Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 6
Текст из файла (страница 6)
16: Зависимость параметра порядка от температуры в окрестности фазового переходазависящим от координат, запишем свободную энергию в окрестности фазового перехода в видеF (ψ) = F0 (V, T ) + a(V, T )V |Ψ|2 + b(V, T )V|Ψ|4,2(70)и дальнейшими членами разложения пренебрежем. В соответствии с общими правилами, уравнение для параметра порядка получается из условия минимума свободной энергии, имеющего вид∂F/∂Ψ∗ = ∂F/∂Ψ = 0. Коэффициенты разложения a, b должны быть аналитическими функциямитемпературы в окрестности фазового перехода, который будем считать происходящим при некоторой критической температуре Tc , следовательно мы можем написать следующее разложениеa(T ) = a0 + a1 (T − Tc ) + ...
b(T ) = b0 + b1 (T − Tc ) + ....и ограничиться первыми неисчезающими членами этих разложений, т.е. будем считать, что вокрестности фазового переходаF0 = const, a(T ) = α(T − Tc ) + ... b(T ) = b = const(71)Считая, что параметр порядка в окрестности фазового перехода мал Ψ ∼ µ (за µ мы обозначилималый параметр µ 1) нетрудно видеть, что члены, учтенные в разложении свободной энергии 72имеют порядок bµ4 Из соображений термодинамической устойчивости необходимо, чтобы свободнаяэнергия была ограничена снизу, и, следовательно должно быть b > 0, кроме того мы хотим чтобыпри T > Tc у нас была нормальная фаза с Ψ = 0, то должно быть α > 0 Покажем, что написаннаямодель дает фазовый переход. Проварьировав по Ψ∗ свободную энергиюF (ψ) = F0 + aV |Ψ|2 + bV|Ψ|4,2(72)и приравняв её нулю, мы получим следующее уравнение∂F= aΨ + b|Ψ|2 Ψ = Ψ(a + b|Ψ|2 ) = 0,∂Ψ∗(73)откуда найдем что всегда существует решение Ψ = 0, которое соответствует минимуму F приa > 0 или при T > Tc .
При a < 0 возникает нетривиальное (ненулевое) решение|Ψ|2 = −ab(74)График свободной энергии при температурах выше и ниже фазового перехода показан на Рис.17Итак, нам удалось с помощью указанного построения описать фазовый переход. Оценим порядокчленов, учтенных в разложении свободной энергии 72. Считая, что параметр порядка в окрестности27FFa>0a<0Re ΨRe ΨРис. 17: Зависимость свободной энергии от параметра порядка при температурах выше и нижеточки фазового переходафазового перехода мал Ψ ∼ µ (за µ мы обозначили малый параметр µ 1) нетрудно видеть, чтовсе члены, учтенные в разложении свободной энергии 72 имеют порядок bµ4 .
Действительно, из74 следует, что a ∼ bµ2 мало в окрестности перехода и оба члена одинакового порядка малостиa|Ψ|2 ∼ b|Ψ|4 ∼ bµ4 . Отброшенные члены имеют высший порядок малости ∼ µ6 . Отбрасываниевысших членов разложения будет незаконным, если только в силу каких либо причин коэффициентразложения b станет аномально малым.Кратко можно резюмировать что мы сделали,• мы выбрали параметр порядка, обладающий определенной симметрией, в нашем случае симметрией относительно фазовых вращений.
Такие фазовые преобразования параметра порядка,как мы увидим, тесно связаны с калибровочными преобразования потенциалов электромагнитного поля, и поэтому их тоже называют калибровочными• предположили, что свободная энергия инвариантна относительно выбранных преобразованийсимметрии, и тем самым зависит только от инварианта |Ψ|2• предположили, что свободная энергия аналитическим образом зависит от термодинамическихпараметров и инварианта |Ψ|2 , разложили её в ряд, и ограничились двумя членами.• при фазовом переходе возник ненулевой параметр порядка Ψ 6= 0, который нарушил исходнуюсимметрию.Теперь можно использовать полученные результаты для вычисления термодинамических функций сверхпроводника.
