E =n+ ,2(165)а соответствующие собственные функцииψn = e−ξ2/2Hn (ξ),называются функциями Эрмита, Hn - полиномы Эрмита, причем H0 = 1. Из условия квантования165 найдем значения магнитного поля, при которых уравнение 163 имеет нетривиальные решенияH = κ(2n + 1)(1 − κ −2 kz2 )(166)Для определения Hc2 выберем максимально возможное из множества значений 166, чему соответствует выбор n = 0 и kz = 0. Мы получим, что в безразмерных переменных верхнее критическоеполе равно(167)Hc2 = κ,55или в размерных переменныхHc2 = 1B · κ =Φ0.2πξ 2Этому значению магнитного поля соответствует множество собственных функций,21ψky (x, y) = e−ξ /2+iky y = exp − (κx − κ −1 ky )2 + iky y ,2(168)что найденное значениене зависящих от z и различающихся значением ky .
Обратим внимание,√√Hc2 = κ превышает термодинамическое критическое поле Hc = 1/ 2 как раз при κ > 1/ 2, чтосовпадает с определением сверхпроводников второго рода, данного в предыдущем разделе. Можносказать, что сверхпроводник второго рода, это такой сверхпроводник, у которого Hc2 > Hc .8.2Смешанное состояние вблизи Hc2 .
Задача Абрикокосова.Построим теперь решение нелинейных уравнений при магнитных полях близких к Hc2 , или, болееточно, при κ − H κ. Эта задача была решена А. Абрикосовым в 1953 году и опубликована в1957.При поле в точности равному критическому H = κ уравнениям Гинзбурга-Ландау удовлетворяет любая линейная комбинация решений 168 с различными ky . Сделаем предположение, что решениеможет быть представлено в виде суммы решений 168 по дискретному ky,n = nk и тем самым имеетвид∞∞XX1−12Cn ψky =nk (x, y) =Cn exp − (κx − κ nk) + inky ,(169)Ψ=2n=−∞n=−∞здесь k - некоторый параметр, определяющий масштаб решения, Cn - некоторые коэффициенты,которые пока будем считать произвольными.
Магнитное поле и векторный потенциал при H = κопределяются выражениями 159. Если внешнее магнитное поле будет немного ниже Hc2 к магнитному полю и параметру порядка появятся малые поправки, которые будем искать методомпоследовательных приближений.Bz = B = H + δBAx = δAxAy = Hx + δAyψ = Ψ + δψ(170)(171)(172)(173)Начнем с уравнения для векторного потенциалаrotrotA = rotB = −i(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) − |ψ|2 A,2κ(174)которое запишем в проекциях,i∂Ψ∗∂ψ∂B=(ψ ∗−ψ) + |ψ|2 Ax ,∂y2κ∂x∂xi∂ψ ∗∂ψ∂B=(ψ ∗−ψ) + |ψ|2 Ay ,−∂x2κ∂y∂y(175)(176)Удерживая в правой части члены нулевого порядка малости для поправок к векторному потенциалуполучаемi∂Ψ∗∂Ψ∂δB=(Ψ∗−Ψ),∂y2κ∂x∂xi∂ψ ∗∂Ψ∂δB=(Ψ∗−Ψ) + |Ψ|2 Hx.−∂x2κ∂y∂y56(177)(178)подставляя явный вид Ψ из 169 получаем, чтоi X11∂δB∗=Cn Cmk(m − n) exp[ik(n − m) − (κx − knκ −1 )2 − (κx − kmκ −1 )2 ]∂y2κ m,n22−1 X11∂δB∗=Cn Cm[k(m + n) + 2κ 2 x] exp[ik(n − m) − (κx − knκ −1 )2 − (κx − kmκ −1 )2 ].∂x2κ m,n22откуда следует явное выражение для магнитного поляB=H−|Ψ|2|Ψ|2= κ + (H − κ) −.2κ2κ(179)В последнем выражении последние два члена представляют собой малую поправку, пропорциональную отклонению поля от Hc2 .
Поскольку∂Ay∂Ax−,∂x∂yB = Bz =то выбирая калибровку Ax = 0 для A = Ay из 179 получимZ|Ψ|2dx.A = Hx −2κ(180)Перейдем теперь к изучению уравнения для параметра порядка. Будем искать решение уравненияв виде суммы невозмущенного решения и поправкиψ =Ψ+Xeikny ψn(1) =nXn1eikny (ψn (x) + ψn(1) (x)), где ψn = exp[− (κx − κ −1 nk)2 ]2(181)и подставим это выражение в уравнение для параметра порядка 155(1)X∂ 2 ψn∗− ψn(1) = 2x(κ − H)(κx − κ −1 nk)Cn ψn +Cp CmCn−p+m (182)2∂xm,pZ xp−m)] × ψn−p+m (x)ψp (x0 )ψm (x0 )dx0 − ψn−p+m (x)ψp (x)ψm (x)(183)[x − κ −2 k(n −2(knκ −1 − κx)2 ψn(1) − κ −2Для разрешимости этой неоднородной системы уравнений, по теореме Фредгольма необходимо,чтобы правая часть была ортогональна решению однородной задачи. Нетрудно видеть, что решениеоднородной задачи есть ψn .
Домножая правую часть на ψn и интегрируя по x получимXk2∗Cp CmCn−p+m exp − 2 [(p − n)2 + (p − m)2 ] + Cn (κ − H)/κ = 0 (184)2−1/2 [(2κ 2 )−1 − 1]2κp,mУмножим это уравнение на Cn∗ и просуммируем по n. Ответ представляется в видеκ−H|Ψ|2 + [(2κ 2 )−1 − 1]|Ψ|4 = 0κ(185)где крышкой над буквой обозначено усреднение по пространству. Вычислим среднее поле B2B=H−1 |Ψ|2 |Ψ|41 κ−H|Ψ|2=H−=H−2422κ2κ |Ψ| |Ψ|βA 2κ2 − 1здесь мы ввели параметр АбрикосоваβA =|Ψ|4|Ψ|2572,(186)полезный тем, что как следует из определения 169 для Ψ, это есть величина, не зависящая от Hи уравнение 186 явно определяет зависимость B(H) и тем самым амплитуду параметра порядкав окрестности верхнего критического поля.
Конечно, величина βA должна быть известна. Точнотакже через величину βA можно выразить и свободную энергию 104(на единицу длины)ZF =B2 −|ψ|4(κ − B)2dxdy = B −,21 + βA (2κ 2 − 1)(187)которая является термодинамическим потенциалом относительно B. Из этого выражения следует,что минимум свободной энергии достигается при минимальном βA . Условие минимальности позволяет в принципе найти коэффициенты Cn и постоянную k. Этот вопрос не простой, но к настоящемувремени выясненный. Я только приведу результаты и расскажу как они были получены.В своей статье А.
Абрикосов написал, что нет никаких оснований считать коэффициенты Cnразными и поэтому положил их все равными Cn = , так что распределение параметра порядкаоказалось следующим∞X1exp − (κx − κ −1 nk)2 + inky(188)Ψ =2n=−∞Вычисляя βA"∞#2XkbetaA = √exp(−k2 n2 /2κ 2 )κ 2π −∞√он нашел что минимальное значение βA достигается при k = 2πκ и равно βA= 1.18 Функция 188выражается через Тета функцию Якоби θ3 , определяемую какθ3 (x, y) =∞Xexp(−πxn2 + 2πny).(189)n=−∞Сама функция 188 записывается какΨ = exp(−κ 2 x2 /2)θ3 [1, (2π)1/2 iκ(x + iy)](190)Модуль этой функции обладает симметрией квадратной решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