Подставляя найденное значение параметра порядка 74 в выражение длясвободной энергии refGL homog F найдем свободную энергию в сверхпроводящем и нормальномсостояниях ab a2a2V +V, Fn = F (Ψ = 0) = F0 .=F−(75)Fs = F (|Ψ|2 = a/b) = F0 + a −0b2 b22bВспоминая теперь определение критического магнитного поля как разность плотностей свободныхэнергий в нормальном и сверхпроводящем состоянии 45Fs +Hc2V = Fn ,8πмы найдем выражение для критического магнитного поля через коэффициенты a, b теорииГинзбурга-Ландауa2α2Hc2 (T )==(T − Tc )2 .(76)8π2b2b28Далее, дифференцируя свободную энергию по температуре S = −∂F/∂T найдем изменение энтропии и скачок теплоемкости при S − N переходеSs = S n +α2α2V (T − Tc ), Cs = Cn +V TcbbЗаметим, что до сих пор проведенное развитие теории Гинзбурга-Ландау и полученные результаты совершенно не были связаны со структурой и симметрией параметра порядка.
Мы бы моглипринять за параметр порядка ns , написать свободную энергию в формеF (ψ) = F0 + aV ns + bn2s,2дифференцируя которую по ns мы бы получили те же самые результаты. Именно так поступилиГортер и Казимир при построении своей теории. Разница возникает при обобщении теории напространственно неоднородный случай.6.2Обобщение на пространственно-неоднородный случайТеперь вооруженные представлениями о том как нужно конструировать свободную энергию, попробуем обобщить теорию на пространственно неоднородный случая. Первый шаг, который мыдолжны сделать, это считать в 72 параметр порядка зависящим от координат Ψ(r) и заменитьумножение на объем интегрированием по d3 r = dV,Z|Ψ(r)|4d V,F [Ψ] = F0 + a|Ψ(r)|2 + b2Свободная энергия становится функционалом от Ψ, аргумент которого пишем в квадратных скобках.
Однако, этой процедуры недостаточно. При учете пространственной неоднородности функционал свободной энергии может зависеть и от производных различных порядков от параметрапорядка по координатам. Естественно, что эти члены с производными в свободной энергии должныбыть инвариантны относительно фазовых вращений. Если же сверхпроводник еще и изотропен, тофункционал F должен инвариантен и относительно пространственных вращений, т.е. зависеть отскалярных комбинаций от ∇Ψ. Мы выпишем для примера, возможные членыZ|Ψ(r)|4+ c|∇Ψ|2 + d|∆Ψ|2 + e|Ψ|2 |∇Ψ|2 + ...d V,F [Ψ] = F0 + a|Ψ(r)|2 + b2Будем считать, что масштаб неоднородности l параметра порядка велик, так что l−1 ∼ µ, тогдаградиент ∇Ψ ∼ µ2 .
В этом случае только член |∇Ψ|2 имеет такой же порядок µ4 как и оставленные в 72 члены. Окончательно имеем следующее выражение для функционала свободной энергии,учитывающее слабую пространственную неоднородность.Z|Ψ(r)|4+ c|∇Ψ|2 d V,F [Ψ] = F0 + a|Ψ(r)|2 + b2Из соображений термодинамической устойчивости, заключающейся в требовании ограниченностифункционала свободной энергии, следует, что коэффициент c = χ2 > 0. (Докажите.)Для получения уравнения, описывающего равновесное распределение параметра порядка вычислим вариацию этого функционала, считая δΨ и δΨ∗ независимыми функциямиZ 2(77)δF =χ ∇Ψ∇δΨ∗ + aΨδΨ∗ + b|Ψ|2 ΨδΨ∗ d V + c.c.Представив член ∇Ψ∇δΨ∗ в виде∇Ψ∇δΨ∗ = divδΨ∗ ∇Ψ − δΨ∗ ∆Ψ29и преобразовав член с div в интеграл по поверхности сверхпроводника, для вариации свободнойэнергии получим выражениеIZ ∗ 22(78)−χ ∆Ψ + aΨ + b|Ψ| Ψ δΨ d V + (n • ∇Ψ)δΨ∗ dS + c.c.,δF =содержащее объемный и поверхностный вклад.
Требуя равенства нулю объемной части вариацииZδFδΨ∗ dV + c.c.δF =δΨ∗при произвольных δΨ∗ , δΨ найдем уравнение для параметра порядка−χ2 ∆Ψ + aΨ + b|Ψ|2 Ψ = 0.Из равенства нулю поверхностного вклада при произвольном δΨ|S следует граничное условие награнице сверхпроводник-вакуум(n • ∇Ψ)|S = 0,где n нормаль к поверхности сверхпроводника.Нормировка параметра порядка, т.е. его связь с ns и выбор коэффициентов a, b, χ2 , до сих порбыли произвольными. Единственное требование - лишь бы выражение 77, и в частности, χ2 |∇Ψ|2 V,имело размерность энергии.
Для выбора коэффициентов воспользуемся следующими соображениями.Уравнение для параметра порядка напоминает квантовомеханическое уравнение Шредингерадля частицы и его можно интерпретировать как уравнение для макроскопической волновой функции конденсата сверхпроводящих электронов. В соответствии с аналогией с квантовой механикойвыберем значение коэффициента χ2 равным χ2 = ~2 /2m∗ , где m∗ масса элементарного носителя.В настоящее время известно, что носителями заряда в сверхпроводнике являются куперовские пары - коррелированные состояния двух электронов, их масса и заряд определяются соотношениямиm∗ = 2m, e∗ = 2e где m, e - масса и заряд электрона.
Такой выбор коэффициента χ2 ведет к тому,что |Ψ|2 будет представлять концентрацию куперовских пар, так что ns = 2|Ψ|2 .Суммируя наши соглашения о выборе коэффициентов в выражении для свободной энергии инормировке параметра порядка как концентрации куперовских пар мы выпишем выражение длясвободной энергииZ 2~|Ψ|4|∇Ψ|2 + a|Ψ|2 + bd V,(79)F [Ψ] = F0 +4m2уравнение для распределения параметра порядка−и граничные условия~2∆Ψ + aΨ + b|Ψ|2 Ψ = 0,4m(n • ∇Ψ)|S = 0,(80)(81)полученные из условия минимума функционала 79.Используя решение уравнения 80 можно вычислить свободную энергию 79 в сверхпроводящемсостоянии.
Чтобы это сделать, выразим |∇Ψ|2 в 79 с помощью соотношения |∇Ψ|2 = −Ψ∗ ∆Ψ +divΨ∗ ∇Ψ и учтем выполнение уравнения 80 и граничного условия 81Z 2~|Ψ|4|∇Ψ|2 + a|Ψ|2 + bdV =F [Ψ] = F0 +4m2ZZZbb~2∇Ψ + aΨ + |Ψ|2 Ψ d V + Ψ∗ ∇ΨdS = F0 + − |Ψ|4 d V,(82)F0 + Ψ∗ −4m2230Поделив все члены уравнения 80 на a 6= 0 мы увидим, что параметр ~2 /(4ma) имеет размерность квадрата длины. Эта длина представляет собой характерный пространственный масштабуравнения Гинзбурга-Ландау, она обозначается буквой ξ и называется длиной когерентностиξ=√~~= p.4ma4mα(T − Tc )(83)Её зависимость от температуры изображена на Рис.18 Полученные уравнения позволяют описы-ξTcTРис. 18: Зависимость длины когерентности от температурывать пространственно неоднородные распределения параметра порядка в неоднородных сверхпроводниках.
Неоднородность химического состава состояния сверхпроводников будет выражаться зависимостью коэффициентов a, b, χ2 от координат. В частности, уравнением Гинзбурга-Ландау может быть описан и параметр порядка в нормальном металле, где, в соответствии с 71 мы должнысчитать a > 0 В качестве примера изучим распределение распределение параметра порядка награнице между двумя нормальным и сверхпроводящим металлом.6.3Эффект близостиГеометрия задачи вид приведена на Рис.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
